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1.如果$\sqrt{x} · \sqrt{x-3} = \sqrt{x(x-3)}$，那么$x$的取值范围是 （
A.$x ≥ 0$
B.$x ≥ 3$
C.$0 ≤ x ≤ 3$
D.$x$为任意实数
B
）A.$x ≥ 0$
B.$x ≥ 3$
C.$0 ≤ x ≤ 3$
D.$x$为任意实数
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次根式的相关性质：二次根式的被开方数必须是非负数，且二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$。我们需要根据这个前提，列出关于x的不等式组，解出不等式组的解集就是x的取值范围。
【解析】
根据二次根式有意义的条件及乘法法则的适用要求，要使$\sqrt{x} · \sqrt{x-3} = \sqrt{x(x-3)}$成立，必须同时满足等式左侧两个根号内的被开方数非负，即：
$\begin{cases}x≥0 \\x-3≥0\end{cases}$
解不等式$x-3≥0$，得$x≥3$。
两个不等式的公共解集为$x≥3$，因此x的取值范围是$x≥3$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则
【点评】
本题是二次根式的基础题，易错点是仅考虑等式右侧被开方数非负，忽略左侧每个二次根式都需要满足被开方数非负的要求，解题时要牢记二次根式乘法法则的适用前提。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆二次根式的相关性质：二次根式的被开方数必须是非负数，且二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$。我们需要根据这个前提，列出关于x的不等式组，解出不等式组的解集就是x的取值范围。
【解析】
根据二次根式有意义的条件及乘法法则的适用要求，要使$\sqrt{x} · \sqrt{x-3} = \sqrt{x(x-3)}$成立，必须同时满足等式左侧两个根号内的被开方数非负，即：
$\begin{cases}x≥0 \\x-3≥0\end{cases}$
解不等式$x-3≥0$，得$x≥3$。
两个不等式的公共解集为$x≥3$，因此x的取值范围是$x≥3$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则
【点评】
本题是二次根式的基础题，易错点是仅考虑等式右侧被开方数非负，忽略左侧每个二次根式都需要满足被开方数非负的要求，解题时要牢记二次根式乘法法则的适用前提。
【难度系数】
0.7
2.若$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{7}$，则$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}$的结果为 （
A.2
B.4
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{2}$
A
）A.2
B.4
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{2}$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时可以先利用二次根式的性质对所求代数式进行化简，再代入a、b的值计算，这样能简化运算步骤。首先回忆二次根式的商的算术平方根性质：$\sqrt{\dfrac{m}{n}}=\dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$（$m≥0$，$n＞0$），以及$\sqrt{x^2}=|x|$，本题中a、b都是正数，所以开平方后可以直接去掉绝对值符号，最后代入数值计算即可。
【解析】
首先化简$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}$：
根据二次根式的性质，$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}=\dfrac{\sqrt{14a^2}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{a\sqrt{14}}{b}$（因为$a=\sqrt{2}＞0$，$b=\sqrt{7}＞0$，所以$\sqrt{a^2}=a$，$\sqrt{b^2}=b$）。
将$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{7}$代入上式：
原式$=\dfrac{\sqrt{2}×\sqrt{14}}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{2}×\sqrt{2×7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质；二次根式乘除运算；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式的基本性质和运算规则，先化简再代入的方法可以有效减少计算量，解题时要注意二次根式开方后的非负性，本题给出的参数均为正数，可直接去掉绝对值符号计算。
【难度系数】
0.9
解题时可以先利用二次根式的性质对所求代数式进行化简，再代入a、b的值计算，这样能简化运算步骤。首先回忆二次根式的商的算术平方根性质：$\sqrt{\dfrac{m}{n}}=\dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$（$m≥0$，$n＞0$），以及$\sqrt{x^2}=|x|$，本题中a、b都是正数，所以开平方后可以直接去掉绝对值符号，最后代入数值计算即可。
【解析】
首先化简$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}$：
根据二次根式的性质，$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}=\dfrac{\sqrt{14a^2}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{a\sqrt{14}}{b}$（因为$a=\sqrt{2}＞0$，$b=\sqrt{7}＞0$，所以$\sqrt{a^2}=a$，$\sqrt{b^2}=b$）。
