登录
1. 若代数式$\sqrt{x - 2}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是（
A.$x＜2$
B.$x＞2$
C.$x≥2$
D.$x≤2$
C
）A.$x＜2$
B.$x＞2$
C.$x≥2$
D.$x≤2$
答案
解：依题意得 x - 2≥0，解得$x≥2$，故选：C。
解析
【分析】首先回忆二次根式在实数范围内有意义的条件：被开方数必须为非负数（即大于等于0），据此列出关于x的不等式，解不等式后对照选项即可得出正确答案。
【解析】根据二次根式有意义的条件，被开方数$x - 2$需满足非负性，因此列不等式：$x - 2 ≥ 0$，解这个不等式得：$x ≥ 2$，对应选项为C。
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】本题考查二次根式有意义的基础知识点，难度较低，只要牢记被开方数为非负数的规则即可轻松解答，属于基础送分题。
【难度系数】0.9
【解析】根据二次根式有意义的条件，被开方数$x - 2$需满足非负性，因此列不等式：$x - 2 ≥ 0$，解这个不等式得：$x ≥ 2$，对应选项为C。
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】本题考查二次根式有意义的基础知识点，难度较低，只要牢记被开方数为非负数的规则即可轻松解答，属于基础送分题。
【难度系数】0.9
2. 以下列各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（
A.2、3、4
B.1、1、$\sqrt{3}$
C.5、12、13
D.9、12、20
C
）A.2、3、4
B.1、1、$\sqrt{3}$
C.5、12、13
D.9、12、20
答案
解：A、$2^2+3^2≠4^2$，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、$1^2+1^2≠(\sqrt{3})^2$，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、$5^2+12^2=13^2$，能构成直角三角形，符合题意；
D、$9^2+12^2≠20^2$，不能构成直角三角形，不符合题意。
故选：C。
B、$1^2+1^2≠(\sqrt{3})^2$，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、$5^2+12^2=13^2$，能构成直角三角形，符合题意；
D、$9^2+12^2≠20^2$，不能构成直角三角形，不符合题意。
故选：C。
解析
【分析】
要判断给定的三边能否构成直角三角形，需依据勾股定理的逆定理：若三角形的三边长中，较小两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时只需对每个选项，先确定最长边，再计算较小两边的平方和，与最长边的平方对比，相等则符合要求，否则不符合。
【解析】
对各选项逐一验证：
A选项：最长边为4，计算得$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能构成直角三角形；
B选项：最长边为$\sqrt{3}$，计算得$1^2+1^2=1+1=2$，$(\sqrt{3})^2=3$，$2≠3$，不能构成直角三角形；
C选项：最长边为13，计算得$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，$169=169$，能构成直角三角形；
D选项：最长边为20，计算得$9^2+12^2=81+144=225$，$20^2=400$，$225≠400$，不能构成直角三角形；
综上，符合条件的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查勾股定理逆定理的基础应用，解题关键是准确计算各边平方并对比，属于难度较低的基础题，适合巩固三角形的相关判定知识。
【难度系数】
0.8
要判断给定的三边能否构成直角三角形，需依据勾股定理的逆定理：若三角形的三边长中，较小两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时只需对每个选项，先确定最长边，再计算较小两边的平方和，与最长边的平方对比，相等则符合要求，否则不符合。
【解析】
对各选项逐一验证：
A选项：最长边为4，计算得$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能构成直角三角形；
B选项：最长边为$\sqrt{3}$，计算得$1^2+1^2=1+1=2$，$(\sqrt{3})^2=3$，$2≠3$，不能构成直角三角形；
C选项：最长边为13，计算得$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，$169=169$，能构成直角三角形；
D选项：最长边为20，计算得$9^2+12^2=81+144=225$，$20^2=400$，$225≠400$，不能构成直角三角形；
综上，符合条件的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查勾股定理逆定理的基础应用，解题关键是准确计算各边平方并对比，属于难度较低的基础题，适合巩固三角形的相关判定知识。
【难度系数】
0.8
4. 某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双学生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售量如表，则这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是（
A.26
B.25.5
C.24.5
D.25
D
