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10. 两个$y$关于$x$的一次函数$y=ax+b$和$y=bx+a$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
A.
B
）A.
答案
解：A、对于$y=ax+b$，当$a＞0$，图象经过第一、三象限，则$b＞0$，$y=bx+a$也要经过第一、三象限，所以A选项不符合题意；
B、对于$y=ax+b$，当$a＞0$，图象经过第一、三象限，则$b＜0$，$y=bx+a$经过第二、四象限，与$y$轴的交点在$x$轴上方，所以B选项符合题意；
C、对于$y=ax+b$，当$a＞0$，图象经过第一、三象限，则$b＞0$，$y=bx+a$也要经过第一、三象限，所以C选项不符合题意；
D、对于$y=ax+b$，当$a＜0$，图象经过第二、四象限，若$b＞0$，则$y=bx+a$经过第一、三象限，所以D选项不符合题意。
故选：B。
B、对于$y=ax+b$，当$a＞0$，图象经过第一、三象限，则$b＜0$，$y=bx+a$经过第二、四象限，与$y$轴的交点在$x$轴上方，所以B选项符合题意；
C、对于$y=ax+b$，当$a＞0$，图象经过第一、三象限，则$b＞0$，$y=bx+a$也要经过第一、三象限，所以C选项不符合题意；
D、对于$y=ax+b$，当$a＜0$，图象经过第二、四象限，若$b＞0$，则$y=bx+a$经过第一、三象限，所以D选项不符合题意。
故选：B。
解析
【分析】
要判断两个一次函数$y=ax+b$和$y=bx+a$的图象是否正确，需利用一次函数$y=kx+c$的性质：斜率$k$决定直线倾斜方向（$k＞0$时直线过第一、三象限，$k＜0$时过第二、四象限），截距$c$决定直线与$y$轴交点位置（$c＞0$时交$y$轴正半轴，$c＜0$时交负半轴）。我们可先假设其中一个函数的$a$、$b$符号，再验证另一个函数是否匹配，逐一分析选项即可得出答案。
【解析】
1. 分析选项A：
对于$y=ax+b$，其图象过第一、三象限，故斜率$a＞0$；图象与$y$轴交于正半轴，故截距$b＞0$。
那么对于$y=bx+a$，此时$b＞0$、$a＞0$，其图象应过第一、三象限，但选项A中另一条直线过第二、四象限，矛盾，排除A。
2. 分析选项B：
对于$y=ax+b$，其图象过第一、三象限，故斜率$a＞0$；图象与$y$轴交于负半轴，故截距$b＜0$。
那么对于$y=bx+a$，此时$b＜0$、$a＞0$，其图象应过第二、四象限，且与$y$轴交于正半轴，与选项B中另一条直线的特征一致，符合要求。
3. 分析选项C：
对于$y=ax+b$，其图象过第一、三象限，故斜率$a＞0$；图象与$y$轴交于正半轴，故截距$b＞0$。
那么对于$y=bx+a$，此时$b＞0$、$a＞0$，其图象应过第一、三象限，但选项C中另一条直线过第二、四象限，矛盾，排除C。
4. 分析选项D：
对于$y=ax+b$，其图象过第二、四象限，故斜率$a＜0$；图象与$y$轴交于负半轴，故截距$b＜0$。
那么对于$y=bx+a$，此时$b＜0$、$a＜0$，其图象应过第二、四象限，且与$y$轴交于负半轴，但选项D中另一条直线与$y$轴交于正半轴，矛盾，排除D。
综上，只有选项B符合条件。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图像与性质
【点评】
本题考查一次函数图象的性质，核心是利用斜率和截距的符号判断直线特征，通过逻辑推理逐一验证选项即可，难度适中。
【难度系数】
0.6
要判断两个一次函数$y=ax+b$和$y=bx+a$的图象是否正确，需利用一次函数$y=kx+c$的性质：斜率$k$决定直线倾斜方向（$k＞0$时直线过第一、三象限，$k＜0$时过第二、四象限），截距$c$决定直线与$y$轴交点位置（$c＞0$时交$y$轴正半轴，$c＜0$时交负半轴）。我们可先假设其中一个函数的$a$、$b$符号，再验证另一个函数是否匹配，逐一分析选项即可得出答案。
【解析】
1. 分析选项A：
对于$y=ax+b$，其图象过第一、三象限，故斜率$a＞0$；图象与$y$轴交于正半轴，故截距$b＞0$。
那么对于$y=bx+a$，此时$b＞0$、$a＞0$，其图象应过第一、三象限，但选项A中另一条直线过第二、四象限，矛盾，排除A。
2. 分析选项B：
对于$y=ax+b$，其图象过第一、三象限，故斜率$a＞0$；图象与$y$轴交于负半轴，故截距$b＜0$。
那么对于$y=bx+a$，此时$b＜0$、$a＞0$，其图象应过第二、四象限，且与$y$轴交于正半轴，与选项B中另一条直线的特征一致，符合要求。
3. 分析选项C：
对于$y=ax+b$，其图象过第一、三象限，故斜率$a＞0$；图象与$y$轴交于正半轴，故截距$b＞0$。
