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9. (1) 已知 $△ ABC$ 的边长 $a,b,c$ 满足 $a=2,b=$
$4,c$ 为偶数,则它的周长是
(2) 已知等腰三角形三边的长分别是 $4x-2,x+$
$1,15-6x$,则它的周长是
$4,c$ 为偶数,则它的周长是
10
.(2) 已知等腰三角形三边的长分别是 $4x-2,x+$
$1,15-6x$,则它的周长是
12.3
.答案
9. (1)10 解析:因为$b-a＜c＜b+a$,所以$2＜c＜6$.因为c是偶数,所以$c=4$,所以$△ ABC$的周长为$2+4+4=10$.
(2)12.3 解析:因为等腰三角形三边的长分别是$4x-2$,$x+1$,$15-6x$,所以①若$4x-2=x+1$,则$x=1$,三边长分别为2,2,9,但$2+2＜9$,不能组成三角形,舍去;②若$4x-2=15-6x$,则$x=1.7$,三边长分别为4.8,2.7,4.8,所以其周长为12.3;③若$15-6x=x+1$,则$x=2$,三边长分别为6,3,3,但$3+3=6$,不能组成三角形,舍去.所以它的周长是12.3.
(2)12.3 解析:因为等腰三角形三边的长分别是$4x-2$,$x+1$,$15-6x$,所以①若$4x-2=x+1$,则$x=1$,三边长分别为2,2,9,但$2+2＜9$,不能组成三角形,舍去;②若$4x-2=15-6x$,则$x=1.7$,三边长分别为4.8,2.7,4.8,所以其周长为12.3;③若$15-6x=x+1$,则$x=2$,三边长分别为6,3,3,但$3+3=6$,不能组成三角形,舍去.所以它的周长是12.3.
10. (1) 新考法 如图①,在$△ ABC$中,$BC=6$,将$△ ABC$向任意方向平移8个单位长度得到$△ A'B'C'$,则$CB'$的最小值是
(2)(2025·济宁期中)如图②所示,用四个螺丝将四根不可弯曲的木条围成一个木框(形状不限),不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离依次为3,4,5,7,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两个螺丝间的距离的最大值为
2
,最大值是14
.(2)(2025·济宁期中)如图②所示,用四个螺丝将四根不可弯曲的木条围成一个木框(形状不限),不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离依次为3,4,5,7,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两个螺丝间的距离的最大值为
9
.答案
10. (1)2 14 解析:因为$△ ABC$向任意方向平移8个单位长度得到$△ A'B'C'$,则$BC=B'C'=6$,$CC'=8$.在三角形$CC'B'$中,因为$B'C'=6$,$CC'=8$,所以$8-6≤ CB'≤6+8$,即$2≤ CB'≤14$(当且仅当$C,B',C'$共线时取等号),所以$CB'$的最小值是2,最大值是14.
(2)9 解析:已知4根木条的长分别为3,4,5,7.①选3+4,5,7作为三角形的三边长,则三边长为7,5,7,能构成三角形,此时两个螺丝间的最长距离为7;②选4+5,3,7作为三角形的三边长,则三边长为9,3,7,能构成三角形,此时两个螺丝间的最大距离为9;③选3+7,4,5作为三角形的三边长,则三边长为10,4,5,$4+5＜10$,不能构成三角形,此种情况不成立;④选5+7,3,4作为三角形的三边长,则三边长为12,3,4,$3+4＜12$,不能构成三角形,此种情况不成立.综上所述,任意两螺丝间的距离的最大值为9.
(2)9 解析:已知4根木条的长分别为3,4,5,7.①选3+4,5,7作为三角形的三边长,则三边长为7,5,7,能构成三角形,此时两个螺丝间的最长距离为7;②选4+5,3,7作为三角形的三边长,则三边长为9,3,7,能构成三角形,此时两个螺丝间的最大距离为9;③选3+7,4,5作为三角形的三边长,则三边长为10,4,5,$4+5＜10$,不能构成三角形,此种情况不成立;④选5+7,3,4作为三角形的三边长,则三边长为12,3,4,$3+4＜12$,不能构成三角形,此种情况不成立.综上所述,任意两螺丝间的距离的最大值为9.
11. (2026·南充期中) 已知 $△ ABC$ 的三边长分别为 $a,b,c$.
(1) 若 $a,b,c$ 满足 $|a-b|+(b-c)^2=0$, 则 $△ ABC$ 的形状为
(2) 化简: $|a-b-c|+|b-c-a|-|a+b-c|$.
(1) 若 $a,b,c$ 满足 $|a-b|+(b-c)^2=0$, 则 $△ ABC$ 的形状为
等边三角形
.(2) 化简: $|a-b-c|+|b-c-a|-|a+b-c|$.