）A.26
B.25.5
C.24.5
D.25
答案
解：由表知，这组数据中25出现次数最多，有10次，所以这组数据的众数为25。
故选：D。
故选：D。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即为这组数据的众数。我们只需从表格中找到对应尺码出现次数（销售量）最多的数值，就能确定众数。
【解析】
观察表格数据，各尺码对应的销售量（即该尺码出现的次数）分别为：尺码24对应1次，24.5对应3次，25对应10次，25.5对应4次，26对应2次。其中尺码25出现的次数最多（10次），根据众数的定义，这组数据的众数是25，因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
众数的概念；统计量的应用
【点评】
本题考查众数的基础定义，属于统计部分的基础题型，只需掌握众数的核心概念即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需明确众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即为这组数据的众数。我们只需从表格中找到对应尺码出现次数（销售量）最多的数值，就能确定众数。
【解析】
观察表格数据，各尺码对应的销售量（即该尺码出现的次数）分别为：尺码24对应1次，24.5对应3次，25对应10次，25.5对应4次，26对应2次。其中尺码25出现的次数最多（10次），根据众数的定义，这组数据的众数是25，因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
众数的概念；统计量的应用
【点评】
本题考查众数的基础定义，属于统计部分的基础题型，只需掌握众数的核心概念即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.8
5. 如图，$□ ABCD$中，E为AD上一点，BE平分$∠ ABC$，若$AB=4$，$BC=6$，则DE的长为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AB=BC=6$，
∴$∠AEB=∠EBC$，
∵BE平分$∠ABC$，
∴$∠ABE=∠EBC=∠AEB$，
∴$AB=AE=4$，
∴$DE=AD - AE=6 - 4=2$。
故选：B。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AB=BC=6$，
∴$∠AEB=∠EBC$，
∵BE平分$∠ABC$，
∴$∠ABE=∠EBC=∠AEB$，
∴$AB=AE=4$，
∴$DE=AD - AE=6 - 4=2$。
故选：B。
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行四边形的性质和角平分线的性质推导：首先利用平行四边形对边平行且相等，得到AD与BC的关系；再结合角平分线定义和平行线的内错角相等，推出等腰三角形，得到AE的长度；最后用AD的长度减去AE的长度，即可求出DE的长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=6（平行四边形对边平行且相等），
∴∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=4（等角对等边），
∴DE=AD - AE=6 - 4=2。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形性质、角平分线定义、等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查平行四边形与角平分线的相关知识，通过等角对等边转化线段长度，是几何基础题型，侧重知识的综合应用。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合平行四边形的性质和角平分线的性质推导：首先利用平行四边形对边平行且相等，得到AD与BC的关系；再结合角平分线定义和平行线的内错角相等，推出等腰三角形，得到AE的长度；最后用AD的长度减去AE的长度，即可求出DE的长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=6（平行四边形对边平行且相等），
∴∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=4（等角对等边），
∴DE=AD - AE=6 - 4=2。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形性质、角平分线定义、等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查平行四边形与角平分线的相关知识，通过等角对等边转化线段长度，是几何基础题型，侧重知识的综合应用。
【难度系数】
0.6
6. 若一次函数$y=mx+1$（$m$为常数，$m≠0$）的图象从左向右下降，则函数$y=-mx$的图象经过（
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、二象限
D.第三、四象限
A
）A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、二象限
D.第三、四象限
答案
解：
∵一次函数$y=mx+1$（$m$为常数，$m≠0$）的图象从左向右下降，
∴$m＜0$，
∴$-m＞0$，
∴函数$y=-mx$的图象经过第一、三象限，
故选：A。
∵一次函数$y=mx+1$（$m$为常数，$m≠0$）的图象从左向右下降，
∴$m＜0$，
∴$-m＞0$，
∴函数$y=-mx$的图象经过第一、三象限，
故选：A。
解析
