登录
4.张师傅和李师傅做同样的零件。张师傅5小时做8个，李师傅3小时做5个。他们谁做得快一些？
答案
$8÷5=\frac{8}{5}$（个）
$5÷3=\frac{5}{3}$（个）
$\frac{8}{5}=\frac{24}{15}$
$\frac{5}{3}=\frac{25}{15}$
$\frac{24}{15}＜\frac{25}{15}$
答：李师傅做得快一些。
$5÷3=\frac{5}{3}$（个）
$\frac{8}{5}=\frac{24}{15}$
$\frac{5}{3}=\frac{25}{15}$
$\frac{24}{15}＜\frac{25}{15}$
答：李师傅做得快一些。
解析
【分析】要比较两位师傅谁做得快，需要先分别计算两人每小时做零件的个数（也就是工作效率），再比较两个效率的大小，效率更高的人做得更快。计算效率时遵循“工作总量÷工作时间=工作效率”的关系，得到两个异分母分数后，通过通分转化为同分母分数，再比较分子大小就能判断分数的大小。
【解析】
首先计算张师傅每小时做的零件个数：
$8÷5=\frac{8}{5}$（个）
再计算李师傅每小时做的零件个数：
$5÷3=\frac{5}{3}$（个）
5和3的最小公倍数是15，将两个异分母分数通分：
$\frac{8}{5}=\frac{8×3}{5×3}=\frac{24}{15}$
$\frac{5}{3}=\frac{5×5}{3×5}=\frac{25}{15}$
比较大小可得：$\frac{24}{15}＜\frac{25}{15}$，即$\frac{8}{5}＜\frac{5}{3}$，说明李师傅的工作效率更高。
【答案】李师傅做得快一些。
【知识点】工作效率计算、通分、异分母分数比较大小
【点评】这道题是常见的工作效率比较类实际问题，解题核心是明确比较快慢的本质是比较单位时间内的工作量，掌握通分方法和异分母分数大小比较规则即可顺利解答，计算时要注意找对分母的最小公倍数，避免通分错误导致判断失误。
【难度系数】0.8
【解析】
首先计算张师傅每小时做的零件个数：
$8÷5=\frac{8}{5}$（个）
再计算李师傅每小时做的零件个数：
$5÷3=\frac{5}{3}$（个）
5和3的最小公倍数是15，将两个异分母分数通分：
$\frac{8}{5}=\frac{8×3}{5×3}=\frac{24}{15}$
$\frac{5}{3}=\frac{5×5}{3×5}=\frac{25}{15}$
比较大小可得：$\frac{24}{15}＜\frac{25}{15}$，即$\frac{8}{5}＜\frac{5}{3}$，说明李师傅的工作效率更高。
【答案】李师傅做得快一些。
【知识点】工作效率计算、通分、异分母分数比较大小
【点评】这道题是常见的工作效率比较类实际问题，解题核心是明确比较快慢的本质是比较单位时间内的工作量，掌握通分方法和异分母分数大小比较规则即可顺利解答，计算时要注意找对分母的最小公倍数，避免通分错误导致判断失误。
【难度系数】0.8
5. 两个小组进行投篮比赛，第一组7人共投进6个，第二组8人共投进7个。
(1)如果按投进的总数比较，哪个组获得了胜利？
(2)如果按每人平均投进的数量比较，哪个组获得了胜利？
(1)如果按投进的总数比较，哪个组获得了胜利？
(2)如果按每人平均投进的数量比较，哪个组获得了胜利？
答案
(1)
6 ＜ 7
答：按投进的总数比较，第二组获得了胜利。
(2)
第一组平均每人投进：$6÷7=\frac{6}{7}$（个）
第二组平均每人投进：$7÷8=\frac{7}{8}$（个）
$\frac{6}{7}=\frac{48}{56}$
$\frac{7}{8}=\frac{49}{56}$
$\frac{48}{56}＜\frac{49}{56}$，即$\frac{6}{7}＜\frac{7}{8}$
答：按每人平均投进的数量比较，第二组获得了胜利。
6 ＜ 7
答：按投进的总数比较，第二组获得了胜利。
(2)
第一组平均每人投进：$6÷7=\frac{6}{7}$（个）
第二组平均每人投进：$7÷8=\frac{7}{8}$（个）
$\frac{6}{7}=\frac{48}{56}$
$\frac{7}{8}=\frac{49}{56}$
$\frac{48}{56}＜\frac{49}{56}$，即$\frac{6}{7}＜\frac{7}{8}$
答：按每人平均投进的数量比较，第二组获得了胜利。
解析
【分析】
