登录
1.计算:(1)$(a+b+c)^{2}$;
(2)$(x+y-z)^{2}$.
(2)$(x+y-z)^{2}$.
答案
1.解:(1)$(a+b+c)^{2}=[(a+b)+c]^{2}=(a+b)^{2}$
$+2(a+b)c+c^{2}$
$=a^{2}+2ab+b^{2}+2ac+2bc+c^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$+2ab+2bc+2ac.$
(2)$(x+y-z)^{2}=[(x+y)-z]^{2}$
$=(x+y)^{2}-2(x+y)z+z^{2}$
$=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy-2xz-2yz.$
$+2(a+b)c+c^{2}$
$=a^{2}+2ab+b^{2}+2ac+2bc+c^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$+2ab+2bc+2ac.$
(2)$(x+y-z)^{2}=[(x+y)-z]^{2}$
$=(x+y)^{2}-2(x+y)z+z^{2}$
$=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy-2xz-2yz.$
2.先化简,再求值:$(1+a)(1-a)+(a-2)^{2}$,其中$a=-3$.
答案
2.解:原式$=1-a^{2}+a^{2}-4a+4=-4a+5.$
当$a=-3$时,原式$=-4×(-3)+5=12+5$
$=17.$
当$a=-3$时,原式$=-4×(-3)+5=12+5$
$=17.$
3.计算:
(1)$(x+y-z)(x+y+z)$;
(2)$(a-b+c)(a+b+c)$.
(1)$(x+y-z)(x+y+z)$;
(2)$(a-b+c)(a+b+c)$.
答案
3.解:(1)$(x+y-z)(x+y+z)$
$=[(x+y)-z][(x+y)+z]$
$=(x+y)^{2}-z^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}-z^{2}.$
(2)$(a-b+c)(a+b+c)$
$=[(a+c)-b][(a+c)+b]$
$=(a+c)^{2}-b^{2}=a^{2}+2ac+c^{2}-b^{2}.$
$=[(x+y)-z][(x+y)+z]$
$=(x+y)^{2}-z^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}-z^{2}.$
(2)$(a-b+c)(a+b+c)$
$=[(a+c)-b][(a+c)+b]$
$=(a+c)^{2}-b^{2}=a^{2}+2ac+c^{2}-b^{2}.$
4.已知$a+b+c=0$,$a^{2}+b^{2}+c^{2}=4$,试求$a^{4}+b^{4}+c^{4}$的值.
答案
4.解:由已知条件,得$a+b=-c,a^{2}+b^{2}=$
$4-c^{2}.$
所以$ab=\frac{1}{2}[(a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2})]=\frac{1}{2}[(-c)^{2}$
$-(4-c^{2})]=c^{2}-2,$
所以$a^{4}+b^{4}=(a^{2}+b^{2})^{2}-2a^{2}b^{2}=(4-c^{2})^{2}-$
$2(c^{2}-2)^{2}=$
$8-c^{4}$,所以$a^{4}+b^{4}+c^{4}=8.$
$4-c^{2}.$
所以$ab=\frac{1}{2}[(a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2})]=\frac{1}{2}[(-c)^{2}$
$-(4-c^{2})]=c^{2}-2,$
所以$a^{4}+b^{4}=(a^{2}+b^{2})^{2}-2a^{2}b^{2}=(4-c^{2})^{2}-$
$2(c^{2}-2)^{2}=$
$8-c^{4}$,所以$a^{4}+b^{4}+c^{4}=8.$
5.先化简,再求值:
$(a+b)(a-b)-(a-2b)^{2}$,其中$a=2$,$b=-1$.
$(a+b)(a-b)-(a-2b)^{2}$,其中$a=2$,$b=-1$.
答案
5.解:$(a+b)(a-b)-(a-2b)^{2}=a^{2}-b^{2}-a^{2}+$
$4ab-4b^{2}=4ab-5b^{2}$.当$a=2,b=-1$时,原式
$=4×2×(-1)-5×(-1)^{2}=-13.$
$4ab-4b^{2}=4ab-5b^{2}$.当$a=2,b=-1$时,原式
$=4×2×(-1)-5×(-1)^{2}=-13.$
6.观察例题,然后回答问题.
例:$x+\frac{1}{x}=3$,则$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$等于多少?
解:由$x+\frac{1}{x}=3$,得$\left ( x+\frac{1}{x}\right )^{2}=9$,即$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2=9$,所以$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=9-2=7$.
通过观察,计算当$x+\frac{1}{x}=6$时,下列各式的值:
(1)$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$;(2)$\left ( x-\frac{1}{x}\right )^{2}$.
例:$x+\frac{1}{x}=3$,则$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$等于多少?
解:由$x+\frac{1}{x}=3$,得$\left ( x+\frac{1}{x}\right )^{2}=9$,即$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2=9$,所以$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=9-2=7$.
通过观察,计算当$x+\frac{1}{x}=6$时,下列各式的值:
(1)$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$;(2)$\left ( x-\frac{1}{x}\right )^{2}$.
答案
6.解:(1)由$x+\frac{1}{x}=6$,得$(x+\frac{1}{x})^{2}=36$,即$x^{2}+$
$\frac{1}{x^{2}}+2=36,$
所以$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=36-2=34.$
(2)$(x-\frac{1}{x})^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2=34-2=32.$
$\frac{1}{x^{2}}+2=36,$
所以$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=36-2=34.$
(2)$(x-\frac{1}{x})^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2=34-2=32.$
7.已知$x,y$满足方程组$\begin{cases} x-5y=-2,\\ 2x+5y=-1.\\ \end{cases}$求代数式$(x-y)^{2}-(x+2y)(x-2y)$的值.
答案
7.解:解方程组$\begin{cases} x-5y=-2, \\2x+5y=-1, \end{cases}$得$\begin{cases} x=-1, \\y=\frac{1}{5}. \end{cases}$
$(x-y)^{2}-(x+2y)(x-2y)=x^{2}-2xy+y^{2}$
$-x^{2}+4y^{2}=5y^{2}-2xy.$
当$x=-1,y=\frac{1}{5}$时,
原式$=5×(\frac{1}{5})^{2}-2×(-1)×(\frac{1}{5})=\frac{3}{5}.$
$(x-y)^{2}-(x+2y)(x-2y)=x^{2}-2xy+y^{2}$
$-x^{2}+4y^{2}=5y^{2}-2xy.$
当$x=-1,y=\frac{1}{5}$时,
原式$=5×(\frac{1}{5})^{2}-2×(-1)×(\frac{1}{5})=\frac{3}{5}.$
8.设$a,b,c$满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac=0$,试判断$a,b,c$之间有何关系,并说明理由.
答案
8.解:$a=b=c$.理由:因为$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc$
$-ac=0$,所以$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-$
$2ac=0$,所以$(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}=$
0,所以$a=b,b=c,a=c$,所以$a=b=c.$
$-ac=0$,所以$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-$
$2ac=0$,所以$(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}=$
0,所以$a=b,b=c,a=c$,所以$a=b=c.$
