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一、填空题
1. 一辆卡车运矿石,晴天每天可运 20 次,雨天每天可运 12 次,它一连几天运了 112 次,平均每天运 14 次,那么这几天中有
1. 一辆卡车运矿石,晴天每天可运 20 次,雨天每天可运 12 次,它一连几天运了 112 次,平均每天运 14 次,那么这几天中有
6
天是雨天.答案
1. 6
解析
【分析】
这道题的解题思路可以分两步走：首先先求出运输的总天数，题目给出总运输次数是112次，平均每天运14次，根据“总天数=总运输次数÷平均每天运输次数”就能算出一共运了多少天。接下来这道题就转化成了典型的鸡兔同笼问题：已知晴天和雨天每天的运输次数，总天数和总运输次数，求雨天的天数，我们可以用假设法或者列一元一次方程的方法求解，用假设法的话，先假设全是晴天，算出理论总运输量和实际的差值，再除以晴天雨天每天运输量的差值，就能得到雨天的天数。
【解析】
第一步：计算总运输天数
已知一共运了112次，平均每天运14次，总天数为：
$112 ÷ 14 = 8$（天）
第二步：用假设法求解雨天天数
假设这8天全是晴天，那么理论上总共可以运输的次数为：
$20 × 8 = 160$（次）
比实际运输的112次多出的次数为：
$160 - 112 = 48$（次）
每把1天雨天错算为晴天，就会多计算运输次数：
$20 - 12 = 8$（次）
因此雨天的总天数为多出的总次数除以每天多算的次数：
$48 ÷ 8 = 6$（天）
验证：6天雨天运输$6×12=72$次，剩余$8-6=2$天晴天运输$2×20=40$次，$72+40=112$次，和题目条件完全吻合。
【答案】
6
【知识点】
鸡兔同笼问题；平均数应用；一元一次方程
【点评】
本题是鸡兔同笼的基础变形题，核心难点是需要先通过平均数关系求出总天数，不能直接套用常规鸡兔同笼的已知条件，既可以用算术假设法求解，也可以通过设未知数列方程计算，能很好地锻炼学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
这道题的解题思路可以分两步走：首先先求出运输的总天数，题目给出总运输次数是112次，平均每天运14次，根据“总天数=总运输次数÷平均每天运输次数”就能算出一共运了多少天。接下来这道题就转化成了典型的鸡兔同笼问题：已知晴天和雨天每天的运输次数，总天数和总运输次数，求雨天的天数，我们可以用假设法或者列一元一次方程的方法求解，用假设法的话，先假设全是晴天，算出理论总运输量和实际的差值，再除以晴天雨天每天运输量的差值，就能得到雨天的天数。
【解析】
第一步：计算总运输天数
已知一共运了112次，平均每天运14次，总天数为：
$112 ÷ 14 = 8$（天）
第二步：用假设法求解雨天天数
假设这8天全是晴天，那么理论上总共可以运输的次数为：
$20 × 8 = 160$（次）
比实际运输的112次多出的次数为：
$160 - 112 = 48$（次）
每把1天雨天错算为晴天，就会多计算运输次数：
$20 - 12 = 8$（次）
因此雨天的总天数为多出的总次数除以每天多算的次数：
$48 ÷ 8 = 6$（天）
验证：6天雨天运输$6×12=72$次，剩余$8-6=2$天晴天运输$2×20=40$次，$72+40=112$次，和题目条件完全吻合。
【答案】
6
【知识点】
鸡兔同笼问题；平均数应用；一元一次方程
【点评】
本题是鸡兔同笼的基础变形题，核心难点是需要先通过平均数关系求出总天数，不能直接套用常规鸡兔同笼的已知条件，既可以用算术假设法求解，也可以通过设未知数列方程计算，能很好地锻炼学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
2. 某次数学竞赛共25道题,评分标准如下:答对1道题加5分;答错1道题扣2分;不答记0分.已知小明不答的题比答错的题多2道,他的总分为91分,则他答对了
19
道题.答案
2. 19
解析
【分析】
我们先梳理题目中的三个未知量：答对题数、答错题数、不答题数，已知总题数为25，且不答的题比答错的题多2道，因此可以优先设答错的题数为x，用x依次表示出不答题数、答对题数，再结合评分规则的总分要求建立一元一次方程，求解后即可得到答对的题数。解题时要注意答错是倒扣2分，需要从答对的总得分里减去答错的总扣分，不要误算成加分。
【解析】
解：设小明答错的题数为x道，
由“不答的题比答错的题多2道”，可得不答的题数为$(x+2)$道，
因此答对的题数为总题数减去答错、不答的题数，即：
$25 - x - (x+2) = 23 - 2x$ 道
根据总分为91分的评分规则列方程：
$5×(23-2x) - 2x = 91$
展开并整理方程：
$115 -10x -2x =91$
$115 -12x =91$
$12x = 115 -91$
$12x=24$
解得$x=2$
代入答对题数的表达式，得答对题数为$23-2×2=19$道。