将$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{7}$代入上式：
原式$=\dfrac{\sqrt{2}×\sqrt{14}}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{2}×\sqrt{2×7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质；二次根式乘除运算；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式的基本性质和运算规则，先化简再代入的方法可以有效减少计算量，解题时要注意二次根式开方后的非负性，本题给出的参数均为正数，可直接去掉绝对值符号计算。
【难度系数】
0.9
3.下列计算正确的是 （
A.$\sqrt{(-3)^2}=-3$
B.$\sqrt{3} × \sqrt{5}=\sqrt{15}$
C.$(\sqrt{2})^2=4$
D.$\sqrt{14} ÷ \sqrt{7}=2$
B
）A.$\sqrt{(-3)^2}=-3$
B.$\sqrt{3} × \sqrt{5}=\sqrt{15}$
C.$(\sqrt{2})^2=4$
D.$\sqrt{14} ÷ \sqrt{7}=2$
答案
3.B
解析
【分析】
本题是二次根式运算的正误判断题，解题核心是熟练运用二次根式的性质与乘除运算法则。解题时需要逐个分析选项，结合对应规则计算验证，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐一判断各选项：
A选项：根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3≠-3$，故A错误；
B选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{3}×\sqrt{5}=\sqrt{3×5}=\sqrt{15}$，故B正确；
C选项：根据二次根式性质$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），可得$(\sqrt{2})^2=2≠4$，故C错误；
D选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），可得$\sqrt{14}÷\sqrt{7}=\sqrt{\frac{14}{7}}=\sqrt{2}≠2$，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质；二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次根式的基础性质和运算规则，熟练掌握相关公式即可快速判断出正确选项。
【难度系数】
0.8
本题是二次根式运算的正误判断题，解题核心是熟练运用二次根式的性质与乘除运算法则。解题时需要逐个分析选项，结合对应规则计算验证，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐一判断各选项：
A选项：根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3≠-3$，故A错误；
B选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{3}×\sqrt{5}=\sqrt{3×5}=\sqrt{15}$，故B正确；
C选项：根据二次根式性质$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），可得$(\sqrt{2})^2=2≠4$，故C错误；
D选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），可得$\sqrt{14}÷\sqrt{7}=\sqrt{\frac{14}{7}}=\sqrt{2}≠2$，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质；二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次根式的基础性质和运算规则，熟练掌握相关公式即可快速判断出正确选项。
【难度系数】
0.8
4.若$\sqrt{2^{m+n-2}}$和$\sqrt{3^{3m-2n+2}}$都是最简二次根式，$m=$
1
，$n=$2
.答案
4. m=1，n=2
解析
【分析】
解题的核心是先回忆最简二次根式的定义：被开方数不含能开得尽方的因数或因式。本题中两个被开方数分别是底数为2、3的幂，要满足最简二次根式的要求，幂的指数必须等于1，由此可得到两个关于m、n的方程，组成二元一次方程组，解方程组即可求出m、n的值。
【解析】
∵$\sqrt{2^{m+n-2}}$和$\sqrt{3^{3m-2n+2}}$都是最简二次根式
∴被开方数的指数均为1，可列方程组：
$\begin{cases}m + n - 2 = 1\\3m - 2n + 2 = 1\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}m + n = 3&①\\3m - 2n = -1&②\end{cases}$
用加减消元法，①×2 + ②得：
$2m + 2n + 3m - 2n = 6 - 1$
$5m = 5$，解得$m=1$
把$m=1$代入①得：$1 + n = 3$，解得$n=2$
【答案】
m=1，n=2
【知识点】
最简二次根式的定义；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的定义，将代数条件转化为方程组求解，只要掌握相关基础概念和方程组解法就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先回忆最简二次根式的定义：被开方数不含能开得尽方的因数或因式。本题中两个被开方数分别是底数为2、3的幂，要满足最简二次根式的要求，幂的指数必须等于1，由此可得到两个关于m、n的方程，组成二元一次方程组，解方程组即可求出m、n的值。
【解析】
∵$\sqrt{2^{m+n-2}}$和$\sqrt{3^{3m-2n+2}}$都是最简二次根式
∴被开方数的指数均为1，可列方程组：
