典例1 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AO=x，O在边AB上（不包括端点），且⊙O的半径为1.当x在什么范围内取值时，AC与⊙O相离、相切、相交？

解：
过点O作OD⊥AC于点D。
∵ ∠C=90°，∠B=60°，
∴ ∠A = 180° - 90° - 60° = 30°。
在Rt△AOD中，∠ADO=90°，∠A=30°，AO=x，
∴ $OD = AO · \sin30° = \frac{1}{2}x$。
已知⊙O的半径r=1：
1. 当AC与⊙O相离时，圆心O到AC的距离d ＞ r，即$\frac{1}{2}x ＞ 1$，解得$x＞2$；
2. 当AC与⊙O相切时，d = r，即$\frac{1}{2}x = 1$，解得$x=2$；
3. 当AC与⊙O相交时，d ＜ r，即$\frac{1}{2}x ＜ 1$，解得$x＜2$。
又∵点O在边AB上（不包括端点），∴$x＞0$。
综上：
当$2 ＜ x ＜ AB$时，AC与⊙O相离；
当$x=2$时，AC与⊙O相切；
当$0 ＜ x ＜ 2$时，AC与⊙O相交。

典例2 如图，AB为$\odot O$的直径，$OC ⊥ AB$交$\odot O$于点C，D为OB上一点，延长CD交$\odot O$于点E，延长OB至点F，使$DF=FE$，连接EF.
(1)求证:EF为$\odot O$的切线;
(2)若$OD=1$且$BD=BF$,求$\odot O$的半径.

(1) 证明：
连接$OE$，
$\because OE$、$OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore OE=OC$，
$\therefore ∠ OEC=∠ OCE$。
$\because OC⊥ AB$，
$\therefore ∠ COD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$∠ OCE + ∠ ODC=90°$。
$\because DF=FE$，
$\therefore ∠ FED=∠ FDE$，
又$\because ∠ FDE=∠ ODC$（对顶角相等），
$\therefore ∠ FED=∠ ODC$，
$\therefore ∠ OEF=∠ OEC + ∠ FED=∠ OCE + ∠ ODC=90°$，
即$OE⊥ EF$。
又$\because OE$是$\odot O$的半径，
$\therefore EF$为$\odot O$的切线。
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(2) 解：
设$\odot O$的半径为$r$，则$OE=OB=r$。
$\because OD=1$，
$\therefore BD=OB-OD=r-1$。
$\because BD=BF$，
$\therefore BF=r-1$，
$\therefore DF=BD+BF=2(r-1)$。
又$\because DF=FE$，
$\therefore EF=2(r-1)$，
且$OF=OB+BF=r+(r-1)=2r-1$。
在$\mathrm{Rt}△ OEF$中，由勾股定理得：
$OE^2 + EF^2 = OF^2$
代入对应边长：
$r^2 + [2(r-1)]^2=(2r-1)^2$
展开整理：
$r^2 + 4r^2 -8r +4=4r^2 -4r +1$
$r^2 -4r +3=0$
解得$r_1=3$，$r_2=1$。
当$r=1$时，$OD=1$，点$D$与点$O$重合，不符合题意，舍去。
$\therefore \odot O$的半径为$\boldsymbol{3}$。