1. 如图,方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在平面直角坐标系中,已知点$A(1,0),B(4,0),C(3,3),D(1,4)$.
(1)描出$A,B,C,D$四点的位置,并顺次连接$A,B,C,D,A$;
(2)四边形$ABCD$的面积是;
(3)把四边形$ABCD$向左平移5个单位长度,再向上平移1个单位长度得到四边形$A'B'C'D'$,在图中画出四边形$A'B'C'D'$,并写出$A',B',C',D'$的坐标.

(1) 描点连线结果如图①所示。
(2) $\frac{17}{2}$，解析：由图可知，$S_{四边形ABCD}=2×3+\frac{1}{2}×1×3+\frac{1}{2}×1×2=\frac{17}{2}$。
(3) 平移后的图形如图②所示，$\because$ 点$A(1,0),B(4,0),C(3,3),D(1,4),\therefore$ 向左平移5个单位长度，得到$(-4,0),(-1,0),(-2,3),(-4,4)$，再向上平移1个单位长度，得到$A'(-4,1),B'(-1,1),C'(-2,4),D'(-4,5)$，依次连接$A',B',C',D',A'$，则四边形$A'B'C'D'$即为所求。
$\therefore A',B',C',D'$的坐标分别为$A'(-4,1),B'(-1,1),C'(-2,4),D'(-4,5)$。

2. 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD各顶点的坐标分别是$A(-3,4),B(-4,-2)$,$C(2,0),D(2,3)$,且AB与x轴的交点E的坐标为$(-\dfrac{11}{3},0)$,求这个四边形ABCD的面积.

过点B作x轴的垂线BP,过点A、点B分别作y轴的垂线PH,BQ,分别与直线CD交于点H,Q, $\because A(-3,4),B(-4,-2),C(2,0),D(2,3),\therefore AP=1,AH=5,DH=1,CQ=2,BQ=6,PB=6,\therefore S_{四边形PBQH}=PB×BQ=36,S_{三角形APB}=\frac{1}{2}AP·PB=3,S_{三角形AHD}=\frac{1}{2}AH·HD=\frac{5}{2},S_{三角形BQC}=\frac{1}{2}BQ·QC=6,$
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{四边形PBQH}-S_{三角形APB}-S_{三角形AHD}-S_{三角形BQC}=36-3-\frac{5}{2}-6=\frac{49}{2}$。
结果如图③所示。

3. ★★ |项目式学习 对于某些三角形或四边形,我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积.下面我们再研究一种求面积的新方法:如图①,②所示,分别过三角形或四边形的顶点A,C作水平线的铅垂线$l_1,l_2$,$l_1,l_2$之间的距离$d$叫作水平宽;如图①所示,过点B作水平线的铅垂线交AC于点D,称线段BD的长为这个三角形的铅垂高;如图②所示,分别过四边形的顶点B,D作水平线$l_4,l_3$,$l_3,l_4$之间的距离$h$叫作四边形的铅垂高.

【结论提炼】容易证明:“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”,即“$S=\frac{1}{2}dh$”.
【结论应用】为了便于计算水平宽和铅垂高,我们不妨借助平面直角坐标系.已知:如图③,点$A(-5,2),B(5,0),C(0,5)$,则三角形ABC的水平宽为10,铅垂高为,所以三角形ABC面积的大小为.
【再探新知】三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求,那四边形的面积是不是也可以这样求呢? 带着这个问题,我们进行如下探索:
(1)如图④,在平面直角坐标系中,取$A(-4,2),B(1,5),C(4,1),D(-2,-4)$四个点,得到四边形ABCD.运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是;用割补法进行计算得到其面积的大小是,由此发现:用“$S=\frac{1}{2}dh$”这一方法求图④中四边形的面积(填“适合”或“不适合”).

(2)如图⑤,在平面直角坐标系中,取$A(-5,2),B(1,5),C(4,2),D(-2,-3)$四个点,得到了四边形ABCD.运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是,用割补法进行计算得到其面积的大小是,由此发现:用“$S=\frac{1}{2}dh$”这一方法求图⑤中四边形的面积(“适合”或“不适合”).
(3)如图⑥,在平面直角坐标系中,取$A(-4,2),B(1,5),C(5,1),D(1,-5)$四个点,得到了四边形ABCD.通过计算发现:用“$S=\frac{1}{2}dh$”这一方法求图⑥中四边形的面积(填“适合”或“不适合”).

【归纳总结】我们经历上面的探索过程,通过猜想、归纳、验证,便可得到:当四边形满足某些条件时,可以用“$S=\frac{1}{2}dh$”来求面积.那么,可以用“$S=\frac{1}{2}dh$”来求面积的四边形应满足的条件是.

【结论应用】4 20 解析:由题图③知,铅垂高为4,$\therefore S_{三角形ABC}=\frac{1}{2}×10×4=20$.
【再探新知】
(1)36 37.5 不适合 解析:$\because$ 四边形ABCD的水平宽为8,铅垂高为9,$\therefore$ 运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36;利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为$8×9-\frac{1}{2}×2×6-\frac{1}{2}×3×5-\frac{1}{2}×6×5-\frac{1}{2}×3×4=37.5$,$\therefore$ 用“$S=\frac{1}{2}dh$”这一方法求题图④中四边形的面积不适合.
(2)36 36 适合 解析:$\because$ 四边形ABCD的水平宽为9,铅垂高为8,$\therefore$ 运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36;利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为$8×9-\frac{1}{2}×3×5-\frac{1}{2}×6×5-\frac{1}{2}×3×6-\frac{1}{2}×3×3=36$,$\therefore$ 用“$S=\frac{1}{2}dh$”这一方法求题图⑤中四边形的面积适合.
(3)适合 解析:$\because$ 四边形ABCD的水平宽为9,铅垂高为10,$\therefore$ 运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为45;利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为$10×9-\frac{1}{2}×5×7-\frac{1}{2}×4×6-\frac{1}{2}×5×3-\frac{1}{2}×4×4=45$,$\therefore$ 用“$S=\frac{1}{2}dh$”这一方法求题图⑥中四边形的面积适合.
【归纳总结】一条对角线等于水平宽或铅垂高