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3. 在比例尺是
的地图上,量得甲、乙两地的距离是8.4厘米,一列火车以每小时128千米的速度从甲地到乙地,需要多少小时?(4分)
的地图上,量得甲、乙两地的距离是8.4厘米,一列火车以每小时128千米的速度从甲地到乙地,需要多少小时?(4分)答案
3. $8.4×80÷128=5.25$小时
解析
【分析】
首先先识别题目给出的线段比例尺：观察线段标注可知，图上1厘米对应的实际距离是80千米。接下来我们可以用测得的甲乙两地图上距离8.4厘米，乘每厘米代表的实际路程，直接算出甲乙两地的实际总路程。最后结合行程问题的基本关系“时间=路程÷速度”，用实际总路程除以火车的行驶速度，就能求出火车从甲地到乙地需要的时长。
【解析】
1. 解读比例尺含义：该线段比例尺表示图上1厘米对应实际距离80千米。
2. 计算甲乙两地实际路程：
$8.4 × 80 = 672\ (\mathrm{千米})$
3. 根据行程公式计算行驶时间：
$672 ÷ 128 = 5.25\ (\mathrm{小时})$
【答案】
5.25小时
【知识点】
线段比例尺，行程基本公式
【点评】
本题是线段比例尺和行程问题结合的基础应用题，核心考点是正确识别线段比例尺的含义，无需额外做单位换算就可以快速求出实际路程，再代入行程公式即可得到结果，属于小学比例尺模块的常规基础题型，只要掌握对应知识点就可以顺利求解。
【难度系数】
0.8
首先先识别题目给出的线段比例尺：观察线段标注可知，图上1厘米对应的实际距离是80千米。接下来我们可以用测得的甲乙两地图上距离8.4厘米，乘每厘米代表的实际路程，直接算出甲乙两地的实际总路程。最后结合行程问题的基本关系“时间=路程÷速度”，用实际总路程除以火车的行驶速度，就能求出火车从甲地到乙地需要的时长。
【解析】
1. 解读比例尺含义：该线段比例尺表示图上1厘米对应实际距离80千米。
2. 计算甲乙两地实际路程：
$8.4 × 80 = 672\ (\mathrm{千米})$
3. 根据行程公式计算行驶时间：
$672 ÷ 128 = 5.25\ (\mathrm{小时})$
【答案】
5.25小时
【知识点】
线段比例尺，行程基本公式
【点评】
本题是线段比例尺和行程问题结合的基础应用题，核心考点是正确识别线段比例尺的含义，无需额外做单位换算就可以快速求出实际路程，再代入行程公式即可得到结果，属于小学比例尺模块的常规基础题型，只要掌握对应知识点就可以顺利求解。
【难度系数】
0.8
4. 有三堆围棋子,每堆有60枚。第一堆的黑子与第二堆的白子同样多,第三堆有$\frac{2}{5}$是白子。这三堆棋子中一共有多少枚白子?(4分)
答案
4. $60+60×\frac{2}{5}=84$枚
解析
【分析】
我们可以分两步梳理解题思路：第一步先处理前两堆的白子数量，已知每堆棋子都是60枚，第一堆的黑子数和第二堆的白子数相等，我们可以做等量替换：第一堆的白子+第一堆的黑子=60枚，把式子里的第一堆黑子替换成相等的第二堆白子，就能直接得到「第一堆白子+第二堆白子=60枚」，不需要分别算出两堆各自的白子数。第二步计算第三堆的白子数，已知第三堆总共有60枚，白子占$\frac{2}{5}$，用分数乘法就能算出第三堆白子数量，最后把前两堆白子总数和第三堆白子数相加，就得到三堆白子的总数量。
【解析】
1. 推导前两堆白子总和：
已知每堆棋子共60枚，即第一堆白子 + 第一堆黑子 = 60枚，结合条件“第一堆的黑子与第二堆的白子同样多”，将第一堆黑子替换为第二堆白子，可得：第一堆白子 + 第二堆白子 = 60枚。
