1. (2025·扬州邗江区期末) 在等腰三角形 $ABC$ 中，$∠ A=2∠ B$，则 $∠ C$ 的度数为。

1. 设$∠ B=x°$,则$∠ A=2x°$,
当$∠ A$是顶角时,$∠ A + 2∠ B=180°$,即$4x=180$,解得$x=45$,此时$∠ C=∠ B=45°$;
当$∠ A$是底角时,$2∠ A + ∠ B=180°$,即$5x=180$,解得$x=36$,此时$∠ C=2∠ B=72°$.故$∠ C$的度数为$45°$或$72°$.

2. 中考新考法 新定义问题 （2025·镇江期中改编）若一个三角形的两个内角之差是第三个内角的一半，则称这个三角形是“差半角三角形”.若一个等腰三角形是“差半角三角形”，求它的底角度数.

2. 设等腰三角形的底角是$α$,则顶角是$(180°-2α)$,其中$α＜90°$,
根据“差半角三角形”知当这个等腰三角形是“差半角三角形”时,有以下两种情况:
①当$(180°-2α)-α=\frac{α}{2}$时,
解得$α=(\frac{360}{7})°＜90°$,符合题意,
②当$α-(180°-2α)=\frac{α}{2}$时,
解得$α=72°＜90°$,符合题意,
综上所述,这个等腰三角形的底角度数是$(\frac{360}{7})°$或$72°$.

3. (2025·苏州姑苏区期中)一个等腰三角形，其一边长为3，周长为12，这个三角形的腰长为.

3. 分两种情况进行讨论:
①当等腰三角形的腰为3时,
$\because$等腰三角形的周长为12,
$\therefore$等腰三角形的底边长$=12-3-3=6$.
$\because 3+3=6$,$\therefore$不能组成三角形.
②当等腰三角形的底为3时,
$\because$等腰三角形的周长为12,
$\therefore$等腰三角形的腰$=\frac{12-3}{2}=4.5$.
$\because 3+4.5=7.5＞4.5$,$\therefore$能组成三角形.
综上所述,这个三角形的腰长为4.5.

4. 中考新考法 新定义问题 （2025·扬州江都区期末）定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形$ABC$是“倍长三角形”，腰$AB$的长为6，则$△ ABC$的周长为.

4. 分两种情况:
当等腰三角形的底边长$BC$是腰长$AB$的2倍时,
$\because$腰长$AB=AC=6$,$\therefore$底边$BC$的长为12.
$\because 6+6=12$,$\therefore$不能组成三角形;
当等腰三角形的腰长$AB$是底边长$BC$的2倍时,
$\because$腰长$AB=AC=6$,$\therefore$底边$BC$的长为3,
$\therefore△ ABC$的周长为$6+6+3=15$.
综上所述,$△ ABC$的周长为15.

5.（2025·连云港赣榆区期中）如图，在等腰三角形
$ABC$ 中，$AB=AC$，$∠ B=50°$，$D$ 为 $BC$ 的中点，点 $E$ 在 $AB$ 上，$∠ AED=69°$，若点 $P$ 是等腰三角形 $ABC$ 的腰 $AC$ 上的一点，则当
$△ EDP$ 为等腰三角形时，$∠ EDP$ 的度数是.

5. 如图,连接$AD$,
$\because AB=AC$,$∠ B=50°$,$\therefore∠ BAC=180°-50°-50°=80°$.
$\because$点$P$是等腰三角形$ABC$的腰$AC$上的一点,$AB=AC$,$D$为$BC$的中点,
$\therefore∠ BAD=∠ CAD$,
过点$D$作$DH⊥ AC$于点$H$,$DG⊥ AB$于点$G$,$\therefore DG=DH$.
在$\mathrm{Rt}△ DEG$与$\mathrm{Rt}△ DP_2H$中,
$\begin{cases}DE=DP_2,\\DG=DH,\end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ DEG≌\mathrm{Rt}△ DP_2H(\mathrm{HL})$,
$\therefore∠ CP_2D=∠ AED=69°$,
$\because∠ BAC=80°$,
$\therefore∠ EDP_2=100°$,
同理可得$\mathrm{Rt}△ DEG≌\mathrm{Rt}△ DP_1H$,
$\therefore∠ EDP_1=360°-69°-69°-80°=142°$.

6. (2025·南京秦淮区期中)如图，$M,N$ 是 $∠ AOB$ 的边 $OA$ 上的两个点 $(OM＜ON),∠ AOB=30°,OM=a,MN=3$，若边 $OB$ 上有且只有1 个点 $P$，满足 $△ PMN$ 是等腰三角形，则 $a$ 的取值范围是.

6. ①作线段$MN$的垂直平分线交$OB$于点$P$,连接$PM$,$PN$,如图所示:
则$PM=PN$,此时$△ PMN$是等腰三角形,
过点$M$作$MH⊥ OB$于点$H$,
当$MH＞MN$,满足条件的点$P$恰好只有一个.
$\because MN=3$,$∠ AOB=30°$,
当$MH=3$时,$OM=2MH=6$,
$\therefore$当$a＞6$时,满足条件的点$P$恰好只有一个;
②当$△ PMN$是等边三角形时,满足条件的点$P$恰好只有一个,
此时$MN=MP$,$∠ NMP=60°$,
$\because∠ AOB=30°$,$\therefore∠ MPO=30°$,
$\therefore OM=MP=MN=3$,$\therefore a=3$.
综上所述,满足条件的$a$的取值范围为$a=3$或$a＞6$.

7. 如图，$∠ AOB=60°$，$C$ 是 $BO$ 延长线上一点，$OC=12\ \mathrm{cm}$，动点 $M$ 从点 $C$ 出发沿射线 $CB$ 以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度移动，动点 $N$ 从点 $O$ 出发沿射线 $OA$ 以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度移动，如果点 $M,N$ 同时出发，设运动的时间为 $t\ \mathrm{s}$，那么当 $t$ 为何值时，$△ MON$ 是等腰三角形？

精题详解

7. 由题意知,当$0＜ t≤ 6$时,$OM=12-2t$;
当$t＞6$时,$OM=2t-12$,$ON=t$.
$\because△ MON$是等腰三角形,
$\therefore$当$0＜ t≤ 6$时,$OM=ON$,即$12-2t=t$,解得$t=4$,
当$t＞6$时,$△ MON$是等腰三角形,
$\therefore OM=ON$,即$2t-12=t$,解得$t=12$.
综上所述,$t$的值为$4$或$12$.