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9.已知实数$a$在数轴上的位置如图所示，则化简$\sqrt{a^2 - 8a + 16} + \sqrt{(a - 11)^2}$的结果为
（
A.$7$
B.$-7$
C.$2a - 15$
D.无法确定
（
A
）A.$7$
B.$-7$
C.$2a - 15$
D.无法确定
答案
9.A
解析
【分析】
首先根据数轴确定实数$a$的取值范围：$5 ＜ a ＜ 10$；再利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为两个绝对值的和，最后根据$a$的范围判断每个绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后计算结果。
【解析】
解：由数轴可知，$5 ＜ a ＜ 10$。
原式$=\sqrt{(a - 4)^2} + \sqrt{(a - 11)^2} = |a - 4| + |a - 11|$。
因为$5 ＜ a ＜ 10$，所以$a - 4 ＞ 0$，$a - 11 ＜ 0$，
因此$|a - 4| = a - 4$，$|a - 11| = 11 - a$，
代入原式得：$(a - 4) + (11 - a) = a - 4 + 11 - a = 7$。
所以结果为$7$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质、数轴与实数、绝对值化简
【点评】
本题结合数轴考查二次根式的化简，核心是利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，关键是根据数轴确定$a$的范围，进而判断绝对值内式子的符号，去掉绝对值后计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
首先根据数轴确定实数$a$的取值范围：$5 ＜ a ＜ 10$；再利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为两个绝对值的和，最后根据$a$的范围判断每个绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后计算结果。
【解析】
解：由数轴可知，$5 ＜ a ＜ 10$。
原式$=\sqrt{(a - 4)^2} + \sqrt{(a - 11)^2} = |a - 4| + |a - 11|$。
因为$5 ＜ a ＜ 10$，所以$a - 4 ＞ 0$，$a - 11 ＜ 0$，
因此$|a - 4| = a - 4$，$|a - 11| = 11 - a$，
代入原式得：$(a - 4) + (11 - a) = a - 4 + 11 - a = 7$。
所以结果为$7$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质、数轴与实数、绝对值化简
【点评】
本题结合数轴考查二次根式的化简，核心是利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，关键是根据数轴确定$a$的范围，进而判断绝对值内式子的符号，去掉绝对值后计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
10.在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形,其中较大的正方形面积为12,重叠部分的面积为3,空白部分的面积为$2\sqrt{30}-6$,则较小的正方形面积为 （
A.11
B.10
C.9
D.8
B
）A.11
B.10
C.9
D.8
答案
10.B
解析
【分析】首先设较小正方形的边长为$b$，根据重叠部分面积可求出其边长，再结合较大正方形的面积求出其边长；通过观察图形，确定整个大正方形的边长与两个小正方形边长的关系，进而得到整个大正方形的面积；利用“空白部分面积=整个大正方形面积 - 两个小正方形覆盖的面积”建立方程，求解较小正方形的面积。
【解析】设较小正方形的边长为$b$：
1. 重叠部分为正方形，面积为3，故其边长为$\sqrt{3}$；
2. 较大正方形面积为12，因此其边长为$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$；
3. 由图形可知，整个大正方形的边长为$b + (2\sqrt{3}-\sqrt{3})=b+\sqrt{3}$，则整个大正方形的面积为$(b+\sqrt{3})^2=b^2+2\sqrt{3}b+3$；
4. 两个小正方形覆盖的面积为：较大正方形面积 + 较小正方形面积 - 重叠面积 = $12 + b^2 -3 = b^2+9$；
5. 已知空白部分面积为$2\sqrt{30}-6$，根据“空白面积=整个大正方形面积 - 两个小正方形覆盖面积”列方程：
$(b^2+2\sqrt{3}b+3)-(b^2+9)=2\sqrt{30}-6$
化简得：$2\sqrt{3}b -6=2\sqrt{30}-6$，即$2\sqrt{3}b=2\sqrt{30}$，解得$b=\sqrt{10}$；
因此，较小正方形的面积为$b^2=(\sqrt{10})^2=10$。
【答案】10
【知识点】正方形面积、二次根式运算、几何面积计算
【点评】本题结合几何图形的边长关系，利用面积和差建立方程求解，关键是理清各部分面积的关系，属于几何与代数结合的常规题型。
【难度系数】0.5
【解析】设较小正方形的边长为$b$：
1. 重叠部分为正方形，面积为3，故其边长为$\sqrt{3}$；
2. 较大正方形面积为12，因此其边长为$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$；