那么对于$y=bx+a$，此时$b＞0$、$a＞0$，其图象应过第一、三象限，但选项C中另一条直线过第二、四象限，矛盾，排除C。
4. 分析选项D：
对于$y=ax+b$，其图象过第二、四象限，故斜率$a＜0$；图象与$y$轴交于负半轴，故截距$b＜0$。
那么对于$y=bx+a$，此时$b＜0$、$a＜0$，其图象应过第二、四象限，且与$y$轴交于负半轴，但选项D中另一条直线与$y$轴交于正半轴，矛盾，排除D。
综上，只有选项B符合条件。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图像与性质
【点评】
本题考查一次函数图象的性质，核心是利用斜率和截距的符号判断直线特征，通过逻辑推理逐一验证选项即可，难度适中。
【难度系数】
0.6
11. 化简：$\sqrt{(-3)^2}=$
3
.答案
解：$\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} =3$，
故答案为：3。
故答案为：3。
解析
【分析】
要化简$\sqrt{(-3)^2}$，可利用二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数），也可先计算被开方数的乘方，再求算术平方根。先计算$(-3)^2$的结果，再对该结果开平方即可得到答案。
【解析】
根据二次根式的化简规则：
$\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$
【答案】
3
【知识点】
二次根式的性质、有理数的乘方
【点评】
本题是基础题型，考查二次根式的化简，需注意算术平方根的结果为非负数，属于学生必须掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.9
要化简$\sqrt{(-3)^2}$，可利用二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数），也可先计算被开方数的乘方，再求算术平方根。先计算$(-3)^2$的结果，再对该结果开平方即可得到答案。
【解析】
根据二次根式的化简规则：
$\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$
【答案】
3
【知识点】
二次根式的性质、有理数的乘方
【点评】
本题是基础题型，考查二次根式的化简，需注意算术平方根的结果为非负数，属于学生必须掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.9
12. 直线$y=3x-1$是由$y=3x+5$沿$y$轴向下平移________个单位得到的.
答案
解：$\because$直线$y=3x+5$向下平移6个单位得到直线$y=3x - 1$，
$\therefore$直线$y=3x - 1$是由$y=3x+5$沿$y$轴向下平移6个单位得到的。
故答案为：6。
$\therefore$直线$y=3x - 1$是由$y=3x+5$沿$y$轴向下平移6个单位得到的。
故答案为：6。
解析
【分析】要解决本题，需掌握一次函数沿y轴平移的规律：对于直线$y=kx+b$，沿y轴向下平移$m$个单位后，解析式变为$y=kx+b - m$；向上平移则为$y=kx+b + m$。本题中两条直线的$k$值相同，只需对比常数项的变化即可算出平移单位数：原直线$y=3x+5$的常数项是5，目标直线$y=3x-1$的常数项是-1，常数项减少了6，说明是沿y轴向下平移了6个单位。
【解析】根据一次函数图象沿y轴平移的规律：直线$y=kx+b$沿y轴向下平移$m$个单位，所得直线解析式为$y=kx+b - m$。已知原直线为$y=3x+5$，平移后得到直线$y=3x-1$，对比常数项：原常数项为5，平移后常数项为-1，常数项的变化量为$5 - (-1)=6$，即向下平移了6个单位，因此直线$y=3x-1$是由$y=3x+5$沿y轴向下平移6个单位得到的。
【答案】6
【知识点】一次函数的平移
【点评】本题考查一次函数图象的平移，核心是掌握“上加下减”的平移法则，属于基础题型，计算简单，易于理解。
【难度系数】0.8
【解析】根据一次函数图象沿y轴平移的规律：直线$y=kx+b$沿y轴向下平移$m$个单位，所得直线解析式为$y=kx+b - m$。已知原直线为$y=3x+5$，平移后得到直线$y=3x-1$，对比常数项：原常数项为5，平移后常数项为-1，常数项的变化量为$5 - (-1)=6$，即向下平移了6个单位，因此直线$y=3x-1$是由$y=3x+5$沿y轴向下平移6个单位得到的。
【答案】6
【知识点】一次函数的平移
【点评】本题考查一次函数图象的平移，核心是掌握“上加下减”的平移法则，属于基础题型，计算简单，易于理解。
【难度系数】0.8
13. 若关于$x$的一元二次方程$2x^2 - x + m = 0$有两个相等的实数根，则$m$的值为________.
