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1[中]如果$\sqrt{50x}$（0＜x＜20）是一个整数，那么整数x可取得的值共有（
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
A
）A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
1. A 【解析】因为$\sqrt{50x} = \sqrt{5×5×2x}$ ,$\sqrt{50x}$ ( 0＜ x＜20 ) 是一个整数,$x$ 为整数,所以整数 $x$ 可以取 2,8,18,所以整数 $x$ 可取得的值共有 3 个. 故选 A.
2[2026 湖北武汉质检,中]已知$\sqrt{(x-100)^2}+(\sqrt{98-x})^2=200$，$y=\sqrt{m+24}+\sqrt{m-1}+\sqrt{1-m}$，则$y-x$的算术平方根是（
A.$\sqrt{3}$
B.$2$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{6}$
D
）A.$\sqrt{3}$
B.$2$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{6}$
答案
2. D 【解析】
∵ $\sqrt{(x-100)^2}+(\sqrt{98-x})^2 = 200$,
∴ $98-x≥0$,
∴ $x≤98$,
∴ $x-100＜0$,则 $100-x+98-x = 200$,解得 $x=-1$.
∵ $y = \sqrt{m+24} + \sqrt{m-1} + \sqrt{1-m}$,
∴ $m-1≥0$,$1-m≥0$,
∴ $m=1$,则 $y = \sqrt{1+24} + \sqrt{1-1} + \sqrt{1-1} = \sqrt{25} = 5$,
∴ $y-x=5-(-1)=6$,
∴ $y-x$ 的算术平方根为$\sqrt{6}$,故选 D.
∵ $\sqrt{(x-100)^2}+(\sqrt{98-x})^2 = 200$,
∴ $98-x≥0$,
∴ $x≤98$,
∴ $x-100＜0$,则 $100-x+98-x = 200$,解得 $x=-1$.
∵ $y = \sqrt{m+24} + \sqrt{m-1} + \sqrt{1-m}$,
∴ $m-1≥0$,$1-m≥0$,
∴ $m=1$,则 $y = \sqrt{1+24} + \sqrt{1-1} + \sqrt{1-1} = \sqrt{25} = 5$,
∴ $y-x=5-(-1)=6$,
∴ $y-x$ 的算术平方根为$\sqrt{6}$,故选 D.
3[2025河南鹤壁调研,中]如图是按一定规律排成的三角形数阵,按图中数阵的排列规律,第28行从左至右第22个数是
20
.答案
3. 20 【解析】由题图可知,第 1 行有 1 个数,第 2 行有 2 个数,第 3 行有 3 个数,…,所以第 $n$ 行有 $n$ 个数,所以前 $n$ 行一共有 $1+2+3+…+n = \frac{n(n+1)}{2}$(个)数,所以前 27 行共有$\frac{27×28}{2}=378$(个)数,所以第 28 行从左至右第 22 个数是$\sqrt{378+22} = \sqrt{400} = 20$. 故答案为 20.
4 新考法[2026江苏南京期中,较难]阅读材料：
由$6+2\sqrt{5}=5+1+2\sqrt{5}=(\sqrt{5})^2 +2×\sqrt{5}×1 +1^2=(\sqrt{5}+1)^2$，可知$6+2\sqrt{5}$的算术平方根是$\sqrt{5}+1$。
类似地，$7-4\sqrt{3}$的算术平方根是
由$6+2\sqrt{5}=5+1+2\sqrt{5}=(\sqrt{5})^2 +2×\sqrt{5}×1 +1^2=(\sqrt{5}+1)^2$，可知$6+2\sqrt{5}$的算术平方根是$\sqrt{5}+1$。
类似地，$7-4\sqrt{3}$的算术平方根是
2-√3
。答案
4. $2-\sqrt{3}$ 【解析】$7-4\sqrt{3} = 4+3-4\sqrt{3} = 2^2 - 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2-\sqrt{3})^2$,故 $7-4\sqrt{3}$ 的算术平方根是 $2-\sqrt{3}$. 故答案为 $2-\sqrt{3}$.
5[中]有一个数值转换器，原理如图所示.
(1)当输入的x值为16时,输出的y值是多少?
(2)是否存在输入有效的x值后,始终输不出y值?如果存在,请写出所有满足要求的x值;如果不存在,请说明理由.
(3)小明输入某个数据,在转换器运行程序时,屏幕显示“该操作无法运行”,请你推算小明输入的x的取值范围.
(4)若输出的y值是$\sqrt{3}$,试问输入的x值是否唯一?若不唯一,请写出其中的两个.
刷素养→走向重高
(1)当输入的x值为16时,输出的y值是多少?
(2)是否存在输入有效的x值后,始终输不出y值?如果存在,请写出所有满足要求的x值;如果不存在,请说明理由.
(3)小明输入某个数据,在转换器运行程序时,屏幕显示“该操作无法运行”,请你推算小明输入的x的取值范围.
(4)若输出的y值是$\sqrt{3}$,试问输入的x值是否唯一?若不唯一,请写出其中的两个.