答案
11. (1)等边三角形 解析:$\because |a-b|+(b-c)^2=0$,$\therefore a-b=0$,$b-c=0$,整理得$a=b$,$b=c$,$\therefore a=b=c$,即$△ ABC$为等边三角形.
(2)$\because △ ABC$的三边长分别为a,b,c,$\therefore a-b＜c$,$b-c＜a$,$a+b＞c$,$\therefore a-b-c＜0$,$b-c-a＜0$,$a+b-c＞0$,则$|a-b-c|+|b-c-a|-|a+b-c|=-(a-b-c)-(b-c-a)-(a+b-c)=-a+b+c-b+c+a-a-b+c=-a+3c$.
(2)$\because △ ABC$的三边长分别为a,b,c,$\therefore a-b＜c$,$b-c＜a$,$a+b＞c$,$\therefore a-b-c＜0$,$b-c-a＜0$,$a+b-c＞0$,则$|a-b-c|+|b-c-a|-|a+b-c|=-(a-b-c)-(b-c-a)-(a+b-c)=-a+b+c-b+c+a-a-b+c=-a+3c$.
12. 将长度为 24 的一根铝丝折成各边均为正整数的三角形,记($a$,$b$,$c$)表示三边的长为$a,b,c$,且满足$a ≤ b ≤ c$,则满足题意的$(a,b,c)$一共有
12
组.答案
12. 12 解析:$a+b+c=24$,且$a+b＞c$,$a≤ b≤ c$,由此得$8≤ c≤11$,即$c=8,9,10,11$.故可得$(a,b,c)$共有12组,分别为$(2,11,11)$,$(3,10,11)$,$(4,9,11)$,$(5,8,11)$,$(6,7,11)$,$(4,10,10)$,$(5,9,10)$,$(6,8,10)$,$(7,7,10)$,$(6,9,9)$,$(7,8,9)$,$(8,8,8)$.
13. (2026·衡水期中)龟兔举行了新跑步比赛.
比赛路线是从点 A 跑到点 B,但 A,B 之间设置了很多陷阱,兔子选择沿路线 $A \to C \to B$ 前进,乌龟可以选择的路线分别是:路线①$A \to$$C \to B$;路线②$A \to D \to B$;路线③$A \to E \to F \to B$.
(1)若乌龟选择了路线②,在判断乌龟和兔子的路线长短时,有以下思路,请你按照思路继续解答:
如图,延长 AD 交 BC 于点 P. 在 $△ APC$ 中,$AC+CP＞AD+DP ······$
(2)路线②和③相比,哪条更短?(需写出过程)
比赛路线是从点 A 跑到点 B,但 A,B 之间设置了很多陷阱,兔子选择沿路线 $A \to C \to B$ 前进,乌龟可以选择的路线分别是:路线①$A \to$$C \to B$;路线②$A \to D \to B$;路线③$A \to E \to F \to B$.
(1)若乌龟选择了路线②,在判断乌龟和兔子的路线长短时,有以下思路,请你按照思路继续解答:
如图,延长 AD 交 BC 于点 P. 在 $△ APC$ 中,$AC+CP＞AD+DP ······$
(2)路线②和③相比,哪条更短?(需写出过程)
答案
13. (1)补全过程如下:
在$△ BPD$中,$PB+DP＞BD$,$\therefore AC+CP+PB+DP＞AD+DP+BD$,$\therefore AC+BC＞AD+BD$,$\therefore$ 兔子的路线长,乌龟的路线短.
(2)如图,延长FE交AD于点M,延长EF交BD于点N.在$△ AEM$中,$AM+EM＞AE$ ①,在$△ BFN$中,$BN+FN＞BF$ ②,在$△ DMN$中,$\because DM+DN＞MN$,$\therefore DM+DN＞ME+EF+FN$ ③,
$\therefore$ 由①②③式得$AM+EM+BN+FN+DM+DN＞AE+BF+ME+EF+FN$,$\therefore AM+DM+BN+DN＞AE+BF+EF$,$\therefore AD+DB＞AE+BF+EF$,$\therefore$ 路线②和③相比,路线③更短.
在$△ BPD$中,$PB+DP＞BD$,$\therefore AC+CP+PB+DP＞AD+DP+BD$,$\therefore AC+BC＞AD+BD$,$\therefore$ 兔子的路线长,乌龟的路线短.
(2)如图,延长FE交AD于点M,延长EF交BD于点N.在$△ AEM$中,$AM+EM＞AE$ ①,在$△ BFN$中,$BN+FN＞BF$ ②,在$△ DMN$中,$\because DM+DN＞MN$,$\therefore DM+DN＞ME+EF+FN$ ③,
$\therefore$ 由①②③式得$AM+EM+BN+FN+DM+DN＞AE+BF+ME+EF+FN$,$\therefore AM+DM+BN+DN＞AE+BF+EF$,$\therefore AD+DB＞AE+BF+EF$,$\therefore$ 路线②和③相比,路线③更短.