答案
解：根据题意得：
$\Delta =1 - 4×2m=0$，
整理得：$1 - 8m=0$，
解得：$m=\frac{1}{8}$，
故答案为：$\frac{1}{8}$。
$\Delta =1 - 4×2m=0$，
整理得：$1 - 8m=0$，
解得：$m=\frac{1}{8}$，
故答案为：$\frac{1}{8}$。
解析
【分析】首先明确：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。本题中方程是一元二次方程且有两个相等实数根，只需确定方程中$a、b、c$的值，代入判别式等于0的等式，解关于$m$的方程即可得到结果。
【解析】解：因为关于$x$的一元二次方程$2x^2 - x + m = 0$有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = 0$。
在方程$2x^2 - x + m = 0$中，$a=2$，$b=-1$，$c=m$，代入判别式公式得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×2×m = 1 - 8m$
令$\Delta = 0$，即$1 - 8m = 0$，
解得：$m = \frac{1}{8}$。
【答案】$\frac{1}{8}$
【知识点】一元二次方程根的判别式，一元一次方程的解法
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，核心是掌握“有两个相等实数根则判别式为0”的结论，属于一元二次方程章节的基础题型，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
【解析】解：因为关于$x$的一元二次方程$2x^2 - x + m = 0$有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = 0$。
在方程$2x^2 - x + m = 0$中，$a=2$，$b=-1$，$c=m$，代入判别式公式得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×2×m = 1 - 8m$
令$\Delta = 0$，即$1 - 8m = 0$，
解得：$m = \frac{1}{8}$。
【答案】$\frac{1}{8}$
【知识点】一元二次方程根的判别式，一元一次方程的解法
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，核心是掌握“有两个相等实数根则判别式为0”的结论，属于一元二次方程章节的基础题型，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
14. 某公司欲招聘一名公关人员，对应试者进行了面试与笔试，甲的成绩（百分制）如表所示：
如果公司认为作为公关人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，则甲的分数是________.
如果公司认为作为公关人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，则甲的分数是________.
答案
解：甲的分数是$\frac{85×6+90×4}{6+4}=87$（分），
故答案为：87分。
故答案为：87分。
解析
【分析】
要计算甲的最终分数，需根据题目赋予面试成绩和笔试成绩的权（6和4），运用加权平均数的计算规则：加权平均数等于各数据与对应权的乘积之和，除以权的总和，即可求出结果。
【解析】
根据加权平均数的计算公式，甲的分数为：
$\frac{85 × 6 + 90 × 4}{6 + 4} = \frac{510 + 360}{10} = \frac{870}{10} = 87 \mathrm{（分）}$
【答案】
87分
【知识点】
加权平均数
【点评】
本题考查加权平均数的实际应用，属于基础题型，核心是掌握加权平均数的计算方法，明确各成绩对应的权值，代入公式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.7
要计算甲的最终分数，需根据题目赋予面试成绩和笔试成绩的权（6和4），运用加权平均数的计算规则：加权平均数等于各数据与对应权的乘积之和，除以权的总和，即可求出结果。
【解析】
根据加权平均数的计算公式，甲的分数为：
$\frac{85 × 6 + 90 × 4}{6 + 4} = \frac{510 + 360}{10} = \frac{870}{10} = 87 \mathrm{（分）}$
【答案】
87分
【知识点】
加权平均数
【点评】
本题考查加权平均数的实际应用，属于基础题型，核心是掌握加权平均数的计算方法，明确各成绩对应的权值，代入公式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.7
15. 如图，点E是正方形ABCD外一点，且$ED=CD$，连接AE，交BD于点F. 若$∠CDE=38°$，则$∠BFC$的度数是________.
