2. （2025·扬州期末）初步感知：
(1)将一副三角板的直角顶点重合在一起,如图②所示,当$CE// AB$时,则$∠ BCF=\_\_\_\_\_\_°$;
(2)如图③,当$CA$平分$∠ ECF$时,请写出图中两条平行的直线,并说明理由.
深度探究：
(3)将上述三角板按图④所示的方式摆放,点$A,B$在直线$GH$上,点$D,F$在直线$MN$上,直线$GH// MN$,保持三角板$ABC$不动,现将三角板$DEF$绕点$D$以每秒$3°$的速度顺时针旋转,设旋转时间为$t$秒,且$0≤ t≤60$,是否存在$t$的值,使边$BC$与另一块三角板$DEF$的一条边平行,若存在,请求出$t$的值;若不存在,请说明理由.

2.(1)30
【解析】因为 CE//AB,∠A=30°,所以∠ACE=∠A=30°.因为∠BCF+∠ACF=∠ACE+∠ACF=90°,所以∠BCF=∠ACE=30°.
(2)BC//EF,理由如下:由(1)可得∠BCF=∠ACE.因为 CA 平分∠ECF,∠ECF=90°,所以∠ACE=∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ECF=45°,所以∠BCF=∠ACE=45°.因为∠F=45°,所以∠F=∠BCF,所以 BC//EF.
(3)①如图①,当 DE//BC 时,延长 AC 交 MN 于点 P,延长 BC 交 MN 于点 Q,因为 DE//BC,所以∠PDE=∠PQB.因为 MN//GH,∠EDF=∠ACB=90°,∠BAC = 30°,所以∠APD=∠BAC=30°,∠PQC=∠ABC=60°,所以∠PDE=60°,所以∠FDE+∠PDE+∠APD=180°,所以 AP//DF,所以∠FDM=∠MPA=30°.因为旋转速度为每秒 3°,所以 t 秒转过的角度为 3t°,所以 3t=30,解得 t=10;

②当 BC//DF 时,如图②,延长 BC 交 MN 于点 T,因为旋转速度为每秒 3°,所以 t 秒转过的角度为 3t°,根据题意得∠FDN=180°-3t°.因为 BC//DF,所以∠FDN=∠BTN.因为 MN//GH,∠EDF=∠ACB=90°,∠BAC=30°,所以∠BTN=∠ABC=60°,所以∠FDN=60°,即 180-3t=60,解得 t=40;

③如图③,当 EF//BC 时,延长 EF 交 GH 于点 Q,过点 F 作 KL//GH,过点 D 作 DP⊥MN,交 GH 于点 P,因为∠ABC=∠FQA=60°,所以∠QFL=∠FQA=60°,所以∠KFE=60°.因为∠EFD=45°,所以∠KFD=∠KFE-∠EFD=15°.因为 GH//MN,GH//KL,所以 KL//MN,所以∠FDN=∠KFD=15°,所以∠PDF=75°,所以∠PDE=∠FDE+∠PDF=165°.因为旋转速度为每秒 3°,所以 t 秒转过的角度为 3t°,所以3t°=165°,解得 t=55.
综上所述,所有满足条件的 t 的值为 10 或 40 或 55.

3. 已知 $ OC $ 是$ ∠ AOB $ 内部的一条射线,且$ ∠ AOB = 3∠ AOC $.
(1) 如图①所示,若$ ∠ AOB = 120° $, $ OM $ 平分$ ∠ AOC $, $ ON $ 平分$ ∠ AOB $,求$ ∠ MON $ 的度数.
(2) 如图②所示, $ ∠ AOB $ 是直角,从点 $ O $ 出发在$ ∠ BOC $ 内引射线 $ OD $,满足$ ∠ BOC - ∠ AOC = ∠ COD $,若 $ OM $ 平分$ ∠ COD $,求$ ∠ BOM $ 的度数.
(3) 如图③所示, $ ∠ AOB = x° $,射线 $ OP $,射线 $ OQ $ 分别从 $ OC, OB $ 出发,并分别以每秒 $ 1° $ 和每秒 $ 2° $ 的速度绕着点 $ O $ 逆时针旋转, $ OP $ 和 $ OQ $ 分别只在$ ∠ AOC $ 和$ ∠ BOC $ 内部旋转,运动时间为 $ t $ 秒.
①直接写出$ ∠ AOP $ 和$ ∠ COQ $ 的数量关系；
②若$ ∠ AOB = 150° $,当$ ∠ POQ = \frac{2}{3}∠ BOP $时,求 $ t $ 的值.

3.(1)因为∠AOB=3∠AOC,∠AOB=120°,所以∠AOC=$\frac{1}{3}$×120°=40°.因为 OM 平分∠AOC,ON 平分∠AOB,所以∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠AON=$\frac{1}{2}$∠AOB,所以∠AOM=20°,∠AON=60°,所以∠MON=∠AON-∠AOM=60°-20°=40°.
(2)因为∠AOB=90°,∠AOB=3∠AOC,所以∠AOC=30°,所以∠BOC=60°.因为∠BOC - ∠AOC = ∠COD,所以∠COD=60° - 30° = 30°.因为 OM 平分∠COD,所以∠COM = $\frac{1}{2}$∠COD = 15°,所以∠BOM = ∠BOC - ∠COM=45°.
(3)①∠COQ=2∠AOP.
【解析】因为∠AOB=3∠AOC,∠AOB=x°,所以∠AOC=($\frac{1}{3}x$)°,所以∠BOC=($\frac{2}{3}x$)°.由题意得∠COP = t×1° = t°,∠BOQ = t×2° = 2t°,所以∠AOP=∠AOC - ∠COP = ($\frac{1}{3}x - t$)°,∠COQ = ∠BOC - ∠BOQ = ($\frac{2}{3}x - 2t$)°,所以∠COQ=2∠AOP.
②由①知∠COP=t°,∠COQ=($\frac{2}{3}x - 2t$)°.
因为∠POQ = ∠COQ + ∠COP,∠BOP = ∠BOC + ∠COP,所以∠POQ=($\frac{2}{3}x - t$)°,∠BOP=($\frac{2}{3}x + t$)°.
因为∠AOB = 150°,∠POQ = $\frac{2}{3}$∠BOP,所以 ($\frac{2}{3}x - t$)° = $\frac{2}{3}(\frac{2}{3}x + t)$°,把 x = 150 代入解得 t = 20,所以若∠AOB=150°,当∠POQ = $\frac{2}{3}$∠BOP 时,t=20.