3. 由图形可知，整个大正方形的边长为$b + (2\sqrt{3}-\sqrt{3})=b+\sqrt{3}$，则整个大正方形的面积为$(b+\sqrt{3})^2=b^2+2\sqrt{3}b+3$；
4. 两个小正方形覆盖的面积为：较大正方形面积 + 较小正方形面积 - 重叠面积 = $12 + b^2 -3 = b^2+9$；
5. 已知空白部分面积为$2\sqrt{30}-6$，根据“空白面积=整个大正方形面积 - 两个小正方形覆盖面积”列方程：
$(b^2+2\sqrt{3}b+3)-(b^2+9)=2\sqrt{30}-6$
化简得：$2\sqrt{3}b -6=2\sqrt{30}-6$，即$2\sqrt{3}b=2\sqrt{30}$，解得$b=\sqrt{10}$；
因此，较小正方形的面积为$b^2=(\sqrt{10})^2=10$。
【答案】10
【知识点】正方形面积、二次根式运算、几何面积计算
【点评】本题结合几何图形的边长关系，利用面积和差建立方程求解，关键是理清各部分面积的关系，属于几何与代数结合的常规题型。
【难度系数】0.5
11.$\sqrt{(-2)^2}=$
2
。答案
11.2
解析
【分析】本题需先计算根号内的平方运算，再依据算术平方根的定义化简。先算出(-2)的平方，再求该结果的算术平方根，注意算术平方根的结果为非负数。
【解析】第一步：计算根号内的平方：$(-2)^2 = (-2) × (-2) = 4$；第二步：计算算术平方根：$\sqrt{4} = 2$。
【答案】2
【知识点】二次根式的性质、平方运算
【点评】本题属于基础题，核心考查二次根式的化简，需掌握$\sqrt{a^2}=|a|$的性质，是初中数学的基础知识点。
【难度系数】0.8
【解析】第一步：计算根号内的平方：$(-2)^2 = (-2) × (-2) = 4$；第二步：计算算术平方根：$\sqrt{4} = 2$。
【答案】2
【知识点】二次根式的性质、平方运算
【点评】本题属于基础题，核心考查二次根式的化简，需掌握$\sqrt{a^2}=|a|$的性质，是初中数学的基础知识点。
【难度系数】0.8
12.长方形的面积是 24，其中一边长是$2\sqrt{3}$，则另一边长是
$4\sqrt{3}$
。答案
12.$4\sqrt{3}$
解析
【分析】首先明确长方形的面积公式为“面积=长×宽”，已知面积和其中一条边长，求另一条边长，需用面积除以已知边长，再对结果进行二次根式化简（分母有理化）。
【解析】根据长方形面积公式，另一边长 = 面积 ÷ 已知边长 = $24 ÷ (2\sqrt{3})$。先计算系数部分：$24÷2=12$，得到$\frac{12}{\sqrt{3}}$；再进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}$，即$\frac{12×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】$4\sqrt{3}$
【知识点】二次根式的除法、长方形面积计算
【点评】本题考查长方形面积公式与二次根式运算的结合，核心是掌握二次根式分母有理化的方法，计算时需注意系数与根式的分别处理，属于基础运算题。
【难度系数】0.6
【解析】根据长方形面积公式，另一边长 = 面积 ÷ 已知边长 = $24 ÷ (2\sqrt{3})$。先计算系数部分：$24÷2=12$，得到$\frac{12}{\sqrt{3}}$；再进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}$，即$\frac{12×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】$4\sqrt{3}$
【知识点】二次根式的除法、长方形面积计算
【点评】本题考查长方形面积公式与二次根式运算的结合，核心是掌握二次根式分母有理化的方法，计算时需注意系数与根式的分别处理，属于基础运算题。
【难度系数】0.6
13.若实数$a,b$满足$\sqrt{a-5}+2\sqrt{5-a}=b+4$，则$a-b$的平方根是________。
答案
13.$\pm3$
解析
【分析】要解决本题，需先利用二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）求出a的值，再代入原式求出b的值，最后计算a-b并求其平方根。首先，观察等式中的两个二次根式，它们的被开方数分别为a-5和5-a，需同时满足被开方数≥0，据此确定a的取值；再将a代入等式求出b，进而计算a-b的结果，最后根据平方根的定义得出答案。
【解析】根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，因此：
$\begin{cases}a - 5 ≥ 0 \\5 - a ≥ 0\end{cases}$
解这个不等式组，得$a ≥ 5$且$a ≤ 5$，即$a = 5$。
将$a = 5$代入原等式：
$\sqrt{5 - 5} + 2\sqrt{5 - 5} = b + 4$
化简得：$0 + 0 = b + 4$，解得$b = -4$。
计算$a - b = 5 - (-4) = 9$。
根据平方根的定义，9的平方根为$\pm3$。
【答案】$\pm3$
【知识点】二次根式有意义的条件，平方根
【点评】本题考查二次根式的定义域和平方根的基本概念，解题关键是利用二次根式被开方数非负求出a的值，步骤清晰，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，因此：
$\begin{cases}a - 5 ≥ 0 \\5 - a ≥ 0\end{cases}$
解这个不等式组，得$a ≥ 5$且$a ≤ 5$，即$a = 5$。
将$a = 5$代入原等式：
$\sqrt{5 - 5} + 2\sqrt{5 - 5} = b + 4$