答案
解：$\because$四边形ABCD是正方形，
$\therefore AD=CD$，$∠ ADC=90°$ ，$∠ ADF=∠ CDF=45°$，
$\because ∠ CDE=38°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ ADC+∠ CDE=128°$，
$\because ED=CD$，
$\therefore ED=AD$，
$\therefore △ ADE$是等腰三角形，
$\therefore ∠ DAF=\frac{1}{2}（180° - ∠ ADE）=\frac{1}{2}×（180° - 128°）=26°$，
在$△ ADF$和$△ CDF$中，
$\begin{cases} AD = CD \\ ∠ ADF = ∠ CDF \\ DF = DF \end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ CDF$（SAS），
$\therefore ∠ DAF=∠ DCF=26°$，
$\because ∠ BFC$是$△ DCF$的外角，
$\therefore ∠ BFC=∠ DCF+∠ CDF=26° +45° =71°$。
故答案为：$71°$。
$\therefore AD=CD$，$∠ ADC=90°$ ，$∠ ADF=∠ CDF=45°$，
$\because ∠ CDE=38°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ ADC+∠ CDE=128°$，
$\because ED=CD$，
$\therefore ED=AD$，
$\therefore △ ADE$是等腰三角形，
$\therefore ∠ DAF=\frac{1}{2}（180° - ∠ ADE）=\frac{1}{2}×（180° - 128°）=26°$，
在$△ ADF$和$△ CDF$中，
$\begin{cases} AD = CD \\ ∠ ADF = ∠ CDF \\ DF = DF \end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ CDF$（SAS），
$\therefore ∠ DAF=∠ DCF=26°$，
$\because ∠ BFC$是$△ DCF$的外角，
$\therefore ∠ BFC=∠ DCF+∠ CDF=26° +45° =71°$。
故答案为：$71°$。
解析
【分析】
要解决这个问题，需逐步利用正方形、等腰三角形、全等三角形及三角形外角的性质推导：首先根据正方形性质得到边和角的关系，结合已知条件推出等腰三角形，证明三角形全等得到对应角相等，最后利用外角性质计算目标角的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，∠ADF=∠CDF=45°（正方形四条边相等，对角线平分一组对角），
∵∠CDE=38°，
∴∠ADE=∠ADC + ∠CDE = 90° + 38° = 128°，
又
∵ED=CD，
∴ED=AD，即△ADE为等腰三角形，
∴∠DAF = $\frac{1}{2}(180° - ∠ADE)$ = $\frac{1}{2}×(180° - 128°)$ = 26°，
在△ADF和△CDF中：
$\begin{cases} AD = CD \\ ∠ADF = ∠CDF \\ DF = DF \end{cases}$
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DCF = ∠DAF = 26°，
∵∠BFC是△DCF的外角，根据三角形外角性质：外角等于不相邻两内角之和，
∴∠BFC = ∠DCF + ∠CDF = 26° + 45° = 71°。
【答案】
71°
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定；三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查几何核心知识点，需逐步推导各角关系，逻辑清晰，是中等难度的几何计算题，能考查学生的推理能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需逐步利用正方形、等腰三角形、全等三角形及三角形外角的性质推导：首先根据正方形性质得到边和角的关系，结合已知条件推出等腰三角形，证明三角形全等得到对应角相等，最后利用外角性质计算目标角的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，∠ADF=∠CDF=45°（正方形四条边相等，对角线平分一组对角），
∵∠CDE=38°，
∴∠ADE=∠ADC + ∠CDE = 90° + 38° = 128°，
又
∵ED=CD，
∴ED=AD，即△ADE为等腰三角形，
∴∠DAF = $\frac{1}{2}(180° - ∠ADE)$ = $\frac{1}{2}×(180° - 128°)$ = 26°，
在△ADF和△CDF中：
$\begin{cases} AD = CD \\ ∠ADF = ∠CDF \\ DF = DF \end{cases}$
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DCF = ∠DAF = 26°，
∵∠BFC是△DCF的外角，根据三角形外角性质：外角等于不相邻两内角之和，
∴∠BFC = ∠DCF + ∠CDF = 26° + 45° = 71°。
【答案】
71°