验证：答对19道得95分，答错2道扣4分，不答4道得0分，总分$95-4=91$，完全符合题意。
【答案】
19
【知识点】
一元一次方程应用，积分类问题
【点评】
本题是非常典型的竞赛积分类应用题，核心逻辑是通过多个未知量的数量关联，把所有未知量用同一个未知数表示，再代入总分条件求解。易错点是答错扣分的计算逻辑，最后代入验证可以避免出现不符合实际题数的错误结果。
【难度系数】
0.6
我们先梳理题目中的三个未知量：答对题数、答错题数、不答题数，已知总题数为25，且不答的题比答错的题多2道，因此可以优先设答错的题数为x，用x依次表示出不答题数、答对题数，再结合评分规则的总分要求建立一元一次方程，求解后即可得到答对的题数。解题时要注意答错是倒扣2分，需要从答对的总得分里减去答错的总扣分，不要误算成加分。
【解析】
解：设小明答错的题数为x道，
由“不答的题比答错的题多2道”，可得不答的题数为$(x+2)$道，
因此答对的题数为总题数减去答错、不答的题数，即：
$25 - x - (x+2) = 23 - 2x$ 道
根据总分为91分的评分规则列方程：
$5×(23-2x) - 2x = 91$
展开并整理方程：
$115 -10x -2x =91$
$115 -12x =91$
$12x = 115 -91$
$12x=24$
解得$x=2$
代入答对题数的表达式，得答对题数为$23-2×2=19$道。
验证：答对19道得95分，答错2道扣4分，不答4道得0分，总分$95-4=91$，完全符合题意。
【答案】
19
【知识点】
一元一次方程应用，积分类问题
【点评】
本题是非常典型的竞赛积分类应用题，核心逻辑是通过多个未知量的数量关联，把所有未知量用同一个未知数表示，再代入总分条件求解。易错点是答错扣分的计算逻辑，最后代入验证可以避免出现不符合实际题数的错误结果。
【难度系数】
0.6
3. 某条地下管线由甲工程队单独铺设需要20天,由乙工程队单独铺设需要30天,现计划由乙工程队先从一端铺设5天,然后增加甲工程队从另一端和乙工程队同时铺设. 则完成这条地下管线的铺设任务时,甲、乙两个工程队合作铺设的天数为
10
.答案
3. 10
解析
【分析】
这是典型的一元一次方程工程问题，解题思路如下：
1. 首先将整条地下管线的总铺设工作量看作单位“1”，根据甲乙单独完成的时间，分别算出两队的单日工作效率：甲队效率为总工作量除以单独完成时间即$\frac{1}{20}$，乙队效率为$\frac{1}{30}$。
2. 设甲乙两队合作铺设的天数为$x$，先计算乙队单独工作5天完成的工作量，再计算两队合作$x$天完成的工作量，根据“乙单独完成的工作量 + 甲乙合作完成的工作量 = 总工作量1”的等量关系列出方程，求解即可得到合作天数。
【解析】
解：设甲、乙两个工程队合作铺设的天数为$x$。
把总工作量记为单位1，可得：
甲队的工作效率为 $\frac{1}{20}$，乙队的工作效率为 $\frac{1}{30}$。
乙队先单独铺设5天的工作量为：$5×\frac{1}{30}=\frac{1}{6}$
甲乙两队合作时的总工作效率为：$\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=\frac{3+2}{60}=\frac{1}{12}$
根据总工作量为1列方程：
$\frac{1}{6} + \frac{1}{12}x = 1$
移项得：$\frac{1}{12}x = 1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
解得：$x = \frac{5}{6} × 12 = 10$
即甲乙合作铺设的天数为10天。
【答案】
10
【知识点】
工程问题，一元一次方程应用
【点评】
本题属于工程类基础应用题，核心考查工作效率、工作时间、总工作量三者的对应关系，解题时只需明确各阶段的工作量拆分逻辑即可，易错点是误将乙队的全部工作时间直接等同于合作时间，忽略乙先单独工作的5天部分。
【难度系数】
0.7
这是典型的一元一次方程工程问题，解题思路如下：
1. 首先将整条地下管线的总铺设工作量看作单位“1”，根据甲乙单独完成的时间，分别算出两队的单日工作效率：甲队效率为总工作量除以单独完成时间即$\frac{1}{20}$，乙队效率为$\frac{1}{30}$。
2. 设甲乙两队合作铺设的天数为$x$，先计算乙队单独工作5天完成的工作量，再计算两队合作$x$天完成的工作量，根据“乙单独完成的工作量 + 甲乙合作完成的工作量 = 总工作量1”的等量关系列出方程，求解即可得到合作天数。
【解析】
解：设甲、乙两个工程队合作铺设的天数为$x$。
把总工作量记为单位1，可得：
甲队的工作效率为 $\frac{1}{20}$，乙队的工作效率为 $\frac{1}{30}$。
乙队先单独铺设5天的工作量为：$5×\frac{1}{30}=\frac{1}{6}$
甲乙两队合作时的总工作效率为：$\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=\frac{3+2}{60}=\frac{1}{12}$
