一、选择题
1. 如果 $ a + b = 7 $，$ ab = 12 $，那么 $ a^{2} + ab + b^{2} $ 的值是().

A.11
B.13
C.37
D.61

1. C

因为$a + b = 7$，所以$(a + b)^2 = 7^2 = 49$，即$a^2 + 2ab + b^2 = 49$。又因为$ab = 12$，所以$a^2 + ab + b^2=(a^2 + 2ab + b^2)-ab=49 - 12 = 37$。
C

2. 如果 $ a - \frac{1}{a} = 4 $，那么 $ a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = ( ) $.

A.12
B.14
C.16
D.18

2. D

因为$a - \frac{1}{a} = 4$，
所以$(a - \frac{1}{a})^2 = 4^2$，
即$a^2 - 2 · a · \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 16$，
化简得$a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = 16$，
移项可得$a^2 + \frac{1}{a^2} = 16 + 2 = 18$。
D

3. 不等式 $ (2x - 1)^{2} - (1 - 3x)^{2} ＜ 5(1 - x)(1 + x) $ 的解集是().

A.$ x ＞ - 2.5 $
B.$ x ＜ - 2.5 $
C.$ x ＞ 2.5 $
D.$ x ＜ 2.5 $

3. D

解：展开不等式左边：$(2x - 1)^2 - (1 - 3x)^2 = (4x^2 - 4x + 1) - (9x^2 - 6x + 1) = -5x^2 + 2x$
展开不等式右边：$5(1 - x)(1 + x) = 5(1 - x^2) = 5 - 5x^2$
原不等式化为：$-5x^2 + 2x ＜ 5 - 5x^2$
移项得：$2x ＜ 5$
解得：$x ＜ \frac{5}{2} = 2.5$
D

二、填空题
4. $ ( - \frac{1}{3}a - 4b ) ( \frac{1}{3}a - 4b ) = $.

4. $ 16b^{2}-\frac{1}{9}a^{2} $

5. (1) $ 999^{2} = $；
(2) $ 123^{2} - 101^{2} - 122 × 124 = $.

5. (1) 998001 (2) -10200

6. 已知 $ (x + y)^{2} = 17 $，$ (x - y)^{2} = 3 $，则 $ \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = $.

6. $ \frac{20}{7} $

因为$(x + y)^{2} = 17$，展开得$x^{2} + 2xy + y^{2} = 17$；$(x - y)^{2} = 3$，展开得$x^{2} - 2xy + y^{2} = 3$。
两式相加：$x^{2} + 2xy + y^{2} + x^{2} - 2xy + y^{2} = 17 + 3$，即$2x^{2} + 2y^{2} = 20$，化简得$x^{2} + y^{2} = 10$。
两式相减：$x^{2} + 2xy + y^{2} - (x^{2} - 2xy + y^{2}) = 17 - 3$，即$4xy = 14$，解得$xy = \frac{7}{2}$。
$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y^{2} + x^{2}}{xy} = \frac{x^{2} + y^{2}}{xy} = \frac{10}{\frac{7}{2}} = \frac{20}{7}$。
$\frac{20}{7}$

三、解答题
7. 已知 $ 2x^{2} - 6x - 4 = 0 $，求代数式 $ (x + 1)(x - 1) - (x + 3)^{2} + 2x^{2} $ 的值.

7. -6

$\begin{aligned}&(x + 1)(x - 1) - (x + 3)^{2} + 2x^{2}\\=&x^{2}-1-(x^{2}+6x + 9)+2x^{2}\\=&x^{2}-1 - x^{2}-6x - 9 + 2x^{2}\\=&2x^{2}-6x - 10\end{aligned}$
因为$2x^{2}-6x - 4 = 0$，所以$2x^{2}-6x=4$，则$2x^{2}-6x - 10=4 - 10=-6$
-6

8. 试求 $ (2 - 1)(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1 $ 的个位数字.

8. 6

$\begin{aligned}&(2 - 1)(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1\\=&(2^{2} - 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1\\=&(2^{4} - 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1\\=&(2^{8} - 1)(2^{8} + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1\\=&(2^{16} - 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1\\=&(2^{32} - 1)(2^{32} + 1) + 1\\=&2^{64} - 1 + 1\\=&2^{64}\end{aligned}$
$2^1=2$，个位数字2；$2^2=4$，个位数字4；$2^3=8$，个位数字8；$2^4=16$，个位数字6；$2^5=32$，个位数字2，周期为4。$64÷4=16$，整除，故$2^{64}$个位数字6。
6

9. 已知点 $ B $ 是线段 $ CG $ 上一点.以 $ BC $，$ BG $ 为边在两侧作正方形，面积分别是 $ S_{1} $ 和 $ S_{2} $.$ CG = 6 $，$ S_{1} $ 与 $ S_{2} $ 的和为 16，则阴影部分 $ △ BCE $ 的面积是多少？

9. 5