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定；三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查几何核心知识点，需逐步推导各角关系，逻辑清晰，是中等难度的几何计算题，能考查学生的推理能力。
【难度系数】
0.6
16. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，之后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图.则在第
3或16
分钟时，容器内的水量是15L.答案
解：进水速度为$20÷4=5$（L/min），
出水速度为$5 - （30 - 20）÷（12 - 4）=3.75$（L/min），
当$0≤ x≤4$时，$y$与$x$之间的函数关系式为$y=5x$，
当$y=15$时，得$5x=15$，
解得$x=3$，
$30÷3.75=8$（min），
$12+8=20$（min），
当$12≤ x≤20$时，$y$与$x$之间的函数关系式为$y=30 - 3.75（x - 12）= - 3.75x+75$，
当$y=15$时，得$ - 3.75x+75=15$，
解得$x=16$，
$\therefore$在第3分钟或第16分钟时，容器内的水量是15L。
故答案为：3或16。
出水速度为$5 - （30 - 20）÷（12 - 4）=3.75$（L/min），
当$0≤ x≤4$时，$y$与$x$之间的函数关系式为$y=5x$，
当$y=15$时，得$5x=15$，
解得$x=3$，
$30÷3.75=8$（min），
$12+8=20$（min），
当$12≤ x≤20$时，$y$与$x$之间的函数关系式为$y=30 - 3.75（x - 12）= - 3.75x+75$，
当$y=15$时，得$ - 3.75x+75=15$，
解得$x=16$，
$\therefore$在第3分钟或第16分钟时，容器内的水量是15L。
故答案为：3或16。
解析
【分析】
要解决这个问题，需分阶段分析容器的进水、出水情况，先计算进水速度和出水速度，再分别求出不同时间段内水量与时间的函数关系式，最后令$y=15$，求解对应的$x$值，注意水量15L可能出现在两个不同的时间段，需全面考虑。
【解析】
1. 计算进水速度：0~4min只进水，水量从0到20L，因此进水速度为 $20÷4=5\ \mathrm{L/min}$。
2. 计算出水速度：4~12min既进水又出水，时间间隔为 $12-4=8\ \mathrm{min}$，水量从20L增加到30L，净进水量为 $30-20=10\ \mathrm{L}$，则净进水速度为 $10÷8=1.25\ \mathrm{L/min}$，因此出水速度为 $5 - 1.25=3.75\ \mathrm{L/min}$。
3. 分阶段求函数关系式：
当 $0≤ x≤4$ 时，水量随时间匀速增加，函数为 $y=5x$；
当 $4＜x≤12$ 时，函数为 $y=20 + 1.25(x-4)$，此时水量范围是20~30L，无15L的情况；
当 $12＜x≤20$ 时（出水时间：$30÷3.75=8\ \mathrm{min}$，总时间 $12+8=20\ \mathrm{min}$），水量匀速减少，函数为 $y=30 - 3.75(x-12)= -3.75x +75$。
4. 求解$y=15$时的$x$：
在 $0≤ x≤4$ 中，令 $5x=15$，解得 $x=3$；
在 $12＜x≤20$ 中，令 $-3.75x +75=15$，解得 $x=16$。
【答案】
3或16
【知识点】
一次函数应用，分段函数
【点评】
本题结合实际容器的进出水问题，考查分段一次函数的应用，需准确分析各阶段的水量变化规律，计算进出水速度，分阶段求解函数并解方程，注意避免漏解，是中等难度的实际应用题型。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需分阶段分析容器的进水、出水情况，先计算进水速度和出水速度，再分别求出不同时间段内水量与时间的函数关系式，最后令$y=15$，求解对应的$x$值，注意水量15L可能出现在两个不同的时间段，需全面考虑。
【解析】
1. 计算进水速度：0~4min只进水，水量从0到20L，因此进水速度为 $20÷4=5\ \mathrm{L/min}$。
2. 计算出水速度：4~12min既进水又出水，时间间隔为 $12-4=8\ \mathrm{min}$，水量从20L增加到30L，净进水量为 $30-20=10\ \mathrm{L}$，则净进水速度为 $10÷8=1.25\ \mathrm{L/min}$，因此出水速度为 $5 - 1.25=3.75\ \mathrm{L/min}$。
3. 分阶段求函数关系式：
当 $0≤ x≤4$ 时，水量随时间匀速增加，函数为 $y=5x$；
当 $4＜x≤12$ 时，函数为 $y=20 + 1.25(x-4)$，此时水量范围是20~30L，无15L的情况；
当 $12＜x≤20$ 时（出水时间：$30÷3.75=8\ \mathrm{min}$，总时间 $12+8=20\ \mathrm{min}$），水量匀速减少，函数为 $y=30 - 3.75(x-12)= -3.75x +75$。
4. 求解$y=15$时的$x$：
在 $0≤ x≤4$ 中，令 $5x=15$，解得 $x=3$；
在 $12＜x≤20$ 中，令 $-3.75x +75=15$，解得 $x=16$。
【答案】
3或16
【知识点】
一次函数应用，分段函数
【点评】
本题结合实际容器的进出水问题，考查分段一次函数的应用，需准确分析各阶段的水量变化规律，计算进出水速度，分阶段求解函数并解方程，注意避免漏解，是中等难度的实际应用题型。
【难度系数】
0.5
