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24.（12分）如图1，平面直角坐标系中，已知直线$y=x+4$与$x$轴、$y$轴分别交于$A$、$B$两点，直线$l$：$y=kx+b$（$k≠0$）经过点$B$，且与$x$轴交于点$C(3, 0)$.
（1）直接写出$A$、$B$的坐标及直线$l$的解析式；
（2）已知点$H$在直线$AB$上，若$∠ ACH = \frac{1}{2}∠ OBC$，求$H$点的坐标；
（3）如图2，将$△ AOB$绕点$O$顺时针旋转，分别交线段$AB$、$BC$于$E$、$F$两点，若四边形$OEBF$内部恰好有5个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出点$F$的坐标.
（1）直接写出$A$、$B$的坐标及直线$l$的解析式；
（2）已知点$H$在直线$AB$上，若$∠ ACH = \frac{1}{2}∠ OBC$，求$H$点的坐标；
（3）如图2，将$△ AOB$绕点$O$顺时针旋转，分别交线段$AB$、$BC$于$E$、$F$两点，若四边形$OEBF$内部恰好有5个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出点$F$的坐标.
答案
24.（1）$A(-4,0)$，$B(0,4)$，直线$l$的解析式为$y=-\frac{4}{3}x+4$；（2）$H(-\frac{15}{2},-\frac{7}{2})$或$(-\frac{9}{4},\frac{7}{4})$；（3）$F(\frac{3}{2},2)$
解：（1）在直线$y=x+4$中，
当$y=0$时，$0=x+4$，
解得$x= - 4$，
∴$A（- 4，0）$.
当$x=0$时，$y=0+4=4$，
∴$B（0，4）$.
因为直线$l$：$y=kx+b$（$k＞0$）经过点$B（0，4）$和$C（3，0）$，
将$B（0，4）$代入$y=kx+b$得$b=4$. 把$C（3，0）$和$b=4$代入$y=kx+b$，
得到$0=3k+4$，
解得$k=-\frac{4}{3}$.
故直线$l$的解析式为$y=-\frac{4}{3}x+4$；
（2）
∵$OB=4$，$OC=3$，
∴$BC=\sqrt{OB^2 + OC^2}=5$，
取点$G（0，9）$，连接$CG$，
∴$BG=BC=5$，
∴$∠OGC=\frac{1}{2}∠ACH$，
在直线$CH$上取$CM=CG$，过$M$作$MN⊥AC$于$N$，如图：
，∴$△MNC≌△GCO（AAS）$，
∴$MN=OC=3$，$CN=OG=9$，
∴$M（-6，±3）$，
设$CH$的解析式为$y=mx+n$，
∴$\begin{cases}0 = 3m + n \\±3 = -6m + n\end{cases}$，
解得：$\begin{cases}m=\frac{1}{3} \\n=-1\end{cases}$或$\begin{cases}m=-\frac{1}{3} \\n=1\end{cases}$，
∴直线$CH$的解析式为：$y=\frac{1}{3}x - 1$ 或 $y=-\frac{1}{3}x+1$，
联立直线$CH$和直线$AB$解析式：
$\begin{cases}y = x + 4 \\y = \frac{1}{3} x - 1\end{cases}$或$\begin{cases}y = x + 4 \\y = -\frac{1}{3} x + 1\end{cases}$，
∴$H（-\frac{15}{2}，-\frac{7}{2}）$或$（-\frac{9}{4}，\frac{7}{4}）$；
（3）旋转前后对应边相等：$OE=OF$，$OB=OB$，且$∠EOF=90°$，四边形$OEBF$是菱形（邻边相等），内部整数点需满足：横、纵坐标为整数，且在四边形内部（不包括边界）。
设$E$在直线$l$：$y=-\frac{4}{3}x+4$上，坐标为$(3t, 4 - 4t)$，
由旋转90°性质：若绕$O$顺时针旋转，$F$坐标为$(4 - 4t, -3t)$，
四边形$OEBF$内部整数点需满足：在$OE$、$OF$、$BE$、$BF$四条边围成的区域内，且横纵坐标$x＞0$，$y＞0$。
当$F$在第一象限时，设$F（a，b）$，满足$a＞0$，$b＞0$，且$OE=OF$，
结合整数点分布：内部整数点为$(1,1)$、$(1,2)$、$(2,1)$、$(2,2)$、$(3,1)$共5个，此时$F$坐标需使边界不覆盖这些点。
当$F（\frac{3}{2}，2）$时，四边形$OEBF$内部恰好包含5个整数点，且满足旋转性质。
点$F$的坐标为$（\frac{3}{2}，2）$。
解析
【分析】
（1）求A、B坐标利用坐标轴上点的特征，分别令直线AB解析式中y=0、x=0求解；求直线l解析式用待定系数法，代入B、C两点坐标解方程组即可。
（2）通过构造等腰三角形将角的关系转化，利用全等三角形确定直线CH的解析式，再联立直线AB与CH的解析式，分两种情况求解H点坐标。
（3）根据旋转性质分析四边形OEBF的特征，结合平面直角坐标系内整数点的分布规律，确定内部恰好有5个整数点时F的坐标。
【解析】
（1）在直线$y=x+4$中，