$\begin{cases}m + n - 2 = 1\\3m - 2n + 2 = 1\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}m + n = 3&①\\3m - 2n = -1&②\end{cases}$
用加减消元法，①×2 + ②得：
$2m + 2n + 3m - 2n = 6 - 1$
$5m = 5$，解得$m=1$
把$m=1$代入①得：$1 + n = 3$，解得$n=2$
【答案】
m=1，n=2
【知识点】
最简二次根式的定义；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的定义，将代数条件转化为方程组求解，只要掌握相关基础概念和方程组解法就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
5.现有一个体积为 $120\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^3$ 的长方体，它的高为 $2\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$，长为 $3\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$，则这个长方体的宽为
2√2
cm.答案
5. 2√2
解析
【分析】
解决这道题首先回忆长方体的体积计算公式：长方体体积=长×宽×高，已知体积、长、高，要求宽，可推导得出宽=体积÷(长×高)。接下来将已知数值代入公式，按照二次根式的乘除运算法则计算，最后把结果化为最简二次根式即可。
【解析】
长方体体积公式为 $ V = a· b· h $（$ V $为体积，$ a $为长，$ b $为宽，$ h $为高），变形得宽的计算公式：$ b=\frac{V}{a· h} $。
代入已知数值：$ V=120\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^3 $，$ a=3\sqrt{10}\ \mathrm{cm} $，$ h=2\sqrt{15}\ \mathrm{cm} $
1. 先计算长和高的乘积：
$ a· h=3\sqrt{10}×2\sqrt{15}=(3×2)×\sqrt{10×15}=6\sqrt{150}=6×5\sqrt{6}=30\sqrt{6} $
2. 再计算宽：
$ b=\frac{120\sqrt{3}}{30\sqrt{6}}=4\sqrt{\frac{3}{6}}=4\sqrt{\frac{1}{2}}=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2} $
【答案】
$ 2\sqrt{2} $
【知识点】
长方体体积计算，二次根式乘除运算，最简二次根式化简
【点评】
本题属于基础题，结合几何体积公式和二次根式运算考察，计算时注意遵循二次根式的运算规则，最终结果需化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先回忆长方体的体积计算公式：长方体体积=长×宽×高，已知体积、长、高，要求宽，可推导得出宽=体积÷(长×高)。接下来将已知数值代入公式，按照二次根式的乘除运算法则计算，最后把结果化为最简二次根式即可。
【解析】
长方体体积公式为 $ V = a· b· h $（$ V $为体积，$ a $为长，$ b $为宽，$ h $为高），变形得宽的计算公式：$ b=\frac{V}{a· h} $。
代入已知数值：$ V=120\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^3 $，$ a=3\sqrt{10}\ \mathrm{cm} $，$ h=2\sqrt{15}\ \mathrm{cm} $
1. 先计算长和高的乘积：
$ a· h=3\sqrt{10}×2\sqrt{15}=(3×2)×\sqrt{10×15}=6\sqrt{150}=6×5\sqrt{6}=30\sqrt{6} $
2. 再计算宽：
$ b=\frac{120\sqrt{3}}{30\sqrt{6}}=4\sqrt{\frac{3}{6}}=4\sqrt{\frac{1}{2}}=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2} $
【答案】
$ 2\sqrt{2} $
【知识点】
长方体体积计算，二次根式乘除运算，最简二次根式化简
【点评】
本题属于基础题，结合几何体积公式和二次根式运算考察，计算时注意遵循二次根式的运算规则，最终结果需化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
6.把下列二次根式化成最简二次根式：
(1)$\sqrt{252}$；
(2)$\sqrt{5\dfrac{1}{3}}$；
(3)$\sqrt{16x^3 + 32x^2}\ (x＞0)$。
(1)$\sqrt{252}$；
(2)$\sqrt{5\dfrac{1}{3}}$；
(3)$\sqrt{16x^3 + 32x^2}\ (x＞0)$。
答案
6.解:(1)原式=6√7;(2)原式=4/3√3;(3)原式=4x√(x+2)
解析
【分析】
要将二次根式化为最简二次根式，需满足两个核心要求：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题思路如下：(1)被开方数是整数时，先分解质因数，分离出能开得尽方的因数再开方；(2)被开方数是带分数时，先转化为假分数，再通过分母有理化去掉被开方数的分母，最后化简；(3)被开方数是多项式时，先因式分解提取公因式，再结合x＞0的取值条件，将能开得尽方的因式开方即可。
【解析】
(1) 分解252的质因数可得：$252=2^2×3^2×7$
$\sqrt{252}=\sqrt{2^2×3^2×7}=\sqrt{2^2}×\sqrt{3^2}×\sqrt{7}=2×3×\sqrt{7}=6\sqrt{7}$
(2) 先将带分数化为假分数：$5\dfrac{1}{3}=\dfrac{16}{3}$
$\sqrt{5\dfrac{1}{3}}=\sqrt{\dfrac{16}{3}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{4}{3}\sqrt{3}$
(3) 对被开方数因式分解：$16x^3+32x^2=16x^2(x+2)$
