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1. 若 $a,b$ 是正整数，且满足 $4^{a}+4^{a}+4^{a}+$$4^{a}=4^{b} × 4^{b} × 4^{b} × 4^{b}$，则下列 $a$ 与 $b$ 的关系正确的是（
A.$a=b$
B.$4a=b^{4}$
C.$a+1=b^{4}$
D.$4b-a=1$
D
）A.$a=b$
B.$4a=b^{4}$
C.$a+1=b^{4}$
D.$4b-a=1$
答案
1. D 提示: 因为 $4^{a}+4^{a}+4^{a}+4^{a}=4 × 4^{a}=4^{a+1},4^{b} × 4^{b} × 4^{b} × 4^{b}=4^{b+b+b+b}=4^{4b},4^{a}+4^{a}+4^{a}+4^{a}=4^{b} × 4^{b} × 4^{b} × 4^{b}$，所以 $4^{a+1}=4^{4b}$，所以 $a+1=4b$，所以 $4b-a=1$.
解析
【分析】
解题时我们可以分三步思考：第一步先处理等式的左侧，左侧是4个完全相同的项$4^a$相加，相同数累加可以转化为乘法，也就是4乘$4^a$，再转化为以4为底的幂的形式；第二步处理等式的右侧，右侧是4个完全相同的项$4^b$相乘，根据同底数幂相乘的运算法则，底数不变指数相加，把右侧也转化为以4为底的幂的形式；第三步，当两个以相同的大于1的正数为底的幂相等时，它们的指数必然相等，由此列出a和b的等式，整理后和选项比对就能得到正确结果。
【解析】
1. 化简等式左侧：
左侧为4个$4^a$相加，可得：
$4^{a}+4^{a}+4^{a}+4^{a}=4×4^a$
根据同底数幂乘法法则$a^m · a^n = a^{m+n}$，其中$4=4^1$，因此：
$4×4^a = 4^{a+1}$
2. 化简等式右侧：
右侧为4个$4^b$相乘，可得：
$4^{b} × 4^{b} × 4^{b} × 4^{b} = 4^{b+b+b+b}=4^{4b}$
3. 联立等式推导关系：
由题设左右两侧相等，即$4^{a+1}=4^{4b}$，由于底数4≠1且4＞0，因此幂相等时指数相等，可得：
$a+1=4b$
将等式移项整理得：$4b - a =1$，对应选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法，同底数幂相等性质
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心是区分幂的加法累加和幂的连乘的不同运算规则，避免出现把右侧指数误算为$b^4$的常见错误，熟练掌握基础幂运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以分三步思考：第一步先处理等式的左侧，左侧是4个完全相同的项$4^a$相加，相同数累加可以转化为乘法，也就是4乘$4^a$，再转化为以4为底的幂的形式；第二步处理等式的右侧，右侧是4个完全相同的项$4^b$相乘，根据同底数幂相乘的运算法则，底数不变指数相加，把右侧也转化为以4为底的幂的形式；第三步，当两个以相同的大于1的正数为底的幂相等时，它们的指数必然相等，由此列出a和b的等式，整理后和选项比对就能得到正确结果。
【解析】
1. 化简等式左侧：
左侧为4个$4^a$相加，可得：
$4^{a}+4^{a}+4^{a}+4^{a}=4×4^a$
根据同底数幂乘法法则$a^m · a^n = a^{m+n}$，其中$4=4^1$，因此：
$4×4^a = 4^{a+1}$
2. 化简等式右侧：
右侧为4个$4^b$相乘，可得：
$4^{b} × 4^{b} × 4^{b} × 4^{b} = 4^{b+b+b+b}=4^{4b}$
3. 联立等式推导关系：
由题设左右两侧相等，即$4^{a+1}=4^{4b}$，由于底数4≠1且4＞0，因此幂相等时指数相等，可得：
$a+1=4b$
将等式移项整理得：$4b - a =1$，对应选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法，同底数幂相等性质
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心是区分幂的加法累加和幂的连乘的不同运算规则，避免出现把右侧指数误算为$b^4$的常见错误，熟练掌握基础幂运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 已知$A=2x^{2}-ax-7$，$B=bx^{2}-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2}.$当$A-2B$的值与$x$的取值无关时，$a-b=$
2
.答案
2. 2 提示: 因为 $A=2x^{2}-ax-7,B=bx^{2}-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2}$，所以 $A-2B=2x^{2}-ax-7-2(bx^{2}-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2})=2x^{2}-ax-7-2bx^{2}+3x+5=(2-2b)x^{2}+(3-a)x-2$. 因为代数式 $A-2B$ 的值与字母 $x$ 的取值无关，所以 $2-2b=0,3-a=0$，解得 $a=3,b=1$，所以 $a-b=3-1=2$.
