主题新情境
数形结合思想探索乘法公式
我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式。
【情境再现】
借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，如图①是用边长分别为 $a$，$b$ 的两个正方形和长、宽分别为 $a$，$b$ 的两个长方形拼成的一个大正方形，利用这一图形可以推导出的乘法公式是。
【情境延伸】
如图②是 2002 年北京国际数学家大会的会标，会标是用边长分别为 $a$，$b$，$c$ 的四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，请利用这一图形推导出一个关于 $a$，$b$，$c$ 的结论，并写出简单的推导过程。
【解决问题】
如图③，$A$ 表示的是一个边长为 $1$ 的正方形，面积为 $1^{2}×1 = 1^{3}$，$B$ 表示的是一个边长为 $2$ 的正方形，$C$，$D$ 表示的是两个长、宽分别为 $2$，$1$ 的长方形，$B$，$C$，$D$ 的面积和为 $2^{2}+2×1×2 = 2^{2}+2^{2}=2×2^{2}=2^{3}$。因为 $A$，$B$，$C$，$D$ 拼成的是一个边长为 $3$ 的正方形，所以 $A$，$B$，$C$，$D$ 的面积和可表示为 $1^{3}+2^{3}$ 或 $(1 + 2)^{2}$，所以 $1^{3}+2^{3}=(1 + 2)^{2}$。
类比上述分析过程，在图③的基础上推导 $1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}$ 的计算结果。(画出图形，并写出必要的推导过程)
【合理猜想】
若 $m$ 为正整数，且 $m≥3$，则 $1^{3}+2^{3}+3^{3}+…+m^{3}=$。

主题新情境 数形结合思想探索乘法公式
【情境再现】$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
【情境延伸】结论:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.推导过程如下:由题意,得$S_{大正方形}=c^{2}$,$S_{三角形}=\frac {1}{2}ab$,$S_{小正方形}=(a-b)^{2}$.因为$S_{小正方形}+4S_{三角形}=S_{大正方形}$,所以$(a-b)^{2}+4×(\frac {1}{2}ab)=c^{2}$,所以$a^{2}-2ab+b^{2}+2ab=c^{2}$,所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
【解决问题】如图,A 的面积为$1^{3}$,B,C,D 的面积和为$2^{3}$,E,F,G,H,I 的面积和为$3^{3}$,Q,S,R,M,N,P,T 的面积和为$4^{3}$,而整个图形的面积又可表示为$(1+2+3+4)^{2}$,所以$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}=(1+2+3+4)^{2}$.

【合理猜想】$(1+2+3+··· +m)^{2}$或$\frac {1}{4}m^{2}(m+1)^{2}$