第(1)问按投进总数比较胜负，直接对比两组的总投进数，数值更大的小组获胜；第(2)问按人均投进数量比较，需先根据“平均投进数=总投进数÷总人数”分别算出两组的人均投进数，得到两个异分母分数后，通过通分转化为同分母分数再比较大小，数值更大的小组获胜。
【解析】
(1) 已知第一组共投进6个，第二组共投进7个，比较两个总投进数：
$6 ＜ 7$
答：按投进的总数比较，第二组获得了胜利。
(2) 先分别计算两组的人均投进数量：
第一组平均每人投进：$6÷7=\frac{6}{7}$（个）
第二组平均每人投进：$7÷8=\frac{7}{8}$（个）
对两个异分母分数通分，7和8的最小公倍数是56：
$\frac{6}{7}=\frac{6×8}{7×8}=\frac{48}{56}$
$\frac{7}{8}=\frac{7×7}{8×7}=\frac{49}{56}$
比较同分母分数大小：$\frac{48}{56}＜\frac{49}{56}$，即$\frac{6}{7}＜\frac{7}{8}$，第二组人均投进数更多。
答：按每人平均投进的数量比较，第二组获得了胜利。
【答案】
(1) 按投进的总数比较，第二组获得了胜利。
(2) 按每人平均投进的数量比较，第二组获得了胜利。
【知识点】
整数大小比较、平均数的计算、异分母分数大小比较
【点评】
本题结合投篮比赛的生活化场景，考查了数的比较与平均数计算相关知识，解题逻辑清晰，只要按照题目要求分步计算、细心比较即可，注意通分时要正确求出分母的最小公倍数。
【难度系数】
0.85
第(1)问按投进总数比较胜负，直接对比两组的总投进数，数值更大的小组获胜；第(2)问按人均投进数量比较，需先根据“平均投进数=总投进数÷总人数”分别算出两组的人均投进数，得到两个异分母分数后，通过通分转化为同分母分数再比较大小，数值更大的小组获胜。
【解析】
(1) 已知第一组共投进6个，第二组共投进7个，比较两个总投进数：
$6 ＜ 7$
答：按投进的总数比较，第二组获得了胜利。
(2) 先分别计算两组的人均投进数量：
第一组平均每人投进：$6÷7=\frac{6}{7}$（个）
第二组平均每人投进：$7÷8=\frac{7}{8}$（个）
对两个异分母分数通分，7和8的最小公倍数是56：
$\frac{6}{7}=\frac{6×8}{7×8}=\frac{48}{56}$
$\frac{7}{8}=\frac{7×7}{8×7}=\frac{49}{56}$
比较同分母分数大小：$\frac{48}{56}＜\frac{49}{56}$，即$\frac{6}{7}＜\frac{7}{8}$，第二组人均投进数更多。
答：按每人平均投进的数量比较，第二组获得了胜利。
【答案】
(1) 按投进的总数比较，第二组获得了胜利。
(2) 按每人平均投进的数量比较，第二组获得了胜利。
【知识点】
整数大小比较、平均数的计算、异分母分数大小比较
【点评】
本题结合投篮比赛的生活化场景，考查了数的比较与平均数计算相关知识，解题逻辑清晰，只要按照题目要求分步计算、细心比较即可，注意通分时要正确求出分母的最小公倍数。
【难度系数】
0.85
6.有若干个小朋友，他们的年龄各不相同，将他们的年龄分别填入□里，都能使式子成立。这些小朋友最多有多少个？
$\frac{1}{2} ＜ \frac{5}{$
$} ＜ \frac{3}{4}$
$\frac{1}{2} ＜ \frac{5}{$
$} ＜ \frac{3}{4}$答案
将三个分数通分子：
$\frac{1}{2}=\frac{15}{30}$，$\frac{5}{□}=\frac{15}{3×□}$，$\frac{3}{4}=\frac{15}{20}$
由分子相同，分母越大分数越小，可得：
$20＜3×□＜30$
$20÷3＜□＜30÷3$
即$6\frac{2}{3}＜□＜10$
符合条件的整数为7、8、9，共3个。
答：这些小朋友最多有3个。
$\frac{1}{2}=\frac{15}{30}$，$\frac{5}{□}=\frac{15}{3×□}$，$\frac{3}{4}=\frac{15}{20}$
由分子相同，分母越大分数越小，可得：
$20＜3×□＜30$
$20÷3＜□＜30÷3$
即$6\frac{2}{3}＜□＜10$
符合条件的整数为7、8、9，共3个。