解析
【分析】
这道题的核心条件是“A-2B的值与x的取值无关”，我们可以按以下思路思考：第一步，先把已知的A和B的表达式代入A-2B，按照整式加减的规则去括号、合并同类项，将结果整理为按x的降幂排列的标准多项式形式；第二步，理解“代数式的值与x取值无关”的含义：所有含有x的项的系数都必须为0，这样无论x取什么值，含x的项的结果都是0，代数式的值就不会随x变化；第三步，根据x²项、x项的系数为0列出关于a、b的方程，解出a和b的具体数值，最后代入a-b计算出结果即可。
【解析】
首先将A、B代入A-2B进行化简：
$\begin{aligned}A-2B&=2x^2 -ax -7 -2(bx^2 -\frac{3}{2}x -\frac{5}{2})\\&=2x^2 -ax -7 -2bx^2 + 3x +5\\&=(2-2b)x^2 + (3-a)x -2\end{aligned}$
因为A-2B的值与x的取值无关，说明所有含x的项的系数均为0，因此可得：
$\begin{cases}2-2b=0\\3-a=0\end{cases}$
分别解两个方程：
由2-2b=0，解得b=1；
由3-a=0，解得a=3。
将a=3，b=1代入a-b，得a-b=3-1=2。
【答案】
2
【知识点】
整式的加减，多项式无关性质，一元一次方程求解
【点评】
本题是整式加减章节的经典基础题型，重点考察对“代数式与变量取值无关”这一条件的理解，解题时要注意去括号时的符号变化，以及乘数-2要乘括号内的所有项，避免出现漏乘、符号错误的问题，熟练掌握该类题型的解法可以为后续含参整式问题的学习打好基础。
【难度系数】
0.7
这道题的核心条件是“A-2B的值与x的取值无关”，我们可以按以下思路思考：第一步，先把已知的A和B的表达式代入A-2B，按照整式加减的规则去括号、合并同类项，将结果整理为按x的降幂排列的标准多项式形式；第二步，理解“代数式的值与x取值无关”的含义：所有含有x的项的系数都必须为0，这样无论x取什么值，含x的项的结果都是0，代数式的值就不会随x变化；第三步，根据x²项、x项的系数为0列出关于a、b的方程，解出a和b的具体数值，最后代入a-b计算出结果即可。
【解析】
首先将A、B代入A-2B进行化简：
$\begin{aligned}A-2B&=2x^2 -ax -7 -2(bx^2 -\frac{3}{2}x -\frac{5}{2})\\&=2x^2 -ax -7 -2bx^2 + 3x +5\\&=(2-2b)x^2 + (3-a)x -2\end{aligned}$
因为A-2B的值与x的取值无关，说明所有含x的项的系数均为0，因此可得：
$\begin{cases}2-2b=0\\3-a=0\end{cases}$
分别解两个方程：
由2-2b=0，解得b=1；
由3-a=0，解得a=3。
将a=3，b=1代入a-b，得a-b=3-1=2。
【答案】
2
【知识点】
整式的加减，多项式无关性质，一元一次方程求解
【点评】
本题是整式加减章节的经典基础题型，重点考察对“代数式与变量取值无关”这一条件的理解，解题时要注意去括号时的符号变化，以及乘数-2要乘括号内的所有项，避免出现漏乘、符号错误的问题，熟练掌握该类题型的解法可以为后续含参整式问题的学习打好基础。
【难度系数】
0.7
3.【阅读材料】日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射。
图1是光的反射示意图(反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点)。
【尝试探究】
(1) 如图2，$OC$为法线，入射光线与镜面$AB$所夹的锐角为$∠ AOM$，反射光线与镜面$AB$所夹的锐角为$∠ BON$，试探究$∠ AOM$和$∠ BON$之间的数量关系，并说明理由。
【结论应用】请用(1)中获得的结论解决以下问题：
(2) 如图3，平面镜$MN// PQ$，点$A$在$PQ$上，点$B$在$MN$上，光线$AB$被$MN$反射后再次被$PQ$反射，入射光线$AB$经过两次反射后的光线为$CD$，其中点$C$在$PQ$上，点$D$在$MN$上。请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线$CD$(不写作法，保留作图痕迹)。
