25. (6 分)【发现】$(2+3)^2 - 2^2 = 7 × 3$；$(4+3)^2 - 4^2 = 11 × 3$；$(6+3)^2 - 6^2 = 15 × 3$，…，嘉嘉发现规律:比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除.
【应用】
(1)$(8+3)^2 - 8^2$的结果是3的________倍；
(2)设偶数为$2k$($k$为整数),试说明比$2k$大3的数与$2k$的平方差能被3整除；
【延伸】
(3)已知比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是$t$，$m^2 + 1$是一个大于$t^2$的质数，且$10(m^2 + 1) = n^2 + 1$($m,n,t$为正整数)，则$m - t$的值为________.

·12·

25. 【点拨】本题考查平方差公式,完全平方公式.
【解析】(1)$(8+3)^2-8^2=11^2-8^2=(11-8)(11+8)=3×19$,即$(8+3)^2-8^2$的结果是3的19倍. 故答案为19.
(2)题中设偶数为$2k$($k$为整数),比$2k$大3的数为$2k+3$,
$\therefore (2k+3)^2-(2k)^2=4k^2+12k+9-4k^2=12k+9=3(4k+3)$.
$\because 4k+3$为整数,$\therefore 3(4k+3)$能被3整除,
$\therefore$ 比$2k$大3的数与$2k$的平方差能被3整除.
(3)设这个数为$a$,比$a$大3的数为$a+3$,
$\therefore (a+3)^2 -a^2$
$=a^2+6a+9-a^2$
$=6a+9$
$=6a+6+3$
$=6(a+1)+3$.
$\because$ 比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是$t$,
$\therefore t=3$,$\therefore t^2=9$.
$\because m^2+1$是一个大于$t^2$的质数,
$\therefore m^2+1＞9$且是质数,$\therefore m^2+1=11$或13或17或19等.
$\because 10(m^2+1)=n^2+1$,$m,n$为正整数,
$\therefore m=4,n=13$时符合条件,$\therefore m-t=4-3=1$.
故答案为1.