答：这些小朋友最多有3个。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先找到满足不等式$\frac{1}{2} ＜ \frac{5}{□} ＜ \frac{3}{4}$的所有整数□，因为小朋友年龄是各不相同的正整数，符合条件的整数个数就是小朋友最多的人数。观察三个分数的分子分别为1、5、3，我们可以先利用分数的基本性质把三个分数转化为分子相同的分数，再根据“分子相同的分数，分母越大分数越小”的规律，推导出口的取值范围，最后筛选出范围内的整数即可。
【解析】
首先将三个分数通分子，分子统一为1、5、3的最小公倍数15：
$\frac{1}{2}=\frac{1×15}{2×15}=\frac{15}{30}$
$\frac{5}{□}=\frac{5×3}{□×3}=\frac{15}{3×□}$
$\frac{3}{4}=\frac{3×5}{4×5}=\frac{15}{20}$
已知$\frac{1}{2} ＜ \frac{5}{□} ＜ \frac{3}{4}$，即$\frac{15}{30}＜\frac{15}{3×□}＜\frac{15}{20}$，根据同分子分数大小比较规则，可得分母的大小关系为：
$20＜3×□＜30$
将不等式各部分同时除以3，得：
$20÷3＜□＜30÷3$
计算得$6\frac{2}{3}＜□＜10$
□代表年龄，是正整数，因此符合条件的数为7、8、9，共3个。
【答案】
这些小朋友最多有3个。
【知识点】
分数的基本性质，同分子分数大小比较，不等式整数解
【点评】
本题的解题核心是灵活选择分数大小比较的方法，对比通分母，通分子能更简便地推导出未知数的取值范围，解题时还要注意结合“年龄为正整数”的隐含条件筛选结果。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要先找到满足不等式$\frac{1}{2} ＜ \frac{5}{□} ＜ \frac{3}{4}$的所有整数□，因为小朋友年龄是各不相同的正整数，符合条件的整数个数就是小朋友最多的人数。观察三个分数的分子分别为1、5、3，我们可以先利用分数的基本性质把三个分数转化为分子相同的分数，再根据“分子相同的分数，分母越大分数越小”的规律，推导出口的取值范围，最后筛选出范围内的整数即可。
【解析】
首先将三个分数通分子，分子统一为1、5、3的最小公倍数15：
$\frac{1}{2}=\frac{1×15}{2×15}=\frac{15}{30}$
$\frac{5}{□}=\frac{5×3}{□×3}=\frac{15}{3×□}$
$\frac{3}{4}=\frac{3×5}{4×5}=\frac{15}{20}$
已知$\frac{1}{2} ＜ \frac{5}{□} ＜ \frac{3}{4}$，即$\frac{15}{30}＜\frac{15}{3×□}＜\frac{15}{20}$，根据同分子分数大小比较规则，可得分母的大小关系为：
$20＜3×□＜30$
将不等式各部分同时除以3，得：
$20÷3＜□＜30÷3$
计算得$6\frac{2}{3}＜□＜10$
□代表年龄，是正整数，因此符合条件的数为7、8、9，共3个。
【答案】
这些小朋友最多有3个。
【知识点】
分数的基本性质，同分子分数大小比较，不等式整数解
【点评】
本题的解题核心是灵活选择分数大小比较的方法，对比通分母，通分子能更简便地推导出未知数的取值范围，解题时还要注意结合“年龄为正整数”的隐含条件筛选结果。
【难度系数】
0.6
7. 比较下列各组分数的大小，你发现了什么规律？
$\frac{7}{8}$与$\frac{7+2}{8+2}$ $\frac{7}{8}$与$\frac{7-3}{8-3}$ $\frac{95}{97}$与$\frac{95+3}{97+3}$ $\frac{95}{97}$与$\frac{95-47}{97-47}$
发现的规律：
运用你所发现的规律，比较下列各组分数的大小：
(1) $\frac{653+1893}{1997+1893}$ $◯$ $\frac{653}{1997}$
(2) $\frac{63}{85}$ $◯$ $\frac{56}{78}$
$\frac{7}{8}$与$\frac{7+2}{8+2}$ $\frac{7}{8}$与$\frac{7-3}{8-3}$ $\frac{95}{97}$与$\frac{95+3}{97+3}$ $\frac{95}{97}$与$\frac{95-47}{97-47}$
＜
＞
＜
＞
发现的规律：
若m＞n，则$\frac{n}{m}＜\frac{n+k}{m+k}(k＞0),\frac{n}{m}＞\frac{n-k}{m-k}(k＞0)$