(3) 如图4，两平面镜$OA$，$OB$相交于点$O$，入射光线$MP$经两个平面镜两次反射后的反射光线为$QN$，$QN$和$PM$相交，设交点为$H$。通过调整两个平面镜的夹角($∠ AOB$)的大小，可以改变反射光线$QN$的方向。当$PM⊥ QN$时(即$∠ PHQ=90°$)，求$∠ AOB$的大小。
(4) 如图5，$OM$，$ON$为两个足够长的平面镜，若$∠ MON=10°$，$AB$为一条入射光线，$B$为入射点，且$AB⊥ OM$，请问，入射光线$AB$经过
图1是光的反射示意图(反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点)。
【尝试探究】
(1) 如图2，$OC$为法线，入射光线与镜面$AB$所夹的锐角为$∠ AOM$，反射光线与镜面$AB$所夹的锐角为$∠ BON$，试探究$∠ AOM$和$∠ BON$之间的数量关系，并说明理由。
【结论应用】请用(1)中获得的结论解决以下问题：
(2) 如图3，平面镜$MN// PQ$，点$A$在$PQ$上，点$B$在$MN$上，光线$AB$被$MN$反射后再次被$PQ$反射，入射光线$AB$经过两次反射后的光线为$CD$，其中点$C$在$PQ$上，点$D$在$MN$上。请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线$CD$(不写作法，保留作图痕迹)。
(3) 如图4，两平面镜$OA$，$OB$相交于点$O$，入射光线$MP$经两个平面镜两次反射后的反射光线为$QN$，$QN$和$PM$相交，设交点为$H$。通过调整两个平面镜的夹角($∠ AOB$)的大小，可以改变反射光线$QN$的方向。当$PM⊥ QN$时(即$∠ PHQ=90°$)，求$∠ AOB$的大小。
(4) 如图5，$OM$，$ON$为两个足够长的平面镜，若$∠ MON=10°$，$AB$为一条入射光线，$B$为入射点，且$AB⊥ OM$，请问，入射光线$AB$经过
8
次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出。答案
3. (1) 解:$∠ AOM$ 和 $∠ BON$ 之间的数量关系是$∠ AOM=∠ BON$. 理由如下:
根据题意, 得 $∠ MOC=∠ NOC$, 又因为 $OC⊥ AB$, 所以 $∠ AOC=∠ BOC=90°$, 所以 $90°-∠ MOC=90°-∠ NOC$, 所以 $∠ AOM=∠ BON$.
(2) 解: 根据光的反射原理, 作一个角等于已知角的基本作图, 画图如图 1 所示, 则 $CD$ 即为所求。
(3) 解: 如图 2, 连接 $OH$. 根据题意, 得 $∠ PQO=∠ HQB, ∠ QPO=∠ HPA$. 因为 $∠ HQB = ∠ QHO + ∠ QOH, ∠ HPA = ∠ PHO+∠ POH$, 所以 $∠ HQB+∠ HPA=∠ QHO +∠ QOH +∠ PHO +∠ POH =∠ AOB+∠ PHQ$, 所以 $∠ PQO+∠ QPO=∠ AOB+∠ PHQ$. 因为 $PM⊥ QN$, 所以 $∠ PHQ = 90°$, 所以 $∠ PQO + ∠ QPO =∠ AOB+90°$, 所以 $180°-∠ AOB=∠ AOB+90°$, 所以 $2∠ AOB=90°$, 解得 $∠ AOB=45°$.
(4) 8 提示: 如图 3, 因为 $AB⊥ OM$, 所以 $∠ OAB=90°$. 因为 $∠ MON=10°$, 所以 $∠ ABO=90°-∠ MON=80°$. 根据反射原理, 得第一次入射时, 入射光线、反射光线与平面镜的夹角 $∠ ABO=∠ CBD=80°$, 所以 $∠ ABC=180°-80°-80°=20°$, 所以 $∠ ACB=90°-20°=70°$; 根据反射原理, 得第二次反射时, 入射光线、反射光线与平面镜的夹角 $∠ ACB=∠ DCE=70°$, 所以 $∠ BCD=180°-70°-70°=40°$, 所以 $∠ CDB=180°-40°-80°=60°$; 根据光的反射原理, 得第三次反射时, 入射光线、反射光线与平面镜的夹角 $∠ CDB=∠ EDF=60°$……由此得到规律, 每次反射时, 入射光线、反射光线与平面镜的夹角依次为 $80°,70°,60°,50°,40°,30°,20°,10°$, 根据题意, 当第八次反射时, 反射光线与平面镜 $OM$ 的夹角为 $10°$, 故 $∠ MON=∠ MPQ=10°$, 所以 $ON// PQ$.
