基础知识·预习
问题1 按照证明命题的步骤，证明结论“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”。
问题2 通过本节的学习，你对角的平分线有了哪些新的认识？

问题1
证明：
已知：点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD=PE。
求证：点P在∠AOB的平分线上。
连接OP，
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠ODP=∠OEP=90°。
在Rt△ODP和Rt△OEP中，
$\{\begin{array}{l} OP=OP \\ PD=PE \end{array} $
∴ Rt△ODP ≌ Rt△OEP（HL）。
∴ ∠DOP=∠EOP，
即OP是∠AOB的平分线。
∴ 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
问题2
解：1. 角平分线的判定定理和性质定理互为逆命题：性质定理的条件是点在角的平分线上，结论是点到角两边的距离相等；判定定理的条件是角内部的点到角两边距离相等，结论是点在这个角的平分线上。
2. 可以通过证明角内部的点到角两边距离相等，直接判定该点在角平分线上，不需要再通过三角形全等推导角相等，简化了证明过程。
3. 三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点到三角形三边的距离相等。

【典型例题1】如图，已知点D，E，F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等，连接DE，DF，AD.求证：AD平分∠BAC.

【证明】如图，过D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N.因为△DCE的面积与△DBF的面积相等，所以$\frac{CE · DN}{2} = \frac{BF · DM}{2}$.因为CE＝BF，所以DN＝DM.又因为DM⊥AB，DN⊥AC，所以点D在∠BAC的平分线上，所以AD平分∠BAC.

规律方法 证明角的平分线的步骤：(1)找出与角的两边都垂直的线段的交点；(2)证明过这一点且到该角的两边的两条垂线段相等；(3)根据角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，证明角的平分线.

证明：
过点D作$DM⊥ AB$于点M，$DN⊥ AC$于点N。
$\because S_{△ DCE}=S_{△ DBF}$，
$\therefore \dfrac{1}{2}CE· DN=\dfrac{1}{2}BF· DM$。
又$\because CE=BF$，
$\therefore DN=DM$。
$\because DM⊥ AB$，$DN⊥ AC$，
$\therefore$ 点D在$∠ BAC$的平分线上，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$。

1.如图，点B，C分别在$∠ MAN$的两边上，$BD ⊥ AM$于点D，$CE ⊥ AN$于点E，BD，CE相交于点F，且$BF=CF$.求证：点F在$∠ MAN$的平分线上.

1.【证明】因为 $BD ⊥ AM,CE ⊥ AN$,
所以$∠CDF=∠BEF=90°$.
在$△ DCF$ 和$△ EBF$ 中,$\begin{cases}∠CDF=∠BEF,\\∠DFC=∠EFB,\\CF=BF,\end{cases}$
所以$△ DCF≌△ EBF(\mathrm{AAS})$,所以$FD=FE$,
所以点 F 在$∠MAN$ 的平分线上.