14. 回忆课本中探究$\sqrt{2}$有多大的方法，完成下列各题：
(1) 直接写出$\sqrt{3}$的近似值(用四舍五入法精确到个位).
(2) 直接写出$\sqrt{13}$的近似值(用四舍五入法精确到十分位).
(3) 若$\sqrt{13}+\sqrt{6}=m+n$，其中$m$为正整数，$0＜n＜1$，若$a,b,c$均为有理数，且$3m-2n=\sqrt{13}a+\sqrt{6}b+c$，求$a,b,c$的值.

14. 解：(1) $\sqrt{3}≈2$.
(2) $\sqrt{13}≈3.6$.
(3) 因为$2＜\sqrt{6}＜3$，所以$\sqrt{6}$的整数部分是2，又因为$2.5^2=6.25＞6$，$2.4^2=5.76＜6$，所以$2.4＜\sqrt{6}＜2.5$. 同理$3.6＜\sqrt{13}＜3.7$，所以$\sqrt{13}+\sqrt{6}$的整数部分为$3+2+1=6$，小数部分为$\sqrt{13}+\sqrt{6}-6$. 因为$\sqrt{13}+\sqrt{6}=m+n$，其中$m$为正整数，$0＜n＜1$，所以$m=6$，$n=\sqrt{13}+\sqrt{6}-6$. 所以$3m-2n=18-2\sqrt{13}-2\sqrt{6}+12=30-2\sqrt{13}-2\sqrt{6}$. 因为$3m-2n=\sqrt{13}a+\sqrt{6}b+c$，且$a,b,c$均为有理数，所以$a=-2,b=-2,c=30$.

15. 我们把由四舍五入法对非负实数 $x$ 精确到个位的值记为 $⟨ x\rangle$. 如: $⟨ 0\rangle=⟨ 0.48\rangle=0$,$⟨ 0.64\rangle=⟨ 1.493\rangle=1$,$⟨ 2\rangle=2$,$⟨ 2.5\rangle=⟨ 3.12\rangle=3$,$···$.
解决下列问题:
(1) ①若 $⟨ x\rangle=6$, 则 $x$ 的取值范围是
.
②若 $⟨ x\rangle=\dfrac{4}{3}x$, 则 $x=$.
(2) 若 $m$ 为正整数, 试说明 $⟨ x+m\rangle=⟨ x\rangle+m$ 恒成立.

15. (1) ①$5.5≤ x＜6.5$ ②$0或\dfrac{3}{4}或\dfrac{3}{2}$
(2) 解:设$x=n+a$,其中$n$为$x$的整数部分($n$为非负整数),$a$为$x$的小数部分($0≤ a＜1$). 分两种情况讨论:当$0≤ a＜\dfrac{1}{2}$时,有$⟨ x\rangle=n$,因为$x+m=(n+m)+a$,此时$(n+m)$为$(x+m)$的整数部分,$a$为$(x+m)$的小数部分,所以$⟨ x+m\rangle=n+m$,又因为$⟨ x\rangle+m=n+m$,所以$⟨ x+m\rangle=⟨ x\rangle+m$;当$\dfrac{1}{2}≤ a＜1$时,有$⟨ x\rangle=n+1$,因为$x+m=(n+m)+a$,此时$(n+m)$为$(x+m)$的整数部分,$a$为$(x+m)$的小数部分,所以$⟨ x+m\rangle=n+m+1$,又因为$⟨ x\rangle+m=n+1+m=n+m+1$,所以$⟨ x+m\rangle=⟨ x\rangle+m$. 综上所述,$⟨ x+m\rangle=⟨ x\rangle+m$恒成立.

16. 阅读材料,回答下列问题:

(1) 利用材料一中的方法,$\sqrt{37}$的整数部分是,$\sqrt{37}$的小数部分是.
(2) 利用材料二中的方法,探究$\sqrt{37}$的近似值(保留两位小数,并写出求解过程).
(3) 结合上述具体实例,已知正整数$b$,$m$满足$4＜\sqrt{m}＜5$,且$m=16+b$,请估算$\sqrt{m} \approx$(用含$b$的代数式表示).

16. (1) 6 $\sqrt{37}-6$
(2) 解:因为面积为37的正方形的边长是$\sqrt{37}$,且$6＜\sqrt{37}＜7$,所以设$\sqrt{37}=6+x$,其中$0＜x＜1$,画出边长为$6+x$的正方形,,根据图中面积,得$6^2+2×6x+x^2=37$,当$x^2$的值较小时,忽略$x^2$的值,得$36+12x≈37$.解得$x≈0.08$. 所以$\sqrt{37}=6+x≈6.08$.
(3) $4+\dfrac{b}{8}$ 提示:因为$4＜\sqrt{m}＜5$,所以设$\sqrt{m}=4+x$,其中$0＜x＜1$,画出边长为$4+x$的正方形,,根据图中面积,得$16+8x+x^2=m$. 因为$m=16+b$,所以当$x^2$的值较小时,忽略$x^2$的值,得$16+8x≈16+b$. 解得$x≈\dfrac{b}{8}$. 所以$\sqrt{m}≈4+\dfrac{b}{8}$.