1[2025山东菏泽调研,较难]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$P$从点$B$出发沿线段$BA$移动,同时,点$Q$从点$C$出发沿线段$AC$的延长线移动,当点$P$移动至点$A$时,$P,Q$两点同时停止移动.已知点$P,Q$移动的速度相同,$PQ$与$BC$相交于点$D$.
(1)如图(1),试说明:$PD=QD$.
(2)如图(2),过点$P$作$BC$的垂线,垂足为$E$,点$P,Q$在移动的过程中,线段$BE,DE,CD$中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.

(1) 过 P 点作 $PF// AC$ 交 BC 于 F,如图(1).
因为点 P 和点 Q 同时出发,且移动的速度相同,所以 $BP=CQ$. 因为 $PF// AQ$,所以 $∠ PFB=∠ ACB,∠ DPF=∠ DQC$. 因为 $AB=AC$,所以 $∠ B=∠ ACB$,所以 $∠ B=∠ PFB$,所以 $BP=PF$,所以 $PF=CQ$.
因为 $∠ PDF=∠ QDC,PF=CQ,∠ DPF=∠ DQC$,
所以 $△ PFD≌ △ QCD$,所以 $PD=QD$.
(2) 存在,ED 的长度保持不变. 理由如下:
过点 P 作 $PF// AQ$ 交 BC 于点 F,如图(2). 由(1)知 $PB=PF$.
因为 $PE⊥ BF$,所以 $BE=EF$.
由(1)知 $△ PFD≌ △ QCD$,所以 $FD=DC$,
所以 $ED=EF+FD=BE+DC=\frac{1}{2}BC$,
所以 ED 的长度保持不变.

2[2025河南郑州期末,较难]如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E.(1)如图(1),若$FE=FD$,试说明$AD=CE$.(2)如图(2),若$FE=FD$,$AB=2$,过点D作$DG⊥AC$,垂足为点G,问GF的长是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.

(1) 如图(1),过点 D 作 $DH// BC$ 交 AC 于点 H,所以 $∠ DHF=∠ ECF$. 在 $△ DHF$ 和 $△ ECF$ 中,
$\begin{cases}∠ DHF=∠ ECF, \\∠ HFD=∠ CFE, \\DF=EF,\end{cases}$
所以 $△ DHF≌ △ ECF$,所以 $DH=CE$.
因为 $△ ABC$ 是等边三角形,
所以 $∠ ABC=∠ A=60°$.
因为 $DH// BC$,所以 $∠ ADH=∠ ABC=60°=∠ A$,所以 $△ ADH$ 是等边三角形,所以 $AD=DH$. 因为 $DH=CE$,所以 $AD=CE$.
(2) GF 的长是定值. 如图(2),过点 D 作 $DH// BC$ 交 AC 于点 H. 由(1)知 $△ DHF≌ △ ECF$,
所以 $FH=FC=\frac{1}{2}CH$.
由(1)得 $△ ADH$ 是等边三角形,所以 $AD=AH$,
所以 $CH=BD$,所以 $FH=\frac{1}{2}BD$.
因为 $DG⊥ AC$,所以 $AG=HG=\frac{1}{2}AH=\frac{1}{2}AD$,
所以 $GF=HG+HF=\frac{1}{2}AD+\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(AD+BD)=\frac{1}{2}AB=1$,即 GF 的长是定值,为 1.

3[2025江苏泰州质检,中]如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B,CD平分∠ACB交AB于点D,求证:AC+AD=BC.

如图,在 BC 上截取 $CE=AC$,连接 DE. $\because CD$ 是 $∠ ACB$ 的平分线,$\therefore ∠ ACD=∠ ECD$. 在 $△ ACD$ 与 $△ ECD$ 中,
$\begin{cases}AC=EC, \\∠ ACD=∠ ECD, \\CD=CD,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ ECD(SAS),\therefore ∠ CED=∠ BAC=2∠ B,AD=DE$. 又 $\because ∠ CED=∠ B+∠ BDE$,
$\therefore ∠ BDE=∠ B,\therefore BE=DE=AD,\therefore BC=CE+EB=AC+AD$.