根据总工作量为1列方程：
$\frac{1}{6} + \frac{1}{12}x = 1$
移项得：$\frac{1}{12}x = 1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
解得：$x = \frac{5}{6} × 12 = 10$
即甲乙合作铺设的天数为10天。
【答案】
10
【知识点】
工程问题，一元一次方程应用
【点评】
本题属于工程类基础应用题，核心考查工作效率、工作时间、总工作量三者的对应关系，解题时只需明确各阶段的工作量拆分逻辑即可，易错点是误将乙队的全部工作时间直接等同于合作时间，忽略乙先单独工作的5天部分。
【难度系数】
0.7
4. 一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个排水管丙,单独打开甲管6小时可注满水池;单独打开乙管8小时可注满水池;单独打开丙管12小时可将满池水排空.若先将甲、乙两管同时打开2小时,再打开丙管,则打开丙管
2
小时后水池被注满.答案
4. 2
解析
【分析】
这是典型的水管类工程应用题，我们可以先将蓄水池的总容量看作单位“1”，先分别求出甲、乙进水管的注水效率和丙排水管的排水效率。第一步先计算甲、乙同时开放2小时的注水量，得到此时水池还未注满的剩余容量；第二步，打开丙管后，实际每小时的净注水量为甲、乙的注水效率之和减去丙的排水效率，最后用剩余未注的容量除以净注水量，就能得到打开丙管后注满水池所需的时间。
【解析】
解：设蓄水池总容量为单位1，
可得各水管的效率：
甲管注水效率 $v_甲=\frac{1}{6}$，
乙管注水效率 $v_乙=\frac{1}{8}$，
丙管排水效率 $v_丙=\frac{1}{12}$。
1. 计算甲、乙同时开放2小时的注水量：
$2×(v_甲 + v_乙)=2×(\frac{1}{6}+\frac{1}{8})=2×\frac{7}{24}=\frac{7}{12}$
2. 此时剩余需要注入的水量：
$1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$
3. 打开丙管后，每小时的净注水效率：
$v_净 = v_甲 + v_乙 - v_丙 = \frac{1}{6}+\frac{1}{8}-\frac{1}{12}=\frac{5}{24}$
4. 设打开丙管后$x$小时水池被注满，列方程得：
$\frac{5}{24}x=\frac{5}{12}$
解得 $x=2$
【答案】
2
【知识点】
工程问题，一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础的水管工程问题，核心是把总工作量设为单位1，区分进水管和排水管的效率的正负属性，理清不同阶段的工作状态即可顺利求解，易错点是忘记排水管的排水作用，误将三个管的效率直接相加。
【难度系数】
0.7
这是典型的水管类工程应用题，我们可以先将蓄水池的总容量看作单位“1”，先分别求出甲、乙进水管的注水效率和丙排水管的排水效率。第一步先计算甲、乙同时开放2小时的注水量，得到此时水池还未注满的剩余容量；第二步，打开丙管后，实际每小时的净注水量为甲、乙的注水效率之和减去丙的排水效率，最后用剩余未注的容量除以净注水量，就能得到打开丙管后注满水池所需的时间。
【解析】
解：设蓄水池总容量为单位1，
可得各水管的效率：
甲管注水效率 $v_甲=\frac{1}{6}$，
乙管注水效率 $v_乙=\frac{1}{8}$，
丙管排水效率 $v_丙=\frac{1}{12}$。
1. 计算甲、乙同时开放2小时的注水量：
$2×(v_甲 + v_乙)=2×(\frac{1}{6}+\frac{1}{8})=2×\frac{7}{24}=\frac{7}{12}$
2. 此时剩余需要注入的水量：
$1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$
3. 打开丙管后，每小时的净注水效率：
$v_净 = v_甲 + v_乙 - v_丙 = \frac{1}{6}+\frac{1}{8}-\frac{1}{12}=\frac{5}{24}$
4. 设打开丙管后$x$小时水池被注满，列方程得：
$\frac{5}{24}x=\frac{5}{12}$
解得 $x=2$
【答案】
2
【知识点】
工程问题，一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础的水管工程问题，核心是把总工作量设为单位1，区分进水管和排水管的效率的正负属性，理清不同阶段的工作状态即可顺利求解，易错点是忘记排水管的排水作用，误将三个管的效率直接相加。
【难度系数】
0.7
二、解答题
5. 一项工作,甲单独做 10 小时完成,乙单独做 12 小时完成,丙单独做 15 小时完成,现在三人合作,但甲因中途另有任务提前撤出,结果 6 小时完成,甲只做了多少小时?
