1. 已知$(x^{2}+nx + 3)(x^{2}-3x + m)$的展开式中不含$x^{2}$和$x^{3}$的项，求$m$，$n$的值.

原式$=x^{4}+(n - 3)x^{3}+(m + 3 - 3n)x^{2}+(mn - 9)x + 3m$。因为展开式中不含$x^{2}$和$x^{3}$的项，所以$n - 3 = 0$，$m + 3 - 3n = 0$，解得$n = 3$，$m = 6$。

2. 利用我们学过的知识，可以推导出下面这个形式优美的等式：$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac=\frac{1}{2}[(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(c - a)^{2}]$. 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美.
（1）请你展开右边检验这个等式的正确性；
（2）利用上面的式子计算：$2023^{2}+2024^{2}+2025^{2}-2023×2024 - 2024×2025 - 2023×2025$.

（1）因为$\frac{1}{2}[(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(c - a)^{2}]=\frac{1}{2}(a^{2}-2ab + b^{2}+b^{2}-2bc + c^{2}+c^{2}-2ac + a^{2})=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac$，所以这个等式正确。
（2）由（1），得原式$=\frac{1}{2}×[(2023 - 2024)^{2}+(2024 - 2025)^{2}+(2025 - 2023)^{2}]=\frac{1}{2}×(1 + 1 + 4)=3$。

3. 根据以下10个乘积，解答下面的问题：
$11×29$；$12×28$；$13×27$；$14×26$；$15×25$；$16×24$；$17×23$；$18×22$；$19×21$；$20×20$.
（1）试将以上10个乘积分别写成两数平方差的形式；
（2）将以上乘积按照从小到大的顺序排列起来；（用“$＜$”号连接）
（3）试由（1）（2）猜测出一般性的结论.

（1）$11×29=(20 - 9)×(20 + 9)=20^{2}-9^{2}$。同理可得$12×28=20^{2}-8^{2}$，$13×27=20^{2}-7^{2}$，$14×26=20^{2}-6^{2}$，$15×25=20^{2}-5^{2}$，$16×24=20^{2}-4^{2}$，$17×23=20^{2}-3^{2}$，$18×22=20^{2}-2^{2}$，$19×21=20^{2}-1^{2}$，$20×20=20^{2}-0^{2}$。
（2）$11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20$。
（3）（答案不唯一）若两个正数的和为定值，则当这两个正数的差的绝对值越大时，这两个正数的积越小。

4. 已知有理数$a$，$b$，$x$，$y$满足$ax + by = 3$，$ay - bx = 5$，求代数式$(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})$的值.

因为$ax + by = 3$，$ay - bx = 5$，所以$a^{2}x^{2}+2abxy + b^{2}y^{2}=9$①，$a^{2}y^{2}-2abxy + b^{2}x^{2}=25$②。①+②，得$a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}=34$，所以原式$=a^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=34$。

5. 利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性.
（1）根据图①写出一个代数恒等式；
（2）利用图②说明代数恒等式：$(2a + b)(a + b)=2a^{2}+3ab + b^{2}$；
（3）已知正数$a$，$b$，$c$和$m$，$n$，$l$满足$a + m = b + n = c + l = k$，试构造边长为$k$的正方形，利用面积来说明：$al + bm + cn ＜ k^{2}$.

（1）答案不唯一，如：$4ab=(b + a)^{2}-(b - a)^{2}$。
（2）因为题图②的面积可表示为$(2a + b)(a + b)$，也可表示为$2a^{2}+3ab + b^{2}$，所以$(2a + b)(a + b)=2a^{2}+3ab + b^{2}$。
（3）如图，构造一个边长为$k$的正方形，显然$a + m = b + n = c + l = k$。根据图形可知正方形内部3个长方形的面积和小于正方形的面积，即$al + bm + cn＜k^{2}$。