。运用你所发现的规律，比较下列各组分数的大小：
(1) $\frac{653+1893}{1997+1893}$ $◯$ $\frac{653}{1997}$
(2) $\frac{63}{85}$ $◯$ $\frac{56}{78}$
答案
7. $\frac{7}{8}＜\frac{7+2}{8+2}$ $\frac{7}{8}＞\frac{7-3}{8-3}$ $\frac{95}{97}＜\frac{95+3}{97+3}$ $\frac{95}{97}＞\frac{95-47}{97-47}$
若m＞n，则$\frac{n}{m}＜\frac{n+k}{m+k}(k＞0),\frac{n}{m}＞\frac{n-k}{m-k}(k＞0)$
(1)＞
(2)＞
若m＞n，则$\frac{n}{m}＜\frac{n+k}{m+k}(k＞0),\frac{n}{m}＞\frac{n-k}{m-k}(k＞0)$
(1)＞
(2)＞
解析
【分析】
解题时我们可以分三步完成：第一步，先计算出每组中分子分母加减后的新分数，用五年级学过的通分法比较每组两个分数的大小，填好前四个空；第二步，观察四组分数的共同特点：都是分子小于分母的真分数，且分子分母同时加或减了同一个正数，对比大小结果总结出通用规律；第三步，运用总结的规律，不用通分就能快速比较后面两组分数的大小，第二小题可以把两个分数转化为“原分数加同一个数”的形式再用规律。
【解析】
1. 比较前四组分数大小：
① 计算得$\frac{7+2}{8+2}=\frac{9}{10}$，通分（分母最小公倍数为40）：$\frac{7}{8}=\frac{35}{40}$，$\frac{9}{10}=\frac{36}{40}$，因为$\frac{35}{40}＜\frac{36}{40}$，所以$\frac{7}{8}＜\frac{7+2}{8+2}$。
② 计算得$\frac{7-3}{8-3}=\frac{4}{5}$，通分（分母最小公倍数为40）：$\frac{7}{8}=\frac{35}{40}$，$\frac{4}{5}=\frac{32}{40}$，因为$\frac{35}{40}＞\frac{32}{40}$，所以$\frac{7}{8}＞\frac{7-3}{8-3}$。
③ 计算得$\frac{95+3}{97+3}=\frac{98}{100}$，通分（分母为$97×100=9700$）：$\frac{95}{97}=\frac{9500}{9700}$，$\frac{98}{100}=\frac{9506}{9700}$，因为$\frac{9500}{9700}＜\frac{9506}{9700}$，所以$\frac{95}{97}＜\frac{95+3}{97+3}$。
④ 计算得$\frac{95-47}{97-47}=\frac{48}{50}$，通分（分母为$97×50=4850$）：$\frac{95}{97}=\frac{4750}{4850}$，$\frac{48}{50}=\frac{4656}{4850}$，因为$\frac{4750}{4850}＞\frac{4656}{4850}$，所以$\frac{95}{97}＞\frac{95-47}{97-47}$。
2. 总结规律：观察以上四组都是真分数，可得规律：对于大于0的真分数$\frac{n}{m}$（$m＞n＞0$），若$k＞0$且$m-k＞0$，则$\frac{n}{m}＜\frac{n+k}{m+k}$，$\frac{n}{m}＞\frac{n-k}{m-k}$。
3. 运用规律解题：
(1) $\frac{653}{1997}$是真分数，分子分母同时加1893，根据规律新分数更大，所以$\frac{653+1893}{1997+1893}＞\frac{653}{1997}$。
(2) 观察得$\frac{63}{85}=\frac{56+7}{78+7}$，$\frac{56}{78}$是真分数，分子分母同时加7得到$\frac{63}{85}$，根据规律$\frac{63}{85}＞\frac{56}{78}$。
【答案】
$\frac{7}{8}＜\frac{7+2}{8+2}$；$\frac{7}{8}＞\frac{7-3}{8-3}$；$\frac{95}{97}＜\frac{95+3}{97+3}$；$\frac{95}{97}＞\frac{95-47}{97-47}$