2. 计算第三堆白子数量：
第三堆共60枚，白子占$\frac{2}{5}$，因此第三堆白子数为：$60×\frac{2}{5}=24$枚。
3. 计算三堆白子总数量：
总白子数 = 前两堆白子和 + 第三堆白子数 = $60+24=84$枚，对应综合算式为$60+60×\frac{2}{5}=84$枚。
【答案】84枚
【知识点】
分数乘法应用，等量代换
【点评】
本题的核心巧点是不需要单独求解第一堆、第二堆各自的白子数量，通过等量替换快速得到前两堆白子的总和，大幅简化了计算过程，考察学生对等量关系的灵活转化能力，引导学生避免硬算每堆白子数的思维误区。
【难度系数】
0.6
我们可以分两步梳理解题思路：第一步先处理前两堆的白子数量，已知每堆棋子都是60枚，第一堆的黑子数和第二堆的白子数相等，我们可以做等量替换：第一堆的白子+第一堆的黑子=60枚，把式子里的第一堆黑子替换成相等的第二堆白子，就能直接得到「第一堆白子+第二堆白子=60枚」，不需要分别算出两堆各自的白子数。第二步计算第三堆的白子数，已知第三堆总共有60枚，白子占$\frac{2}{5}$，用分数乘法就能算出第三堆白子数量，最后把前两堆白子总数和第三堆白子数相加，就得到三堆白子的总数量。
【解析】
1. 推导前两堆白子总和：
已知每堆棋子共60枚，即第一堆白子 + 第一堆黑子 = 60枚，结合条件“第一堆的黑子与第二堆的白子同样多”，将第一堆黑子替换为第二堆白子，可得：第一堆白子 + 第二堆白子 = 60枚。
2. 计算第三堆白子数量：
第三堆共60枚，白子占$\frac{2}{5}$，因此第三堆白子数为：$60×\frac{2}{5}=24$枚。
3. 计算三堆白子总数量：
总白子数 = 前两堆白子和 + 第三堆白子数 = $60+24=84$枚，对应综合算式为$60+60×\frac{2}{5}=84$枚。
【答案】84枚
【知识点】
分数乘法应用，等量代换
【点评】
本题的核心巧点是不需要单独求解第一堆、第二堆各自的白子数量，通过等量替换快速得到前两堆白子的总和，大幅简化了计算过程，考察学生对等量关系的灵活转化能力，引导学生避免硬算每堆白子数的思维误区。
【难度系数】
0.6
5. 圆锥的高和底面半径都等于一个正方体的棱长。已知正方体的体积是120立方厘米,求圆锥的体积。(5分)
答案
5. $\frac{1}{3}×π×120=40π$立方厘米
解析
【分析】
首先梳理已知条件：圆锥的底面半径、高都和正方体的棱长相等，已知正方体体积是120立方厘米。如果直接求正方体棱长，需要对120开三次方，计算非常复杂，因此我们选择整体代换的思路：先设正方体的棱长为a，可得正方体体积$a^3=120$立方厘米，再把圆锥的半径r=a、高h=a代入圆锥体积公式，会发现圆锥体积的表达式中刚好出现$a^3$，直接把$a^3=120$整体代入就能算出结果，完全不需要求出a的具体数值。
【解析】
解：设正方体的棱长为a，根据题意推导如下：
1. 正方体体积公式为棱长的三次方，因此可得：$V_{正}=a^3=120\ \mathrm{cm}^3$
2. 由题中条件可知，圆锥的底面半径$r=a$，圆锥的高$h=a$
3. 将r和h代入圆锥体积公式$V_{锥}=\frac{1}{3}π r^2 h$：
$V_{锥}=\frac{1}{3}π · a^2 · a=\frac{1}{3}π a^3$
4. 将$a^3=120$代入上式计算：