化简得：$0 + 0 = b + 4$，解得$b = -4$。
计算$a - b = 5 - (-4) = 9$。
根据平方根的定义，9的平方根为$\pm3$。
【答案】$\pm3$
【知识点】二次根式有意义的条件，平方根
【点评】本题考查二次根式的定义域和平方根的基本概念，解题关键是利用二次根式被开方数非负求出a的值，步骤清晰，属于基础题型。
【难度系数】0.6
14.定义运算“※”的运算法则为$a※b=\sqrt{(b-a)(b+a)}$，其中$a,b$为非负实数，且$b＞a$，则$\sqrt{7}※3=$
$\sqrt{2}$
。答案
14.$\sqrt{2}$
解析
【分析】首先明确新运算“※”的规则：$a※b=\sqrt{(b-a)(b+a)}$，其中运算式前的数为$a$，后的数为$b$，且满足$b＞a$。本题要求计算$\sqrt{7}※3$，因此确定$a=\sqrt{7}$，$b=3$，将其代入新运算规则，再利用平方差公式化简被开方数，最后计算二次根式即可。
【解析】根据新运算规则，将$a=\sqrt{7}$，$b=3$代入得：
$\sqrt{(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})}$
利用平方差公式$(x-y)(x+y)=x^2 - y^2$化简被开方数：
$(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})=3^2 - (\sqrt{7})^2=9 -7=2$
因此原式$=\sqrt{2}$
【答案】$\sqrt{2}$
【知识点】二次根式的运算，平方差公式
【点评】本题为新定义运算题，核心是准确理解新运算规则，结合平方差公式简化计算，难度适中，主要考查学生对新规则的应用能力和基础代数公式的掌握。
【难度系数】0.6
【解析】根据新运算规则，将$a=\sqrt{7}$，$b=3$代入得：
$\sqrt{(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})}$
利用平方差公式$(x-y)(x+y)=x^2 - y^2$化简被开方数：
$(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})=3^2 - (\sqrt{7})^2=9 -7=2$
因此原式$=\sqrt{2}$
【答案】$\sqrt{2}$
【知识点】二次根式的运算，平方差公式
【点评】本题为新定义运算题，核心是准确理解新运算规则，结合平方差公式简化计算，难度适中，主要考查学生对新规则的应用能力和基础代数公式的掌握。
【难度系数】0.6
15. 已知$\sqrt{3-a}$是整数，则自然数$a$的值是$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
15.3或2
解析
【分析】首先，根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，结合自然数的定义（非负整数）确定a的取值范围；再根据√(3 - a)是整数，设该整数为非负整数k，转化为等式3 - a = k²，通过分析k的可能取值，求出对应的自然数a的值。
【解析】解：
∵√(3 - a)是二次根式，
∴被开方数3 - a ≥ 0，即a ≤ 3；又
∵a是自然数，
∴a ≥ 0，因此0 ≤ a ≤ 3。
设√(3 - a) = k（k为非负整数），则3 - a = k²。
当k=0时，3 - a = 0，解得a=3；
当k=1时，3 - a = 1，解得a=2；
当k≥2时，k²≥4，此时a=3 - k² ≤ -1，不符合自然数a的要求，舍去。
综上，自然数a的值是2或3。
【答案】2或3
【知识点】二次根式的性质、自然数的概念
【点评】本题结合二次根式有意义的条件和自然数的定义，通过设整数转化为平方数问题求解，思路清晰，难度适中，考查学生对基础概念的掌握。
【难度系数】0.6
【解析】解：
∵√(3 - a)是二次根式，
∴被开方数3 - a ≥ 0，即a ≤ 3；又
∵a是自然数，
∴a ≥ 0，因此0 ≤ a ≤ 3。
设√(3 - a) = k（k为非负整数），则3 - a = k²。
当k=0时，3 - a = 0，解得a=3；
当k=1时，3 - a = 1，解得a=2；
当k≥2时，k²≥4，此时a=3 - k² ≤ -1，不符合自然数a的要求，舍去。
综上，自然数a的值是2或3。
【答案】2或3
【知识点】二次根式的性质、自然数的概念
【点评】本题结合二次根式有意义的条件和自然数的定义，通过设整数转化为平方数问题求解，思路清晰，难度适中，考查学生对基础概念的掌握。
【难度系数】0.6
16. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”。小明用相同的七巧板拼成一个无缝隙的正方形（如图 1）和一个中间留有空白的数字“0”（如图 2）。若图 1 正方形的面积是 16，则图 2 中空白部分的面积是________。
答案
16.$8\sqrt{2}-8$
解析
【分析】首先根据图1正方形的面积求出其边长，进而确定七巧板的总面积；再分析图2的外轮廓形状，计算出图2的总面积；最后用图2的总面积减去七巧板的总面积，即可得到空白部分的面积。解题时需利用等腰直角三角形的面积公式求出相关边长，再结合多边形面积计算方法求解。
【解析】
1. 由图1正方形的面积为16，可得正方形的边长为$\sqrt{16}=4$，因此七巧板的总面积为16。
2. 七巧板中两个大等腰直角三角形的面积各为4，设其直角边长为$a$，根据三角形面积公式$\frac{1}{2}a^2=4$，解得$a=2\sqrt{2}$。
3. 图2的外轮廓是一个长为4，宽为$2+2\sqrt{2}$的矩形，其面积为$4×(2+2\sqrt{2})=8+8\sqrt{2}$。
4. 空白部分的面积 = 图2的总面积 - 七巧板的总面积 = $(8+8\sqrt{2})-16=8\sqrt{2}-8$。