规律：若$m＞n＞0$，$k＞0$，$m-k＞0$，则$\frac{n}{m}＜\frac{n+k}{m+k}$，$\frac{n}{m}＞\frac{n-k}{m-k}$
(1)＞；(2)＞
【知识点】
分数大小比较；规律探究；规律应用
【点评】
本题从基础的分数通分比较入手，引导学生自主探究真分数分子分母同加同减相同正数的变化规律，既巩固了分数比较的基础方法，又锻炼了归纳总结能力和灵活运用规律解题的能力，可大幅减少复杂通分的计算量。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以分三步完成：第一步，先计算出每组中分子分母加减后的新分数，用五年级学过的通分法比较每组两个分数的大小，填好前四个空；第二步，观察四组分数的共同特点：都是分子小于分母的真分数，且分子分母同时加或减了同一个正数，对比大小结果总结出通用规律；第三步，运用总结的规律，不用通分就能快速比较后面两组分数的大小，第二小题可以把两个分数转化为“原分数加同一个数”的形式再用规律。
【解析】
1. 比较前四组分数大小：
① 计算得$\frac{7+2}{8+2}=\frac{9}{10}$，通分（分母最小公倍数为40）：$\frac{7}{8}=\frac{35}{40}$，$\frac{9}{10}=\frac{36}{40}$，因为$\frac{35}{40}＜\frac{36}{40}$，所以$\frac{7}{8}＜\frac{7+2}{8+2}$。
② 计算得$\frac{7-3}{8-3}=\frac{4}{5}$，通分（分母最小公倍数为40）：$\frac{7}{8}=\frac{35}{40}$，$\frac{4}{5}=\frac{32}{40}$，因为$\frac{35}{40}＞\frac{32}{40}$，所以$\frac{7}{8}＞\frac{7-3}{8-3}$。
③ 计算得$\frac{95+3}{97+3}=\frac{98}{100}$，通分（分母为$97×100=9700$）：$\frac{95}{97}=\frac{9500}{9700}$，$\frac{98}{100}=\frac{9506}{9700}$，因为$\frac{9500}{9700}＜\frac{9506}{9700}$，所以$\frac{95}{97}＜\frac{95+3}{97+3}$。
④ 计算得$\frac{95-47}{97-47}=\frac{48}{50}$，通分（分母为$97×50=4850$）：$\frac{95}{97}=\frac{4750}{4850}$，$\frac{48}{50}=\frac{4656}{4850}$，因为$\frac{4750}{4850}＞\frac{4656}{4850}$，所以$\frac{95}{97}＞\frac{95-47}{97-47}$。
2. 总结规律：观察以上四组都是真分数，可得规律：对于大于0的真分数$\frac{n}{m}$（$m＞n＞0$），若$k＞0$且$m-k＞0$，则$\frac{n}{m}＜\frac{n+k}{m+k}$，$\frac{n}{m}＞\frac{n-k}{m-k}$。
3. 运用规律解题：
(1) $\frac{653}{1997}$是真分数，分子分母同时加1893，根据规律新分数更大，所以$\frac{653+1893}{1997+1893}＞\frac{653}{1997}$。
(2) 观察得$\frac{63}{85}=\frac{56+7}{78+7}$，$\frac{56}{78}$是真分数，分子分母同时加7得到$\frac{63}{85}$，根据规律$\frac{63}{85}＞\frac{56}{78}$。
【答案】
$\frac{7}{8}＜\frac{7+2}{8+2}$；$\frac{7}{8}＞\frac{7-3}{8-3}$；$\frac{95}{97}＜\frac{95+3}{97+3}$；$\frac{95}{97}＞\frac{95-47}{97-47}$
规律：若$m＞n＞0$，$k＞0$，$m-k＞0$，则$\frac{n}{m}＜\frac{n+k}{m+k}$，$\frac{n}{m}＞\frac{n-k}{m-k}$
(1)＞；(2)＞
【知识点】
分数大小比较；规律探究；规律应用
【点评】
本题从基础的分数通分比较入手，引导学生自主探究真分数分子分母同加同减相同正数的变化规律，既巩固了分数比较的基础方法，又锻炼了归纳总结能力和灵活运用规律解题的能力，可大幅减少复杂通分的计算量。
【难度系数】
0.7