$V_{锥}=\frac{1}{3}× π × 120=40π\ \mathrm{立方厘米}$
【答案】
$40π$立方厘米
【知识点】
圆锥体积公式，正方体体积公式，整体代换思想
【点评】
本题的核心巧点是避开了求解正方体棱长的复杂开方运算，引导学生灵活运用两个几何体的参数等量关系，将已知的正方体体积作为整体代入圆锥体积的推导式中，避免了生硬套公式硬算未知量的误区，有效考察了学生对体积公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.5
首先梳理已知条件：圆锥的底面半径、高都和正方体的棱长相等，已知正方体体积是120立方厘米。如果直接求正方体棱长，需要对120开三次方，计算非常复杂，因此我们选择整体代换的思路：先设正方体的棱长为a，可得正方体体积$a^3=120$立方厘米，再把圆锥的半径r=a、高h=a代入圆锥体积公式，会发现圆锥体积的表达式中刚好出现$a^3$，直接把$a^3=120$整体代入就能算出结果，完全不需要求出a的具体数值。
【解析】
解：设正方体的棱长为a，根据题意推导如下：
1. 正方体体积公式为棱长的三次方，因此可得：$V_{正}=a^3=120\ \mathrm{cm}^3$
2. 由题中条件可知，圆锥的底面半径$r=a$，圆锥的高$h=a$
3. 将r和h代入圆锥体积公式$V_{锥}=\frac{1}{3}π r^2 h$：
$V_{锥}=\frac{1}{3}π · a^2 · a=\frac{1}{3}π a^3$
4. 将$a^3=120$代入上式计算：
$V_{锥}=\frac{1}{3}× π × 120=40π\ \mathrm{立方厘米}$
【答案】
$40π$立方厘米
【知识点】
圆锥体积公式，正方体体积公式，整体代换思想
【点评】
本题的核心巧点是避开了求解正方体棱长的复杂开方运算，引导学生灵活运用两个几何体的参数等量关系，将已知的正方体体积作为整体代入圆锥体积的推导式中，避免了生硬套公式硬算未知量的误区，有效考察了学生对体积公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.5
6. 球球的爸爸在琉璃厂买了一块砚台,球球为了测量这块砚台的体积,做了以下实验:(玻璃厚度不计)
① 用天平称出这块砚台的质量是1.4 kg;
② 测量出一个圆柱形玻璃容器的底面半径是8 cm;
③ 用直尺量出这个容器的高是10 cm;
④ 在容器里注入一定量的水,量出水面高度为5 cm;
⑤ 将砚台完全浸入水中(水未溢出),量出水面高度为8 cm。
(1)要求出这块砚台的体积,上面记录单中信息(
(2)请根据选出的信息,求出这块砚台的体积。(4分)
① 用天平称出这块砚台的质量是1.4 kg;
② 测量出一个圆柱形玻璃容器的底面半径是8 cm;
③ 用直尺量出这个容器的高是10 cm;
④ 在容器里注入一定量的水,量出水面高度为5 cm;
⑤ 将砚台完全浸入水中(水未溢出),量出水面高度为8 cm。
(1)要求出这块砚台的体积,上面记录单中信息(
②④⑤
)是必须的。(填序号)(1分)(2)请根据选出的信息,求出这块砚台的体积。(4分)
答案
6.（1）②④⑤ （2）$π×8^{2}×(8-5)=192π$立方厘米
解析
【分析】
我们首先明确本题用排水法测量不规则物体体积，核心逻辑是：砚台完全浸没且水未溢出时，砚台的体积等于容器内水面上升部分对应的水的体积。