解析
【分析】
我们可以分小问逐步梳理解题思路：
1. 第(1)问：已知法线OC与镜面AB垂直，可得∠AOC=∠BOC=90°，结合光的反射定律给出的反射角等于入射角，即∠MOC=∠NOC，利用等角的余角相等的性质，就能直接推导出∠AOM和∠BON的关系。
2. 第(2)问：利用(1)得到的结论：入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，先在B点作出AB经MN反射后指向A点的光线，再在A点以PQ为边，用尺规作一个角等于入射光线与PQ的夹角，得到的另一边就是所求的反射光线CD，符合无刻度直尺和圆规的作图要求。
3. 第(3)问：先根据反射性质得到两组相等的角，再结合三角形外角的性质，将角的和转化为∠AOB与∠PHQ的和，代入三角形内角和为180°的性质，结合已知∠PHQ=90°，通过解方程即可算出∠AOB的度数。
4. 第(4)问：从初始的AB⊥OM的条件出发，结合∠MON=10°，算出第一次反射光线和镜面的夹角为80°，后续每一次反射，光线与镜面的夹角都递减10°，当夹角为10°时，光线就会和其中一个镜面平行，数出符合条件的反射次数即可。
【解析】
(1) 推导∠AOM和∠BON的关系：
由题意可知，OC为法线，因此OC⊥AB，可得∠AOC=∠BOC=90°；
根据光的反射定律，反射角等于入射角，即∠MOC=∠NOC；
因此90°-∠MOC=90°-∠NOC，即可得到∠AOM=∠BON。
(2) 尺规作图步骤逻辑：
先在B点，以MN为一边，作角等于AB与MN的夹角，得到BA段反射光线；再在A点，以PQ为一边，作角等于BA与PQ的夹角，最终得到的边CD即为所求反射光线。
(3) 计算∠AOB的度数：
连接OH，根据反射性质可得∠PQO=∠HQB，∠QPO=∠HPA；
由三角形外角性质：∠HQB=∠QHO+∠QOH，∠HPA=∠PHO+∠POH，因此∠HQB+∠HPA=∠QHO+∠QOH+∠PHO+∠POH=∠AOB+∠PHQ，即∠PQO+∠QPO=∠AOB+∠PHQ；
在△OPQ中，∠PQO+∠QPO=180°-∠AOB，已知PM⊥QN即∠PHQ=90°，代入得180°-∠AOB=∠AOB+90°，整理得2∠AOB=90°，解得∠AOB=45°。
(4) 推导反射次数：
已知AB⊥OM，∠MON=10°，因此第一次入射时，光线与ON的夹角为80°；根据反射规律，后续每次反射光线与对应镜面的夹角依次为70°、60°、50°、40°、30°、20°、10°，当夹角为10°时，反射光线与另一个镜面平行，累计共8次反射。
【答案】
(1) $∠ AOM=∠ BON$，理由如下：
根据题意，得 $∠ MOC=∠ NOC$，又因为 $OC⊥ AB$，所以 $∠ AOC=∠ BOC=90°$，所以 $90°-∠ MOC=90°-∠ NOC$，所以 $∠ AOM=∠ BON$。
(2) 根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，画图如下，则 $CD$ 即为所求。
(3) 连接 $OH$。根据题意，得 $∠ PQO=∠ HQB, ∠ QPO=∠ HPA$。因为 $∠ HQB = ∠ QHO + ∠ QOH, ∠ HPA = ∠ PHO+∠ POH$，所以 $∠ HQB+∠ HPA=∠ QHO +∠ QOH + ∠ PHO + ∠ POH =∠ AOB+∠ PHQ$，所以 $∠ PQO+∠ QPO=∠ AOB+∠ PHQ$。因为 $PM⊥ QN$，所以 $∠ PHQ = 90°$，所以 $∠ PQO + ∠ QPO =∠ AOB+90°$，所以 $180°-∠ AOB=∠ AOB+90°$，所以 $2∠ AOB=90°$，解得 $∠ AOB=45°$。
(4) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
光的反射规律，三角形内角与外角，尺规基本作图
【点评】
本题是物理光学与初中平面几何的综合探究题，设置了从结论推导、尺规作图到角度计算、规律归纳的分层任务，梯度设置合理，既考查学生即时获取并迁移运用新知的能力，也要求学生熟练掌握几何性质完成推导，最后一问的规律归纳是易错点，能有效区分学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.3