5. 一项工作,甲单独做 10 小时完成,乙单独做 12 小时完成,丙单独做 15 小时完成,现在三人合作,但甲因中途另有任务提前撤出,结果 6 小时完成,甲只做了多少小时?
答案
5. 设甲只做了x小时.依题意,得$\frac{x}{10}+\frac{6}{12}+\frac{6}{15}=1$,解得x=1.答:甲只做了1小时
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题思路如下：1. 首先将整项工作的总工作量看作单位“1”，根据三人单独完成工作的时长，分别求出三人的工作效率（即每小时完成总工作量的占比）；2. 梳理已知条件：最终整项工作6小时完成，甲中途提前撤出，说明乙、丙二人全程参与了工作，工作时长均为6小时，仅甲的工作时长未知；3. 设甲的工作时长为x小时，根据“三人的工作量之和等于总工作量1”的核心等量关系列出方程，求解即可得到甲的工作时长。
【解析】
解：设甲只做了x小时。
把总工作量看作单位“1”，可得甲、乙、丙的工作效率分别为$\frac{1}{10}$、$\frac{1}{12}$、$\frac{1}{15}$。
由于乙、丙全程工作了6小时，因此乙的工作量为$\frac{6}{12}$，丙的工作量为$\frac{6}{15}$，甲的工作量为$\frac{x}{10}$。
根据总工作量为1列方程：
$\frac{x}{10}+\frac{6}{12}+\frac{6}{15}=1$
化简计算：
$\frac{x}{10}+\frac{1}{2}+\frac{2}{5}=1$
$\frac{x}{10}+\frac{9}{10}=1$
$\frac{x}{10}=\frac{1}{10}$
解得：$x=1$
答：甲只做了1小时。
【答案】
甲只做了1小时
【知识点】
工程问题，一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础工程问题，核心技巧是将总工作量设为单位“1”简化计算，解题的关键是准确判断乙、丙的工作时长为全程6小时，不少同学容易错误认为三人的工作时长都相同，找错等量关系导致计算失误。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类应用题，解题思路如下：1. 首先将整项工作的总工作量看作单位“1”，根据三人单独完成工作的时长，分别求出三人的工作效率（即每小时完成总工作量的占比）；2. 梳理已知条件：最终整项工作6小时完成，甲中途提前撤出，说明乙、丙二人全程参与了工作，工作时长均为6小时，仅甲的工作时长未知；3. 设甲的工作时长为x小时，根据“三人的工作量之和等于总工作量1”的核心等量关系列出方程，求解即可得到甲的工作时长。
【解析】
解：设甲只做了x小时。
把总工作量看作单位“1”，可得甲、乙、丙的工作效率分别为$\frac{1}{10}$、$\frac{1}{12}$、$\frac{1}{15}$。
由于乙、丙全程工作了6小时，因此乙的工作量为$\frac{6}{12}$，丙的工作量为$\frac{6}{15}$，甲的工作量为$\frac{x}{10}$。
根据总工作量为1列方程：
$\frac{x}{10}+\frac{6}{12}+\frac{6}{15}=1$
化简计算：
$\frac{x}{10}+\frac{1}{2}+\frac{2}{5}=1$
$\frac{x}{10}+\frac{9}{10}=1$
$\frac{x}{10}=\frac{1}{10}$
解得：$x=1$
答：甲只做了1小时。
【答案】
甲只做了1小时
【知识点】
工程问题，一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础工程问题，核心技巧是将总工作量设为单位“1”简化计算，解题的关键是准确判断乙、丙的工作时长为全程6小时，不少同学容易错误认为三人的工作时长都相同，找错等量关系导致计算失误。
【难度系数】
0.7
6. 为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某市采用分段收费,规定每月每户居民生活用水标准量为 22 立方米,每月生活用水的收费标准及单价说明如下表所示:
某居民某月用水 10 立方米,共缴纳水费 23 元.