【分析】首先，根据一次函数的增减性确定系数$m$的符号，再结合正比例函数的系数与图象象限的关系判断函数$y=-mx$经过的象限。具体思路：一次函数$y=kx+b(k≠0)$中，$k$决定图象增减性，$k＜0$时图象从左向右下降，由此得出$m＜0$；函数$y=-mx$是正比例函数，正比例函数$y=kx$的图象，$k＞0$时过第一、三象限，$k＜0$时过第二、四象限，结合$-m$的符号即可判断。
【解析】
∵一次函数$y=mx+1(m≠0)$的图象从左向右下降，
∴根据一次函数性质，斜率$m＜0$，
∴$-m＞0$。
函数$y=-mx$是正比例函数，其系数为$-m＞0$，根据正比例函数图象性质，当系数大于0时，图象经过第一、三象限，故选A。
【答案】A
【知识点】一次函数的图象性质；正比例函数的图象性质
【点评】本题考查一次函数与正比例函数的图象性质，属于基础题型，核心是掌握函数系数与图象位置的对应关系，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】
∵一次函数$y=mx+1(m≠0)$的图象从左向右下降，
∴根据一次函数性质，斜率$m＜0$，
∴$-m＞0$。
函数$y=-mx$是正比例函数，其系数为$-m＞0$，根据正比例函数图象性质，当系数大于0时，图象经过第一、三象限，故选A。
【答案】A
【知识点】一次函数的图象性质；正比例函数的图象性质
【点评】本题考查一次函数与正比例函数的图象性质，属于基础题型，核心是掌握函数系数与图象位置的对应关系，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】0.7
7. 已知四边形ABCD是平行四边形，增加下列条件，能判定四边形ABCD是正方形的是（
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线相等且互相垂直
D.对角线平分一组对角
C
）A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线相等且互相垂直
D.对角线平分一组对角
答案
解：对于选项A，
∴对角线相等的行四边形是矩形，
∴增加该选项中的条件，不能判定四边形ABCD是正方形，
故该选项不符合题意；
对于选项B，
∵对角线互相垂直的行四边形是菱形，
∴增加该选项中的条件，不能判定四边形ABCD是正方形，
故该选项不符合题意；
对于选项C，
∵对角线相等且互相垂直的行四边形是正方形，
∴增加该选项中的条件，能判定四边形ABCD是正方形，
故该选项符合题意；
对于选项D，
∵对角线平分一组对角的行四边形是菱形，
∴增加该选项中的条件，不能判定四边形ABCD是正方形，
故该选项不符合题意，
故选：C。
∴对角线相等的行四边形是矩形，
∴增加该选项中的条件，不能判定四边形ABCD是正方形，
故该选项不符合题意；
对于选项B，
∵对角线互相垂直的行四边形是菱形，
∴增加该选项中的条件，不能判定四边形ABCD是正方形，
故该选项不符合题意；
对于选项C，
∵对角线相等且互相垂直的行四边形是正方形，
∴增加该选项中的条件，能判定四边形ABCD是正方形，
故该选项符合题意；
对于选项D，
∵对角线平分一组对角的行四边形是菱形，
∴增加该选项中的条件，不能判定四边形ABCD是正方形，
故该选项不符合题意，
故选：C。
解析
【分析】
要判定平行四边形ABCD是正方形，需结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理分析：正方形是特殊的矩形（对角线相等）和特殊的菱形（对角线垂直），因此平行四边形需同时满足矩形和菱形的判定条件，或直接满足正方形的判定定理。逐个分析选项，判断每个条件能否使平行四边形成为正方形。
【解析】
对于选项A：平行四边形的对角线相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，仅为矩形，不能判定为正方形，故A不符合题意；
对于选项B：平行四边形的对角线互相垂直，根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，仅为菱形，不能判定为正方形，故B不符合题意；
对于选项C：平行四边形的对角线相等且互相垂直，既满足矩形的判定（对角线相等），又满足菱形的判定（对角线垂直），因此可判定为正方形，故C符合题意；
对于选项D：平行四边形的对角线平分一组对角，根据菱形的判定定理，对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，仅为菱形，不能判定为正方形，故D不符合题意；
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的判定、平行四边形的性质、菱形与矩形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，核心是掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，通过逐个分析选项即可得出结论，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要判定平行四边形ABCD是正方形，需结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理分析：正方形是特殊的矩形（对角线相等）和特殊的菱形（对角线垂直），因此平行四边形需同时满足矩形和菱形的判定条件，或直接满足正方形的判定定理。逐个分析选项，判断每个条件能否使平行四边形成为正方形。
【解析】
对于选项A：平行四边形的对角线相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，仅为矩形，不能判定为正方形，故A不符合题意；
对于选项B：平行四边形的对角线互相垂直，根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，仅为菱形，不能判定为正方形，故B不符合题意；
