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1. （2025·重庆月考）某百货超市计划主推两款礼盒:坚果礼盒和糖果礼盒.已知4件坚果礼盒和5件糖果礼盒进价1 200元,7件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价1 290元.
(1)求每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是多少元;
(2)超市决定用不超过66 600元资金购进坚果礼盒和糖果礼盒共500件,其中坚果礼盒的数量不少于糖果礼盒数量的$\frac{2}{3}$,且两种礼盒的进价保持不变.在运输过程中,有5件坚果礼盒外包装破损,3件糖果礼盒外包装破损.销售时每件坚果礼盒售价为175元,每件糖果礼盒售价为150元,外包装破损的产品均按售价的六折出售,若本次购进的两种礼盒全部售出,请问坚果礼盒购进多少件时,可使本次销售获得最大利润,最大利润是多少元.
＞＞ 对点专练 P150
(1)求每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是多少元;
(2)超市决定用不超过66 600元资金购进坚果礼盒和糖果礼盒共500件,其中坚果礼盒的数量不少于糖果礼盒数量的$\frac{2}{3}$,且两种礼盒的进价保持不变.在运输过程中,有5件坚果礼盒外包装破损,3件糖果礼盒外包装破损.销售时每件坚果礼盒售价为175元,每件糖果礼盒售价为150元,外包装破损的产品均按售价的六折出售,若本次购进的两种礼盒全部售出,请问坚果礼盒购进多少件时,可使本次销售获得最大利润,最大利润是多少元.
＞＞ 对点专练 P150
答案
1. (1)设每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是x元、y元,根据题意,得$\begin{cases}4x+5y=1\ 200,\\7x+2y=1\ 290,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=150,\\y=120,\end{cases}$
∴每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是150元,120元.
(2)设坚果礼盒购进a件,则糖果礼盒购进(500-a)件,根据题意,得$150a+120(500-a)≤66\ 600$,解得$a≤220$,又
∵$a≥\frac{2}{3}(500-a)$,解得$a≥200$,
∴$200≤ a≤220$.设利润为w元,根据题意,得$w=(175-150)(a-5)+(175×0.6-150)×5+(150-120)(500-a-3)+(150×0.6-120)×3=-5a+14\ 470$.
∵$-5＜0$,
∴w随a的增大而减小,
∴当a=200时,w最大,最大值为$-5×200+14\ 470=13\ 470$,
∴坚果礼盒购进200件时,可使本次销售获得最大利润,最大利润是13 470元.
∴每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是150元,120元.
(2)设坚果礼盒购进a件,则糖果礼盒购进(500-a)件,根据题意,得$150a+120(500-a)≤66\ 600$,解得$a≤220$,又
∵$a≥\frac{2}{3}(500-a)$,解得$a≥200$,
∴$200≤ a≤220$.设利润为w元,根据题意,得$w=(175-150)(a-5)+(175×0.6-150)×5+(150-120)(500-a-3)+(150×0.6-120)×3=-5a+14\ 470$.
∵$-5＜0$,
∴w随a的增大而减小,
∴当a=200时,w最大,最大值为$-5×200+14\ 470=13\ 470$,
∴坚果礼盒购进200件时,可使本次销售获得最大利润,最大利润是13 470元.
2. (2025·无锡期末)在一条直线上依次有A,B,C三个海岛,某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛,执行海巡任务,最终到达C岛.设该海巡船行驶$x(\mathrm{h})$后,与B岛的距离为$y(\mathrm{km})$,已知$y$与$x$的函数图象如图所示.
(1)$A,C$两海岛间的距离为
(2)线段$PN$所表示的函数关系式为
(3)在B岛有一不间断发射信号的信号发射台,发射的信号覆盖半径为$15\ \mathrm{km}$,则该海巡船能接收到该信号的时间有
＞＞ 对点专练 P147
(1)$A,C$两海岛间的距离为
70
$\mathrm{km}$,$a=$1.4
;(2)线段$PN$所表示的函数关系式为
$y=50x-20(0.4≤ x≤1.4)$
;(3)在B岛有一不间断发射信号的信号发射台,发射的信号覆盖半径为$15\ \mathrm{km}$,则该海巡船能接收到该信号的时间有
0.6
$\mathrm{h}$.＞＞ 对点专练 P147
答案
2. (1)70 1.4 解析:由图象可知,A,C两海岛间的距离为20+50=70(km),海巡船的速度为20÷0.4=50(km/h),海巡船从A岛到达C岛用时70÷50=1.4(h),
∴a=1.4.
(2)$y=50x-20(0.4≤ x≤1.4)$ 解析:设线段PN所表示的函数关系式为$y=kx+b$(k,b为常数,且$k≠0$),将坐标N(0.4,0)和P(1.4,50)分别代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}0.4k+b=0,\\1.4k+b=50,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=50,\\b=-20,\end{cases}$
∴线段PN所表示的函数关系式为$y=50x-20(0.4≤ x≤1.4)$.