思考第一问：上升部分的水在圆柱容器中是小圆柱体形态，计算它的体积需要用到圆柱体积公式V=πr²h，这里的h是水面上升的高度，即放入砚台后的水面高度减去放入前的水面高度。因此只需要知道圆柱容器的底面半径（计算底面积）、放入砚台前的水面高度、放入砚台后的水面高度即可，砚台质量、容器总高度都是不参与计算的干扰信息，因此筛选出必须的信息。
第二问直接代入圆柱体积公式，用上升的高度乘底面积就能算出上升水的体积，也就是砚台的体积。
【解析】
(1) 依据排水法的原理，浸没物体体积等于上升部分水的体积，计算该部分圆柱水的体积仅需容器底面半径、初始水面高度、放入砚台后水面高度三个条件，因此必须的信息是②④⑤。
(2) 第一步：计算水面上升的高度：
$h_{\mathrm{升}}=8\ \mathrm{cm}-5\ \mathrm{cm}=3\ \mathrm{cm}$
第二步：代入圆柱体积公式计算砚台体积：
$V=π r^2 h_{\mathrm{升}}=π×8^2×3=192π\ \mathrm{立方厘米}$
【答案】
(1) ②④⑤ (2) $192π$立方厘米
【知识点】
排水法测体积，圆柱体积计算
【点评】
本题结合生活场景考察不规则物体体积的测量方法，重点考察学生对排水法核心逻辑的理解，同时要求学生能主动筛选有效信息，排除无关的干扰条件，巩固圆柱体积公式的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
我们首先明确本题用排水法测量不规则物体体积，核心逻辑是：砚台完全浸没且水未溢出时，砚台的体积等于容器内水面上升部分对应的水的体积。
思考第一问：上升部分的水在圆柱容器中是小圆柱体形态，计算它的体积需要用到圆柱体积公式V=πr²h，这里的h是水面上升的高度，即放入砚台后的水面高度减去放入前的水面高度。因此只需要知道圆柱容器的底面半径（计算底面积）、放入砚台前的水面高度、放入砚台后的水面高度即可，砚台质量、容器总高度都是不参与计算的干扰信息，因此筛选出必须的信息。
第二问直接代入圆柱体积公式，用上升的高度乘底面积就能算出上升水的体积，也就是砚台的体积。
【解析】
(1) 依据排水法的原理，浸没物体体积等于上升部分水的体积，计算该部分圆柱水的体积仅需容器底面半径、初始水面高度、放入砚台后水面高度三个条件，因此必须的信息是②④⑤。
(2) 第一步：计算水面上升的高度：
$h_{\mathrm{升}}=8\ \mathrm{cm}-5\ \mathrm{cm}=3\ \mathrm{cm}$
第二步：代入圆柱体积公式计算砚台体积：
$V=π r^2 h_{\mathrm{升}}=π×8^2×3=192π\ \mathrm{立方厘米}$
【答案】
(1) ②④⑤ (2) $192π$立方厘米
【知识点】
排水法测体积，圆柱体积计算
【点评】
本题结合生活场景考察不规则物体体积的测量方法，重点考察学生对排水法核心逻辑的理解，同时要求学生能主动筛选有效信息，排除无关的干扰条件，巩固圆柱体积公式的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
把一些大小相等的圆柱形木料对半锯开(如下图,单位:厘米),装饰一面长4米、宽3米的长方形墙壁,要把整面墙壁贴满,至少需要这样的圆柱形木料多少立方米?(说明:木料锯开后平铺粘贴在墙上)
答案
4米=400厘米 3米=300厘米 10厘米=0.1米 80厘米=0.8米 $(400÷80)×(300÷10)=150$块 $π×(0.1÷2)^{2}×0.8÷2×150=0.15π$立方米
解析
【分析】