刷素养→走向重高
答案
5.【解】(1)16 的算术平方根为 $\sqrt{16}=4$,4 是有理数;4 的算术平方根为$\sqrt{4}=2$,2 是有理数;2 的算术平方根为$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$不是有理数,则输出的 $y$ 值是$\sqrt{2}$.
(2)存在. 当 $x=0$ 或 1 时,始终输不出 $y$ 值.
(3)因为负数没有算术平方根,所以当输入的 $x$ 值小于 0 时,该操作无法运行,即小明输入的 $x$ 的取值范围为 $x＜0$.
(4)输入的 $x$ 值不唯一. 如 $x=3$ 或 $x=9$ 时,输出的 $y$ 值都是$\sqrt{3}$(写出两个符合题意的 $x$ 值即可).
(2)存在. 当 $x=0$ 或 1 时,始终输不出 $y$ 值.
(3)因为负数没有算术平方根,所以当输入的 $x$ 值小于 0 时,该操作无法运行,即小明输入的 $x$ 的取值范围为 $x＜0$.
(4)输入的 $x$ 值不唯一. 如 $x=3$ 或 $x=9$ 时,输出的 $y$ 值都是$\sqrt{3}$(写出两个符合题意的 $x$ 值即可).
6 核心素养 数形结合 [2025 河北邯郸期中,较难]
【问题发现】(1)如图(1),把两张边长都为1的小正方形纸片分别沿对角线剪开,将所得的4个直角三角形拼在一起,就可以得到1个大正方形,所得到的大正方形的面积为
【知识迁移】(2)爱钻研的小思受到启发,尝试用两张同样大小的长方形纸片拼出1个大正方形.如图(2),将两张长和宽分别为3和2的长方形纸片分别沿对角线剪开,将所得到的4个直角三角形拼出了1个中间有1个镂空小正方形EFGH的大正方形ABCD,所得到的小正方形EFGH的边长为
【拓展延伸】(3)小明想用一张面积为$900\ \mathrm{cm}^2$的正方形纸片,沿着边的方向裁出一张面积为$735\ \mathrm{cm}^2$的长方形纸片,使它的长与宽之比为$5:3$.请通过计算说明是否可行.
【问题发现】(1)如图(1),把两张边长都为1的小正方形纸片分别沿对角线剪开,将所得的4个直角三角形拼在一起,就可以得到1个大正方形,所得到的大正方形的面积为
2
,大正方形的边长为√2
.【知识迁移】(2)爱钻研的小思受到启发,尝试用两张同样大小的长方形纸片拼出1个大正方形.如图(2),将两张长和宽分别为3和2的长方形纸片分别沿对角线剪开,将所得到的4个直角三角形拼出了1个中间有1个镂空小正方形EFGH的大正方形ABCD,所得到的小正方形EFGH的边长为
1
,大正方形ABCD的边长为√13
.【拓展延伸】(3)小明想用一张面积为$900\ \mathrm{cm}^2$的正方形纸片,沿着边的方向裁出一张面积为$735\ \mathrm{cm}^2$的长方形纸片,使它的长与宽之比为$5:3$.请通过计算说明是否可行.
答案
6.【解】(1)由题意得,大正方形面积为 1+1=2,所以其边长为$\sqrt{2}$. 故答案为 2,$\sqrt{2}$.
(2)由题意得,小正方形 $EFGH$ 的边长为 3-2=1,所以大正方形 $ABCD$ 的面积为 $4×\frac{1}{2}×3×2+1^2=13$,所以大正方形 $ABCD$ 的边长为$\sqrt{13}$. 故答案为 1,$\sqrt{13}$.
(3)设裁出的长方形纸片的长为 $5x$ cm,宽为 $3x$ cm,则 $5x · 3x = 735$,所以 $x^2=49$. 因为 $x＞0$,所以 $x=\sqrt{49}=7$,所以裁出的长方形纸片的长为 35 cm. 因为正方形纸片的面积为 $900\ \mathrm{cm}^2$,所以正方形纸片的边长为 30 cm. 因为 35＞30,所以用面积为 $900\ \mathrm{cm}^2$ 的正方形纸片,沿着边的方向裁出一张面积为 $735\ \mathrm{cm}^2$ 的长方形纸片,使它的长与宽之比为 5:3 不可行.
(2)由题意得,小正方形 $EFGH$ 的边长为 3-2=1,所以大正方形 $ABCD$ 的面积为 $4×\frac{1}{2}×3×2+1^2=13$,所以大正方形 $ABCD$ 的边长为$\sqrt{13}$. 故答案为 1,$\sqrt{13}$.
(3)设裁出的长方形纸片的长为 $5x$ cm,宽为 $3x$ cm,则 $5x · 3x = 735$,所以 $x^2=49$. 因为 $x＞0$,所以 $x=\sqrt{49}=7$,所以裁出的长方形纸片的长为 35 cm. 因为正方形纸片的面积为 $900\ \mathrm{cm}^2$,所以正方形纸片的边长为 30 cm. 因为 35＞30,所以用面积为 $900\ \mathrm{cm}^2$ 的正方形纸片,沿着边的方向裁出一张面积为 $735\ \mathrm{cm}^2$ 的长方形纸片,使它的长与宽之比为 5:3 不可行.