(3)0.6 解析:设线段MN所表示的函数关系式为$y=k_1x+b_1$($k_1,b_1$为常数,且$k_1≠0$),将坐标M(0,20)和N(0.4,0)分别代入$y=k_1x+b_1$,得$\begin{cases}b_1=20,\\0.4k_1+b_1=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-50,\\b_1=20,\end{cases}$
∴线段MN所表示的函数关系式为$y=-50x+20(0≤ x≤0.4)$.当$-50x+20=15$时,解得x=0.1;当$50x-20=15$时,解得x=0.7,
∴该海巡船能接收到该信号的时间有0.7-0.1=0.6(h).
∴a=1.4.
(2)$y=50x-20(0.4≤ x≤1.4)$ 解析:设线段PN所表示的函数关系式为$y=kx+b$(k,b为常数,且$k≠0$),将坐标N(0.4,0)和P(1.4,50)分别代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}0.4k+b=0,\\1.4k+b=50,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=50,\\b=-20,\end{cases}$
∴线段PN所表示的函数关系式为$y=50x-20(0.4≤ x≤1.4)$.
(3)0.6 解析:设线段MN所表示的函数关系式为$y=k_1x+b_1$($k_1,b_1$为常数,且$k_1≠0$),将坐标M(0,20)和N(0.4,0)分别代入$y=k_1x+b_1$,得$\begin{cases}b_1=20,\\0.4k_1+b_1=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-50,\\b_1=20,\end{cases}$
∴线段MN所表示的函数关系式为$y=-50x+20(0≤ x≤0.4)$.当$-50x+20=15$时,解得x=0.1;当$50x-20=15$时,解得x=0.7,
∴该海巡船能接收到该信号的时间有0.7-0.1=0.6(h).
3. 某校准备购买一批体育用品,甲、乙两个体育专卖店的优惠活动如下:
甲店:一次购买商品总额不超过400元的按原价出售,超出400元的部分按原价的六折出售.
乙店:所有商品按原价的八折出售.
设需要购买体育用品的原价总额为 $ x $ 元,去甲专卖店购买实付 $ y_{\mathrm{甲}} $ 元,去乙专卖店购买实付 $ y_{\mathrm{乙}} $ 元.
(1)分别求出 $ y_{\mathrm{甲}},y_{\mathrm{乙}} $ 关于 $ x $ 的函数表达式;
(2)当 $ x＞400 $ 时,$ y_{\mathrm{甲}},y_{\mathrm{乙}} $ 的图象交于点 $ P $,求出点 $ P $ 的坐标,说明点 $ P $ 的实际意义.
甲店:一次购买商品总额不超过400元的按原价出售,超出400元的部分按原价的六折出售.
乙店:所有商品按原价的八折出售.
设需要购买体育用品的原价总额为 $ x $ 元,去甲专卖店购买实付 $ y_{\mathrm{甲}} $ 元,去乙专卖店购买实付 $ y_{\mathrm{乙}} $ 元.
(1)分别求出 $ y_{\mathrm{甲}},y_{\mathrm{乙}} $ 关于 $ x $ 的函数表达式;
(2)当 $ x＞400 $ 时,$ y_{\mathrm{甲}},y_{\mathrm{乙}} $ 的图象交于点 $ P $,求出点 $ P $ 的坐标,说明点 $ P $ 的实际意义.
答案
3. (1)当$0≤ x≤400$时,$y_甲=x$;当$x＞400$时,$y_甲=400+0.6(x-400)=0.6x+160$;$y_乙=0.8x$,
∴$y_甲$关于x的函数表达式为$y_甲=\begin{cases}x(0≤ x≤400),\\0.6x+160(x＞400),\end{cases}$$y_乙$关于x的函数表达式为$y_乙=0.8x$.
(2)设点P的坐标为(x,y),则$\begin{cases}0.6x+160=y,\\0.8x=y,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=800,\\y=640,\end{cases}$
∴点P的坐标为(800,640),实际意义为当购买800元的体育用品时,两个专卖店需要的实付款均为640元.
∴$y_甲$关于x的函数表达式为$y_甲=\begin{cases}x(0≤ x≤400),\\0.6x+160(x＞400),\end{cases}$$y_乙$关于x的函数表达式为$y_乙=0.8x$.
(2)设点P的坐标为(x,y),则$\begin{cases}0.6x+160=y,\\0.8x=y,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=800,\\y=640,\end{cases}$
∴点P的坐标为(800,640),实际意义为当购买800元的体育用品时,两个专卖店需要的实付款均为640元.