对于选项C：平行四边形的对角线相等且互相垂直，既满足矩形的判定（对角线相等），又满足菱形的判定（对角线垂直），因此可判定为正方形，故C符合题意；
对于选项D：平行四边形的对角线平分一组对角，根据菱形的判定定理，对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，仅为菱形，不能判定为正方形，故D不符合题意；
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的判定、平行四边形的性质、菱形与矩形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，核心是掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，通过逐个分析选项即可得出结论，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
8. 如图，BD 为矩形 ABCD 的对角线，M 为 AD 上一点，将$△ ABM$沿 BM 折叠，若点 A 的对应点 N 恰好是 BD 的中点，则$\frac{BM}{AB}$的值是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠A=90°$，
∵M为AD上一点，将$△ABM$沿BM折叠，点A的对应点N恰好是BD的中点，
∴$∠BNM=∠A=90°$，$∠BMN=∠BMA$，$BN=DN$，
∴MN垂直平分BD，
∴$BM=DM$，
∴$∠BMN=∠DMN$，
∴$∠BMA=∠BMN=∠DMN=\frac{1}{3}×180°=60°$，
∴$∠ABM=90° - ∠BMA=30°$，
∴$BM=2AM$，
∴$AB=\sqrt{BM^2 - AM^2}=\sqrt{(2AM)^2 - AM^2}=\sqrt{3}AM$，
∴$\frac{BM}{AB}=\frac{2AM}{\sqrt{3}AM}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
故选：C。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠A=90°$，
∵M为AD上一点，将$△ABM$沿BM折叠，点A的对应点N恰好是BD的中点，
∴$∠BNM=∠A=90°$，$∠BMN=∠BMA$，$BN=DN$，
∴MN垂直平分BD，
∴$BM=DM$，
∴$∠BMN=∠DMN$，
∴$∠BMA=∠BMN=∠DMN=\frac{1}{3}×180°=60°$，
∴$∠ABM=90° - ∠BMA=30°$，
∴$BM=2AM$，
∴$AB=\sqrt{BM^2 - AM^2}=\sqrt{(2AM)^2 - AM^2}=\sqrt{3}AM$，
∴$\frac{BM}{AB}=\frac{2AM}{\sqrt{3}AM}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
故选：C。
解析
【分析】本题是矩形折叠类问题，解题思路如下：1. 利用矩形的性质，确定∠A为直角；2. 根据折叠的性质，得到△ABM与△NBM全等，推出∠BNM=90°，结合N是BD中点，判定MN是BD的垂直平分线，得到BM=DM；3. 通过角的等量关系推出∠BMA=60°，在Rt△ABM中利用直角三角形的性质得到BM与AM的关系，再结合勾股定理求出AB，最终计算$\frac{BM}{AB}$的值。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°。将△ABM沿BM折叠，点A的对应点为N，
∴△ABM≌△NBM，
∴∠BNM=∠A=90°，BN=AB，∠BMN=∠BMA。
∵N是BD的中点，
∴BN=DN，且MN⊥BD，
∴MN垂直平分BD，
∴BM=DM，
∴∠BMN=∠DMN，因此∠BMA=∠BMN=∠DMN=$\frac{180°}{3}$=60°。在Rt△ABM中，∠ABM=90°-∠BMA=30°，
∴BM=2AM。根据勾股定理，AB=$\sqrt{BM^2 - AM^2}$=$\sqrt{(2AM)^2 - AM^2}$=$\sqrt{3}AM$，
∴$\frac{BM}{AB}$=$\frac{2AM}{\sqrt{3}AM}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，故选C。
【答案】C
【知识点】矩形的性质、折叠的性质、直角三角形的性质
【点评】本题综合考查矩形与折叠的相关知识，需结合线段垂直平分线的判定和直角三角形的特殊性质推导，关键是通过折叠和中点条件找到角的关系，简化计算过程。
【难度系数】0.5
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°。将△ABM沿BM折叠，点A的对应点为N，
∴△ABM≌△NBM，
∴∠BNM=∠A=90°，BN=AB，∠BMN=∠BMA。
∵N是BD的中点，
∴BN=DN，且MN⊥BD，
∴MN垂直平分BD，
∴BM=DM，
∴∠BMN=∠DMN，因此∠BMA=∠BMN=∠DMN=$\frac{180°}{3}$=60°。在Rt△ABM中，∠ABM=90°-∠BMA=30°，
∴BM=2AM。根据勾股定理，AB=$\sqrt{BM^2 - AM^2}$=$\sqrt{(2AM)^2 - AM^2}$=$\sqrt{3}AM$，
∴$\frac{BM}{AB}$=$\frac{2AM}{\sqrt{3}AM}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，故选C。
【答案】C
【知识点】矩形的性质、折叠的性质、直角三角形的性质
【点评】本题综合考查矩形与折叠的相关知识，需结合线段垂直平分线的判定和直角三角形的特殊性质推导，关键是通过折叠和中点条件找到角的关系，简化计算过程。
【难度系数】0.5