【答案】$8\sqrt{2}-8$
【知识点】七巧板面积计算、等腰直角三角形面积、多边形面积
【点评】本题结合七巧板的结构考查面积计算，关键是明确图2总面积与七巧板面积的关系，需熟练运用等腰直角三角形的边长与面积的关系，对几何图形的分析能力有一定要求。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 由图1正方形的面积为16，可得正方形的边长为$\sqrt{16}=4$，因此七巧板的总面积为16。
2. 七巧板中两个大等腰直角三角形的面积各为4，设其直角边长为$a$，根据三角形面积公式$\frac{1}{2}a^2=4$，解得$a=2\sqrt{2}$。
3. 图2的外轮廓是一个长为4，宽为$2+2\sqrt{2}$的矩形，其面积为$4×(2+2\sqrt{2})=8+8\sqrt{2}$。
4. 空白部分的面积 = 图2的总面积 - 七巧板的总面积 = $(8+8\sqrt{2})-16=8\sqrt{2}-8$。
【答案】$8\sqrt{2}-8$
【知识点】七巧板面积计算、等腰直角三角形面积、多边形面积
【点评】本题结合七巧板的结构考查面积计算，关键是明确图2总面积与七巧板面积的关系，需熟练运用等腰直角三角形的边长与面积的关系，对几何图形的分析能力有一定要求。
【难度系数】0.5
三、解答题(共72分)
17.(8分)计算:
(1)$\sqrt{12} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{3}} × \sqrt{27}$;
(2)$(\sqrt{2} - 1)^2 - (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$。
17.(8分)计算:
(1)$\sqrt{12} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{3}} × \sqrt{27}$;
(2)$(\sqrt{2} - 1)^2 - (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$。
答案
17.(1)$-1$；(2)$1-2\sqrt{2}$。
解析
【分析】本题考查二次根式的混合运算，需遵循“先乘除后加减，优先用公式简化运算”的思路。第(1)题先分别计算二次根式的除法和乘法，再做减法；第(2)题利用完全平方公式、平方差公式展开后，再合并同类项。
【解析】
(1) 根据二次根式的乘除法则：
$\sqrt{12} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{12÷3} = \sqrt{4} = 2$；
$\sqrt{\frac{1}{3}} × \sqrt{27} = \sqrt{\frac{1}{3}×27} = \sqrt{9} = 3$；
则原式$=2 - 3 = -1$。
(2) 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$和平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$：
$(\sqrt{2} - 1)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2}×1 + 1^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$；
$(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 =5 -3=2$；
则原式$=(3 - 2\sqrt{2}) -2 =1 -2\sqrt{2}$。
【答案】(1)$-1$；(2)$1-2\sqrt{2}$
【知识点】二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式
【点评】本题是二次根式运算的基础题，核心考查二次根式的乘除法则和乘法公式的应用，只要掌握基本运算规则，步骤清晰即可正确解答，属于得分率较高的题目。
【难度系数】0.7
【解析】
(1) 根据二次根式的乘除法则：
$\sqrt{12} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{12÷3} = \sqrt{4} = 2$；
$\sqrt{\frac{1}{3}} × \sqrt{27} = \sqrt{\frac{1}{3}×27} = \sqrt{9} = 3$；
则原式$=2 - 3 = -1$。
(2) 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$和平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$：
$(\sqrt{2} - 1)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2}×1 + 1^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$；
$(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 =5 -3=2$；
则原式$=(3 - 2\sqrt{2}) -2 =1 -2\sqrt{2}$。
【答案】(1)$-1$；(2)$1-2\sqrt{2}$
【知识点】二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式
【点评】本题是二次根式运算的基础题，核心考查二次根式的乘除法则和乘法公式的应用，只要掌握基本运算规则，步骤清晰即可正确解答，属于得分率较高的题目。
【难度系数】0.7
