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一、选择题
1. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输 5 吨货物，且大货车运输 75 吨货物所用车辆数与小货车运输 50 吨货物所用车辆数相同，设大货车每辆车运输 $ x $ 吨货物，则所列方程正确的是(
A.$\frac{75}{x - 5} = \frac{50}{x}$
B.$\frac{75}{x} = \frac{50}{x - 5}$
C.$\frac{75}{x + 5} = \frac{50}{x}$
D.$\frac{75}{x} = \frac{50}{x + 5}$
1. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输 5 吨货物，且大货车运输 75 吨货物所用车辆数与小货车运输 50 吨货物所用车辆数相同，设大货车每辆车运输 $ x $ 吨货物，则所列方程正确的是(
B
).A.$\frac{75}{x - 5} = \frac{50}{x}$
B.$\frac{75}{x} = \frac{50}{x - 5}$
C.$\frac{75}{x + 5} = \frac{50}{x}$
D.$\frac{75}{x} = \frac{50}{x + 5}$
答案
1. B
2. 某工地调来 144 人参加挖土和运土，已知 3 人挖出的土 1 人恰好能全部运走，问怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工(停工等待).为解决此问题，可设派 $ x $ 人挖土，其他人运土.列方程为：
① $\frac{144 - x}{x} = \frac{1}{3}$；② $144 - x = \frac{x}{3}$；③ $x + 3x = 144$；④ $\frac{x}{144 - x} = 3$.
上述所列方程，正确的有(
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
① $\frac{144 - x}{x} = \frac{1}{3}$；② $144 - x = \frac{x}{3}$；③ $x + 3x = 144$；④ $\frac{x}{144 - x} = 3$.
上述所列方程，正确的有(
C
).A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
2. C
解析
设派$x$人挖土，则运土人数为$144 - x$人。
因为$3$人挖出的土$1$人恰好能全部运走，所以挖土人数与运土人数的比为$3:1$。
①$\frac{144 - x}{x} = \frac{1}{3}$，运土人数与挖土人数的比为$1:3$，正确；
②$144 - x = \frac{x}{3}$，运土人数等于挖土人数的$\frac{1}{3}$，正确；
③$x + 3x = 144$，运土人数应为$\frac{x}{3}$，不是$3x$，错误；
④$\frac{x}{144 - x} = 3$，挖土人数与运土人数的比为$3:1$，正确。
正确的方程有①②④，共$3$个。
C
因为$3$人挖出的土$1$人恰好能全部运走，所以挖土人数与运土人数的比为$3:1$。
①$\frac{144 - x}{x} = \frac{1}{3}$，运土人数与挖土人数的比为$1:3$，正确；
②$144 - x = \frac{x}{3}$，运土人数等于挖土人数的$\frac{1}{3}$，正确；
③$x + 3x = 144$，运土人数应为$\frac{x}{3}$，不是$3x$，错误；
④$\frac{x}{144 - x} = 3$，挖土人数与运土人数的比为$3:1$，正确。
正确的方程有①②④，共$3$个。
C
二、填空题
3. 对于任意的非零实数 $ a $，$ b $，记 $ a \otimes b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $.若 $(x + 1) \otimes x = \frac{2x + 1}{x}$，则 $ x $ 的值为
3. 对于任意的非零实数 $ a $，$ b $，记 $ a \otimes b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $.若 $(x + 1) \otimes x = \frac{2x + 1}{x}$，则 $ x $ 的值为
$-\dfrac{1}{2}$
.答案
3. $-\dfrac{1}{2}$
解析
解：由题意得，$(x + 1) \otimes x = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}$，
则$\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x} = \frac{2x + 1}{x}$，
方程两边同乘$x(x + 1)$得：$x + (x + 1) = (2x + 1)(x + 1)$，
展开得：$2x + 1 = 2x^2 + 3x + 1$，
移项化简得：$2x^2 + x = 0$，
即$x(2x + 1) = 0$，
解得$x = 0$或$x = -\frac{1}{2}$，
经检验，$x = 0$是增根，舍去，
所以$x = -\frac{1}{2}$。
$-\dfrac{1}{2}$
则$\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x} = \frac{2x + 1}{x}$，
方程两边同乘$x(x + 1)$得：$x + (x + 1) = (2x + 1)(x + 1)$，
展开得：$2x + 1 = 2x^2 + 3x + 1$，
移项化简得：$2x^2 + x = 0$，
即$x(2x + 1) = 0$，
解得$x = 0$或$x = -\frac{1}{2}$，
经检验，$x = 0$是增根，舍去，
所以$x = -\frac{1}{2}$。
$-\dfrac{1}{2}$
4. 关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{x + m}{x - 2} + \frac{1}{2 - x} = 3$ 有增根，则 $ m = $
$-1$
.答案
4. $-1$
解析
解：方程两边同乘$x - 2$得：$x + m - 1 = 3(x - 2)$。
因为分式方程有增根，所以$x - 2 = 0$，即$x = 2$。
将$x = 2$代入整式方程得：$2 + m - 1 = 3(2 - 2)$，解得$m = -1$。
$-1$
因为分式方程有增根，所以$x - 2 = 0$，即$x = 2$。
将$x = 2$代入整式方程得：$2 + m - 1 = 3(2 - 2)$，解得$m = -1$。
$-1$
5. 某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的 2 倍，购买足球用了 5 000 元，购买篮球用了 4 000 元，篮球单价比足球贵 30 元.根据题意可列方程 $\frac{5\ 000}{2x} = \frac{4\ 000}{x} -$ 30，方程中 $ x $ 表示
篮球的数量
.答案
5. 篮球的数量
6. 某种水果 8 折出售，若用 60 元钱买这种水果，可以比打折前多买 3 kg.设打折前价格为 $ x $ 元/kg，根据题意可列方程
$\dfrac{60}{0.8x}=3+\dfrac{60}{x}$
.答案
6. $\dfrac{60}{0.8x}=3+\dfrac{60}{x}$
三、解答题
7. 我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在改善空气质量等方面较传统汽车有明显优势.对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查显示，电动汽车平均每千米充电费比燃油车平均每千米加油费少 0.6 元.充电费和加油费均为 200 元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的 4 倍.求这款电动汽车的平均每千米充电费.
7. 我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在改善空气质量等方面较传统汽车有明显优势.对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查显示，电动汽车平均每千米充电费比燃油车平均每千米加油费少 0.6 元.充电费和加油费均为 200 元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的 4 倍.求这款电动汽车的平均每千米充电费.
答案
7. $0.2$
解析
设这款电动汽车的平均每千米充电费为$x$元，则燃油车平均每千米加油费为$(x + 0.6)$元。
根据题意，得$\dfrac{200}{x} = 4×\dfrac{200}{x + 0.6}$
方程两边同乘$x(x + 0.6)$，得$200(x + 0.6) = 4×200x$
化简得$x + 0.6 = 4x$
解得$x = 0.2$
经检验，$x = 0.2$是原方程的解，且符合题意。
$0.2$
根据题意，得$\dfrac{200}{x} = 4×\dfrac{200}{x + 0.6}$
方程两边同乘$x(x + 0.6)$，得$200(x + 0.6) = 4×200x$
化简得$x + 0.6 = 4x$
解得$x = 0.2$
经检验，$x = 0.2$是原方程的解，且符合题意。
$0.2$
