1. 若无论$x$取何值,代数式$(x + 1 - 3m)(x - m)$的值恒为非负数,则$m$的值为( )

A.$0$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$1$

B

$(x + 1 - 3m)(x - m)=x^2+(1 - 4m)x + 3m^2 - m$
$\Delta=(1 - 4m)^2-4(3m^2 - m)=1 - 8m + 16m^2 - 12m^2 + 4m=4m^2 - 4m + 1=(2m - 1)^2$
令$(2m - 1)^2=0$，解得$m=\frac{1}{2}$
此时方程$x^2+(1 - 4m)x + 3m^2 - m=0$有两个相等实根$x=\frac{1}{2}$，原代数式可化为$(x - \frac{1}{2})^2$，值恒为非负数。
B

2. 已知$a\geqslant2$,$m^{2}-2am + 2 = 0$,$n^{2}-2an + 2 = 0$,则$(m - 1)^{2}+(n - 1)^{2}$的最小值是( )

A.$6$
B.$3$
C.$-3$
D.$0$

A

由题意知，$m$，$n$是方程$x^{2}-2ax + 2 = 0$的两个根，
则$m + n=2a$，$mn = 2$。
$(m - 1)^{2}+(n - 1)^{2}=m^{2}-2m + 1 + n^{2}-2n + 1=(m^{2}+n^{2})-2(m + n)+2$
$=(m + n)^{2}-2mn-2(m + n)+2=(2a)^{2}-2×2-2×2a + 2=4a^{2}-4a - 2$。
方程$x^{2}-2ax + 2 = 0$有实根，$\Delta=(-2a)^{2}-4×1×2=4a^{2}-8\geqslant0$，
$\because a\geqslant2$，$4a^{2}-8\geqslant4×2^{2}-8 = 8\geqslant0$，满足条件。
设$y = 4a^{2}-4a - 2$，$a\geqslant2$，
对称轴为$a=-\frac{-4}{2×4}=\frac{1}{2}$，开口向上，
当$a\geqslant2$时，$y$随$a$增大而增大，
$a = 2$时，$y=4×2^{2}-4×2-2=16 - 8 - 2=6$，
$\therefore (m - 1)^{2}+(n - 1)^{2}$的最小值是$6$。
A

3. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}= bx - c的解为x_{1}= -1$,$x_{2}= 3$,则二次函数$y = x^{2}-bx+c$的对称轴是( )

A.直线$x = -1$
B.直线$x = 0$
C.直线$x = 1$
D.直线$x = 2$

C

将方程$x^{2}=bx - c$化为一般形式：$x^{2}-bx + c=0$。
因为一元二次方程$x^{2}-bx + c=0$的解为$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$，所以二次函数$y = x^{2}-bx + c$与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$，$(3,0)$。
二次函数对称轴为直线$x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{-1 + 3}{2}=1$。
C

4. 已知二次函数$y = \frac{1}{2}x^{2}-3x+\frac{5}{2}$。
(1)该二次函数图象与$x$轴的交点坐标是______；
(2)将$y = \frac{1}{2}x^{2}-3x+\frac{5}{2}化成y = a(x - h)^{2}+k$的形式是______,并写出顶点坐标：______。
(3)在图中画出此抛物线的大致图象；
(4)写出不等式$\frac{1}{2}x^{2}-3x+\frac{5}{2}\gt0$的解集：______；
(5)当$0\lt x\lt4$时,直接写出$y$的取值范围：______。

(1)$(1,0),(5,0)$;
(2)$y=\frac{1}{2}(x-3)^{2}-2,(3,-2)$;
(3)图略;
(4)$x＜1$或$x＞5$;
(5)$-2 \leqslant y＜\frac{5}{2}$

已知抛物线$y = mx^{2}+(3 - 2m)x + m - 2(m\neq0)与x$轴有两个不同的交点。
(1)求$m$的取值范围；
(2)判断点$P(1,1)$是否在抛物线上；
(3)当$m = 1$时,求抛物线的顶点$Q及点P关于抛物线的对称轴对称的点P'$的坐标,并过$P'$,$Q$,$P$三点画出抛物线草图。

(1)$m＜\frac{9}{4}$且$m \neq 0$；
(2)在抛物线上；
(3)$Q\left(-\frac{1}{2},-\frac{5}{4}\right),P'(-2,1)$,图略