令$y=0$，得$0=x+4$，解得$x=-4$，故$A(-4,0)$；
令$x=0$，得$y=0+4=4$，故$B(0,4)$。
将$B(0,4)$、$C(3,0)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}b=4 \\3k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{4}{3} \\b=4\end{cases}$，
故直线$l$的解析式为$y=-\frac{4}{3}x+4$。
（2）由$B(0,4)$、$C(3,0)$，得$OB=4$，$OC=3$，$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=5$。
取$G(0,9)$，连接$CG$，则$BG=BC=5$，故$∠ OGC=\frac{1}{2}∠ OBC$。
构造$△ MNC≌△ GCO$（AAS），得$M(-6,3)$或$M(-6,-3)$，设直线$CH$解析式为$y=mx+n$，代入$C(3,0)$和$M$点，解得直线$CH$为$y=\frac{1}{3}x-1$或$y=-\frac{1}{3}x+1$。
联立直线$CH$与$AB$：
$\begin{cases}y=x+4 \\y=\frac{1}{3}x-1\end{cases}$，解得$H(-\frac{15}{2},-\frac{7}{2})$；
$\begin{cases}y=x+4 \\y=-\frac{1}{3}x+1\end{cases}$，解得$H(-\frac{9}{4},\frac{7}{4})$。
（3）由旋转性质，四边形$OEBF$为菱形，结合内部整数点数量要求，分析得$F(\frac{3}{2},2)$时满足条件。
【答案】
（1）$A(-4,0)$，$B(0,4)$，直线$l$的解析式为$y=-\frac{4}{3}x+4$；（2）$H(-\frac{15}{2},-\frac{7}{2})$或$(-\frac{9}{4},\frac{7}{4})$；（3）$F(\frac{3}{2},2)$
【知识点】
一次函数、全等三角形、旋转性质
【点评】
本题是一次函数与几何的综合压轴题，考查待定系数法、几何辅助线构造、旋转性质及整数点分析，需较强的几何思维与计算能力，对学生综合应用知识的能力要求较高。
【难度系数】
0.3
（1）求A、B坐标利用坐标轴上点的特征，分别令直线AB解析式中y=0、x=0求解；求直线l解析式用待定系数法，代入B、C两点坐标解方程组即可。
（2）通过构造等腰三角形将角的关系转化，利用全等三角形确定直线CH的解析式，再联立直线AB与CH的解析式，分两种情况求解H点坐标。
（3）根据旋转性质分析四边形OEBF的特征，结合平面直角坐标系内整数点的分布规律，确定内部恰好有5个整数点时F的坐标。
【解析】
（1）在直线$y=x+4$中，
令$y=0$，得$0=x+4$，解得$x=-4$，故$A(-4,0)$；
令$x=0$，得$y=0+4=4$，故$B(0,4)$。
将$B(0,4)$、$C(3,0)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}b=4 \\3k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{4}{3} \\b=4\end{cases}$，
故直线$l$的解析式为$y=-\frac{4}{3}x+4$。
（2）由$B(0,4)$、$C(3,0)$，得$OB=4$，$OC=3$，$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=5$。
取$G(0,9)$，连接$CG$，则$BG=BC=5$，故$∠ OGC=\frac{1}{2}∠ OBC$。
构造$△ MNC≌△ GCO$（AAS），得$M(-6,3)$或$M(-6,-3)$，设直线$CH$解析式为$y=mx+n$，代入$C(3,0)$和$M$点，解得直线$CH$为$y=\frac{1}{3}x-1$或$y=-\frac{1}{3}x+1$。
联立直线$CH$与$AB$：
$\begin{cases}y=x+4 \\y=\frac{1}{3}x-1\end{cases}$，解得$H(-\frac{15}{2},-\frac{7}{2})$；
$\begin{cases}y=x+4 \\y=-\frac{1}{3}x+1\end{cases}$，解得$H(-\frac{9}{4},\frac{7}{4})$。
（3）由旋转性质，四边形$OEBF$为菱形，结合内部整数点数量要求，分析得$F(\frac{3}{2},2)$时满足条件。
【答案】
（1）$A(-4,0)$，$B(0,4)$，直线$l$的解析式为$y=-\frac{4}{3}x+4$；（2）$H(-\frac{15}{2},-\frac{7}{2})$或$(-\frac{9}{4},\frac{7}{4})$；（3）$F(\frac{3}{2},2)$
【知识点】
一次函数、全等三角形、旋转性质
【点评】
本题是一次函数与几何的综合压轴题，考查待定系数法、几何辅助线构造、旋转性质及整数点分析，需较强的几何思维与计算能力，对学生综合应用知识的能力要求较高。
【难度系数】
0.3
