24.(12分)某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱(单位:cm),制作木箱需要如图2的25 cm×25 cm的正方形木板和25 cm×40 cm的长方形木板。现工厂采购这两种木板,采购清单如下表。设正方形木板的单价为m元/块,已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍。


采购清单
| | 单价/(元/块) | 数量/块 | 总价/元 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 正方形木板 | $m$ 图2 | | 120 |
| 长方形木板 | $m+3$ | | 300 |
(1)请将表格填写完整(用含$m$的代数式表示),并求$m$的值。(2分)
(2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱,则两种木箱各做多少个,恰好将木板用完?(3分)
(3)该工厂发现有一批尺寸为25 cm×280 cm的废旧木板,若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板。
①如何切割才能将每块废旧木板恰好用完(不计损耗)?(3分)
②因工厂生产需要,还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个,所有废旧木板恰好用完,则这批废旧木板共多少块?(4分)

24.(1)$\frac{120}{m}\ \ \ \frac{300}{m+3}$ 解:由表格及题意,得$\frac{300}{m+3}=\frac{120}{m}×2$,解得$m=12$。经检验,$m=12$是原方程的根,且符合题意。
(2)解:由(1),得正方形木板数量为10块,长方形木板数量为20块。设竖式无盖木箱做$x$个,横式无盖木箱做$y$个,则由题意,得$\begin{cases}x+2y=10,\\4x+3y=20。\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=2,\\y=4。\end{cases}$ 答:竖式无盖木箱做2个,横式无盖木箱做4个,恰好将木板用完。
(3)解:①设将25 cm×280 cm的废旧木板切割成$a$块正方形木板和$b$块长方形木板。由宽相等,得$25a+40b=280$,即$5a+8b=56$,所以$b=7-\frac{5}{8}a$。因为$a,b$为非负整数,所以$\begin{cases}a=8,\\b=2\end{cases}$或$\begin{cases}a=0,\\b=7。\end{cases}$ 答:每块废旧木板切割成8块正方形木板和2块长方形木板或7块长方形木板,才能将每块废旧木板恰好用完。
②设这批废旧木板中有$p$块切割成8块正方形木板和2块长方形木板,有$q$块切割成7块长方形木板,则由题意,得$\begin{cases}8p=60×1+50×2,\\2p+7q=60×4+50×3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}p=20,\\q=50。\end{cases}$ 故$p+q=20+50=70$。 答:这批废旧木板共有70块。