23. (10分)如图1,O为矩形ABCD对角线AC的中点,AB=4,BC=8,E为BC边上一点,连结EO并延长,交AD于点F。四边形ABEF与四边形A₁B₁EF关于EF所在直线成轴对称,线段FA₁交边BC于点H,连结OH。
(1)求证:OH⊥EF。
(2)若BE=1,求FD,EH的长。
(3)如图2,连结OB₁,若OH=OB₁,求BE的长。

23.(1)如图1。在矩形ABCD中,$AD// BC$,则$∠ 1=∠ 2$。因为O为矩形ABCD对角线AC的中点,所以$AO=CO$。又因为$∠ AOF=∠ COE$,所以$△ AOF≌△ COE$。所以$OE=OF$,O为EF的中点。因为四边形ABEF与四边形$A_1B_1EF$关于EF所在直线成轴对称,所以$∠ 1=∠ 3$。所以$∠ 2=∠ 3$。所以$EH=FH$。所以$OH⊥ EF$。(2)因为$BC=8,BE=1$,所以$CE=7$。由(1)得$△ AOF≌△ COE$,所以$AF=EC=7$。因为$AD=BC=8$,所以$FD=BE=1$。设$EH=x$,则$FH=x,HC=7-x$。如图2,过点F作$FG⊥ BC$于点G,易得四边形FGCD为矩形,所以$CG=FD=1,FG=CD=AB=4$。所以$HG=6-x$。在$Rt△ FHG$中,$FH^2=HG^2+FG^2$,即$x^2=(6-x)^2+4^2$,解得$x=\frac{13}{3}$,所以$EH=\frac{13}{3}$。(3)连结OB。由轴对称得$B_1A_1=BA=4,BE=B_1E,AF=A_1F,OB=OB_1$。因为$OB_1=OH$,所以$OB=OH$。因为四边形ABCD是矩形,O为AC的中点,所以$OB=OC$。所以点H与点C重合。因为$OH⊥ EF$,所以$AF=CF$。所以点$A_1$与点C重合。如图3,设$BE=B_1E=y$,则$CE=8-y$。在$Rt△ B_1CE$中,$B_1E^2+B_1C^2=CE^2$,所以$y^2+4^2=(8-y)^2$,解得$y=3$。所以$BE=3$。