因为$x＞0$，所以$\sqrt{16x^2(x+2)}=\sqrt{16x^2}×\sqrt{x+2}=4x\sqrt{x+2}$
【答案】
(1)$6\sqrt{7}$；(2)$\dfrac{4}{3}\sqrt{3}$；(3)$4x\sqrt{x+2}$
【知识点】
最简二次根式、二次根式的性质、因式分解
【点评】
本题是二次根式化简的基础题，解题时要严格遵循最简二次根式的定义，带分数需先转化为假分数，多项式被开方数要先因式分解，同时要注意题目给出的字母取值范围，保证开方结果符号正确。
【难度系数】
0.8
要将二次根式化为最简二次根式，需满足两个核心要求：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题思路如下：(1)被开方数是整数时，先分解质因数，分离出能开得尽方的因数再开方；(2)被开方数是带分数时，先转化为假分数，再通过分母有理化去掉被开方数的分母，最后化简；(3)被开方数是多项式时，先因式分解提取公因式，再结合x＞0的取值条件，将能开得尽方的因式开方即可。
【解析】
(1) 分解252的质因数可得：$252=2^2×3^2×7$
$\sqrt{252}=\sqrt{2^2×3^2×7}=\sqrt{2^2}×\sqrt{3^2}×\sqrt{7}=2×3×\sqrt{7}=6\sqrt{7}$
(2) 先将带分数化为假分数：$5\dfrac{1}{3}=\dfrac{16}{3}$
$\sqrt{5\dfrac{1}{3}}=\sqrt{\dfrac{16}{3}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{4}{3}\sqrt{3}$
(3) 对被开方数因式分解：$16x^3+32x^2=16x^2(x+2)$
因为$x＞0$，所以$\sqrt{16x^2(x+2)}=\sqrt{16x^2}×\sqrt{x+2}=4x\sqrt{x+2}$
【答案】
(1)$6\sqrt{7}$；(2)$\dfrac{4}{3}\sqrt{3}$；(3)$4x\sqrt{x+2}$
【知识点】
最简二次根式、二次根式的性质、因式分解
【点评】
本题是二次根式化简的基础题，解题时要严格遵循最简二次根式的定义，带分数需先转化为假分数，多项式被开方数要先因式分解，同时要注意题目给出的字母取值范围，保证开方结果符号正确。
【难度系数】
0.8
7.计算：
(1)$\sqrt{20} × \sqrt{5}$；
(2)$-4\sqrt{6} ÷ 2\sqrt{3}$；
(3)$2\sqrt{8} ÷ \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{2}$。
(1)$\sqrt{20} × \sqrt{5}$；
(2)$-4\sqrt{6} ÷ 2\sqrt{3}$；
(3)$2\sqrt{8} ÷ \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{2}$。
答案
7.解:(1)原式=10;(2)原式=-2√2;(3)原式=8√2
解析
【分析】
这三道题均属于二次根式的乘除运算，解题思路如下：首先回忆二次根式的乘除运算法则：①乘法法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）；②除法法则：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）。运算时，先将根号外的系数单独进行乘除运算，再将根号内的被开方数按照乘除法则合并计算，最后将结果化为最简二次根式即可，同时注意运算过程中的符号不要出错。
【解析】
(1) 根据二次根式乘法法则，将被开方数相乘计算：
原式$=\sqrt{20×5}=\sqrt{100}=10$
(2) 先将系数和二次根式分别相除，再化简：
原式$=(-4÷2)×(\sqrt{6}÷\sqrt{3})=-2×\sqrt{6÷3}=-2\sqrt{2}$
(3) 遵循从左到右的运算顺序，系数和二次根式分别运算后化简：
原式$=2×\sqrt{8÷\frac{1}{2}×2}=2×\sqrt{8×2×2}=2×\sqrt{32}=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$
【答案】
(1)$10$；(2)$-2\sqrt{2}$；(3)$8\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法运算，二次根式除法运算，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式乘除运算的基础题型，解题时需注意将系数与二次根式部分分开运算，严格遵循运算顺序，最终结果要化为最简二次根式，运算过程中不要遗漏符号。
【难度系数】
0.8
这三道题均属于二次根式的乘除运算，解题思路如下：首先回忆二次根式的乘除运算法则：①乘法法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）；②除法法则：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）。运算时，先将根号外的系数单独进行乘除运算，再将根号内的被开方数按照乘除法则合并计算，最后将结果化为最简二次根式即可，同时注意运算过程中的符号不要出错。
【解析】
(1) 根据二次根式乘法法则，将被开方数相乘计算：
原式$=\sqrt{20×5}=\sqrt{100}=10$
(2) 先将系数和二次根式分别相除，再化简：
原式$=(-4÷2)×(\sqrt{6}÷\sqrt{3})=-2×\sqrt{6÷3}=-2\sqrt{2}$
(3) 遵循从左到右的运算顺序，系数和二次根式分别运算后化简：
原式$=2×\sqrt{8÷\frac{1}{2}×2}=2×\sqrt{8×2×2}=2×\sqrt{32}=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$
【答案】
(1)$10$；(2)$-2\sqrt{2}$；(3)$8\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法运算，二次根式除法运算，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式乘除运算的基础题型，解题时需注意将系数与二次根式部分分开运算，严格遵循运算顺序，最终结果要化为最简二次根式，运算过程中不要遗漏符号。
【难度系数】
0.8