这是一道结合实际场景的立体几何应用题，我们可以按三步逻辑思考：第一步先统一单位，墙面的长度单位是米，木料标注的尺寸是厘米，统一单位后才能避免计算错误；第二步计算铺满墙面需要的木料总块数，对半锯开的木料平铺后，粘贴在墙上的面是长80cm、宽10cm的长方形，分别用墙面的长、宽除以木料粘贴面的对应边长，得到两个方向可摆放的木料数量，相乘就能得到总块数；第三步计算单块半圆柱的体积，半圆柱体积是完整圆柱体积的一半，代入圆柱体积公式算出单块体积后，乘以总块数就得到所有木料的总体积。
【解析】
解：
1. 单位换算：
将墙面长度单位换算为厘米：4米=400厘米，3米=300厘米；
将木料尺寸换算为米：10厘米=0.1米，80厘米=0.8米。
2. 计算所需木料总块数：
沿墙面长的方向可摆放木料数量：$400÷80=5$块
沿墙面宽的方向可摆放木料数量：$300÷10=30$块
总块数：$5×30=150$块
3. 计算单块半圆柱木料的体积：
半圆柱底面直径为0.1米，半径$r=0.1÷2=0.05$米，圆柱的高为0.8米
单块半圆柱体积 = 完整圆柱体积 $÷2$ = $\frac{1}{2}×π r^2 h$ = $\frac{1}{2}×π×(0.05)^2×0.8=0.001π$ 立方米
4. 计算所有木料的总体积：
总体积 = 单块体积 $×$ 总块数 = $0.001π×150=0.15π$ 立方米
【答案】
$0.15π$立方米
【知识点】
单位换算，半圆柱体积，图形密铺计数
【点评】
本题结合墙面装饰的实际场景，将立体体积计算和实际摆放计数结合起来，易错点集中在三处：一是容易忽略木料是对半锯开的半圆柱，忘记将完整圆柱体积除以2；二是单位不统一直接代入计算，导致结果数值错误；三是没有正确对应木料粘贴面的边长和墙面长宽的摆放关系，算错总块数。
【难度系数】
0.6
这是一道结合实际场景的立体几何应用题，我们可以按三步逻辑思考：第一步先统一单位，墙面的长度单位是米，木料标注的尺寸是厘米，统一单位后才能避免计算错误；第二步计算铺满墙面需要的木料总块数，对半锯开的木料平铺后，粘贴在墙上的面是长80cm、宽10cm的长方形，分别用墙面的长、宽除以木料粘贴面的对应边长，得到两个方向可摆放的木料数量，相乘就能得到总块数；第三步计算单块半圆柱的体积，半圆柱体积是完整圆柱体积的一半，代入圆柱体积公式算出单块体积后，乘以总块数就得到所有木料的总体积。
【解析】
解：
1. 单位换算：
将墙面长度单位换算为厘米：4米=400厘米，3米=300厘米；
将木料尺寸换算为米：10厘米=0.1米，80厘米=0.8米。
2. 计算所需木料总块数：
沿墙面长的方向可摆放木料数量：$400÷80=5$块
沿墙面宽的方向可摆放木料数量：$300÷10=30$块
总块数：$5×30=150$块
3. 计算单块半圆柱木料的体积：
半圆柱底面直径为0.1米，半径$r=0.1÷2=0.05$米，圆柱的高为0.8米
单块半圆柱体积 = 完整圆柱体积 $÷2$ = $\frac{1}{2}×π r^2 h$ = $\frac{1}{2}×π×(0.05)^2×0.8=0.001π$ 立方米
4. 计算所有木料的总体积：
总体积 = 单块体积 $×$ 总块数 = $0.001π×150=0.15π$ 立方米
【答案】
$0.15π$立方米
【知识点】
单位换算，半圆柱体积，图形密铺计数
【点评】
本题结合墙面装饰的实际场景，将立体体积计算和实际摆放计数结合起来，易错点集中在三处：一是容易忽略木料是对半锯开的半圆柱，忘记将完整圆柱体积除以2；二是单位不统一直接代入计算，导致结果数值错误；三是没有正确对应木料粘贴面的边长和墙面长宽的摆放关系，算错总块数。
【难度系数】
0.6