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 该居民 10 月缴纳水费 71 元,求该居民 10 月的用水量.
某居民某月用水 10 立方米,共缴纳水费 23 元.
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 该居民 10 月缴纳水费 71 元,求该居民 10 月的用水量.
答案
6. (1) 由题意,得10a=23,解得a=2.3
(2) 因为2.3×22=50.6(元),50.6＜71,所以该居民10月的用水量超过22立方米.设该居民10月的用水量为x立方米.由题意,得2.3×22+(2.3+1.1)×(x-22)=71,解得x=28.答:该居民10月的用水量为28立方米
(2) 因为2.3×22=50.6(元),50.6＜71,所以该居民10月的用水量超过22立方米.设该居民10月的用水量为x立方米.由题意,得2.3×22+(2.3+1.1)×(x-22)=71,解得x=28.答:该居民10月的用水量为28立方米
解析
【分析】
这是典型的分段计费实际应用题，解题思路如下：
1. 第一问：首先判断该居民用水10立方米，小于规定的22立方米，属于第一档收费区间，该区间免收污水处理费，总水费直接等于用水量乘以第一档单价a，代入已知的总水费23元，直接列一元一次方程即可求解a。
2. 第二问：先计算用水量恰好为22立方米时需要缴纳的水费，和该居民实际缴纳的71元对比，发现71元大于22立方米的水费，说明该居民用水量超过22立方米。此时总水费分为两部分：22立方米的第一档水费，加上超出22立方米部分的费用，设总用水量为x立方米，根据两部分费用之和等于71元列方程，即可解出总用水量。
【解析】
(1) 由题意，该居民用水10立方米，10＜22，属于不超出22立方米的收费区间，免收污水处理费，因此总水费满足方程：
$10a=23$
解得：$a=2.3$。
(2) 先计算用水量为22立方米时的总水费：
$2.3×22=50.6\ \mathrm{元}$
由于$50.6＜71$，说明该居民10月用水量超过22立方米。
设该居民10月的用水量为$x$立方米，根据收费规则列方程：
$2.3×22+(2.3+1.1)×(x-22)=71$
化简计算：
$50.6+3.4(x-22)=71$
$3.4(x-22)=20.4$
$x-22=6$
解得：$x=28$。
答：该居民10月的用水量为28立方米。
【答案】
(1) $a=2.3$；(2) 该居民10月用水量为28立方米
【知识点】
分段计费问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活中的阶梯水费场景出题，核心考点是分段计费的规则应用，解题的关键是先判断用水量所属的收费区间，再对应不同档位的收费标准列方程，不容易出现复杂的计算错误，能有效锻炼学生用数学知识解决实际生活问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是典型的分段计费实际应用题，解题思路如下：
1. 第一问：首先判断该居民用水10立方米，小于规定的22立方米，属于第一档收费区间，该区间免收污水处理费，总水费直接等于用水量乘以第一档单价a，代入已知的总水费23元，直接列一元一次方程即可求解a。
2. 第二问：先计算用水量恰好为22立方米时需要缴纳的水费，和该居民实际缴纳的71元对比，发现71元大于22立方米的水费，说明该居民用水量超过22立方米。此时总水费分为两部分：22立方米的第一档水费，加上超出22立方米部分的费用，设总用水量为x立方米，根据两部分费用之和等于71元列方程，即可解出总用水量。
【解析】
(1) 由题意，该居民用水10立方米，10＜22，属于不超出22立方米的收费区间，免收污水处理费，因此总水费满足方程：
$10a=23$
解得：$a=2.3$。
(2) 先计算用水量为22立方米时的总水费：
$2.3×22=50.6\ \mathrm{元}$
由于$50.6＜71$，说明该居民10月用水量超过22立方米。
设该居民10月的用水量为$x$立方米，根据收费规则列方程：
$2.3×22+(2.3+1.1)×(x-22)=71$
化简计算：
$50.6+3.4(x-22)=71$
$3.4(x-22)=20.4$
$x-22=6$
解得：$x=28$。
答：该居民10月的用水量为28立方米。
【答案】
(1) $a=2.3$；(2) 该居民10月用水量为28立方米
【知识点】
分段计费问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活中的阶梯水费场景出题，核心考点是分段计费的规则应用，解题的关键是先判断用水量所属的收费区间，再对应不同档位的收费标准列方程，不容易出现复杂的计算错误，能有效锻炼学生用数学知识解决实际生活问题的能力。
【难度系数】
0.7