我们可以分小问逐步梳理解题思路：
1. 第(1)问：已知法线OC与镜面AB垂直，可得∠AOC=∠BOC=90°，结合光的反射定律给出的反射角等于入射角，即∠MOC=∠NOC，利用等角的余角相等的性质，就能直接推导出∠AOM和∠BON的关系。
2. 第(2)问：利用(1)得到的结论：入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，先在B点作出AB经MN反射后指向A点的光线，再在A点以PQ为边，用尺规作一个角等于入射光线与PQ的夹角，得到的另一边就是所求的反射光线CD，符合无刻度直尺和圆规的作图要求。
3. 第(3)问：先根据反射性质得到两组相等的角，再结合三角形外角的性质，将角的和转化为∠AOB与∠PHQ的和，代入三角形内角和为180°的性质，结合已知∠PHQ=90°，通过解方程即可算出∠AOB的度数。
4. 第(4)问：从初始的AB⊥OM的条件出发，结合∠MON=10°，算出第一次反射光线和镜面的夹角为80°，后续每一次反射，光线与镜面的夹角都递减10°，当夹角为10°时，光线就会和其中一个镜面平行，数出符合条件的反射次数即可。
【解析】
(1) 推导∠AOM和∠BON的关系：
由题意可知，OC为法线，因此OC⊥AB，可得∠AOC=∠BOC=90°；
根据光的反射定律，反射角等于入射角，即∠MOC=∠NOC；
因此90°-∠MOC=90°-∠NOC，即可得到∠AOM=∠BON。
(2) 尺规作图步骤逻辑：
先在B点，以MN为一边，作角等于AB与MN的夹角，得到BA段反射光线；再在A点，以PQ为一边，作角等于BA与PQ的夹角，最终得到的边CD即为所求反射光线。
(3) 计算∠AOB的度数：
连接OH，根据反射性质可得∠PQO=∠HQB，∠QPO=∠HPA；
由三角形外角性质：∠HQB=∠QHO+∠QOH，∠HPA=∠PHO+∠POH，因此∠HQB+∠HPA=∠QHO+∠QOH+∠PHO+∠POH=∠AOB+∠PHQ，即∠PQO+∠QPO=∠AOB+∠PHQ；
在△OPQ中，∠PQO+∠QPO=180°-∠AOB，已知PM⊥QN即∠PHQ=90°，代入得180°-∠AOB=∠AOB+90°，整理得2∠AOB=90°，解得∠AOB=45°。
(4) 推导反射次数：
已知AB⊥OM，∠MON=10°，因此第一次入射时，光线与ON的夹角为80°；根据反射规律，后续每次反射光线与对应镜面的夹角依次为70°、60°、50°、40°、30°、20°、10°，当夹角为10°时，反射光线与另一个镜面平行，累计共8次反射。
【答案】
(1) $∠ AOM=∠ BON$，理由如下：
根据题意，得 $∠ MOC=∠ NOC$，又因为 $OC⊥ AB$，所以 $∠ AOC=∠ BOC=90°$，所以 $90°-∠ MOC=90°-∠ NOC$，所以 $∠ AOM=∠ BON$。
(2) 根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，画图如下，则 $CD$ 即为所求。
(3) 连接 $OH$。根据题意，得 $∠ PQO=∠ HQB, ∠ QPO=∠ HPA$。因为 $∠ HQB = ∠ QHO + ∠ QOH, ∠ HPA = ∠ PHO+∠ POH$，所以 $∠ HQB+∠ HPA=∠ QHO +∠ QOH + ∠ PHO + ∠ POH =∠ AOB+∠ PHQ$，所以 $∠ PQO+∠ QPO=∠ AOB+∠ PHQ$。因为 $PM⊥ QN$，所以 $∠ PHQ = 90°$，所以 $∠ PQO + ∠ QPO =∠ AOB+90°$，所以 $180°-∠ AOB=∠ AOB+90°$，所以 $2∠ AOB=90°$，解得 $∠ AOB=45°$。
(4) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
光的反射规律，三角形内角与外角，尺规基本作图
【点评】
本题是物理光学与初中平面几何的综合探究题，设置了从结论推导、尺规作图到角度计算、规律归纳的分层任务，梯度设置合理，既考查学生即时获取并迁移运用新知的能力，也要求学生熟练掌握几何性质完成推导，最后一问的规律归纳是易错点，能有效区分学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.3
