1. 如图,关于一次函数 $y=kx+3k+5(k ≠ 0)$与 $y=ax(a ≠ 0)$ 的图象,下列说法正确的有（）
①$k＞0,a＜0;$ ②$y=ax(a ≠ 0)$图象,$y$ 随自变量 $x$ 的增大而减小;③不论 $k$ 为何值,一次函数 $y=kx+3k+5(k ≠ 0)$ 的图象都经过定点 $A$,且点 $A$ 的坐标为 $(-3,5)$; ④ 方程组$\begin{cases} y=kx+3k+5,\\ y=ax \end{cases}$的解是$\begin{cases} x=-3,\\ y=5. \end{cases}$


A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④

1. D

2. 在平面直角坐标系中,一般情况下,任何一个二元一次方程对应的图象都是一条直线.如图,已知过第一象限内点 A 的直线是方程 $x-y=b(b＜-1)$ 的图象. 若点 A 的坐标恰好为关于 $x,y$ 的二元一次方程组
$\begin{cases} x-y=b,\\ ax-y=1 \end{cases}$
的解,则 $a$ 的值可能是 （）


A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

2. D 提示:易知直线 $y=x-b(b＜-1)$和直线$y = ax - 1$ 的交点坐标即为二元一次方程组$\begin{cases} x-y=b,\\ ax-y=1 \end{cases}$的解. 其中直线 $y = ax - 1$ 必过定点 $(0,-1)$,画出图象,观察可知 $a＞1$.

3. 若直线 $y=-2x-4$ 与直线 $y=4x+b$ 的交点在第三象限,则 $b$ 的取值范围是 （）

A.$-4＜b＜8$
B.$-4＜b＜0$
C.$b＜-4$ 或 $b＞8$
D.$-4 ≤ b ≤ 8$

3. A 提示: 由 $\begin{cases} y=-2x-4,\\ y=4x+b \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=-\dfrac{b+4}{6},\\ y=\dfrac{b-8}{3}. \end{cases}$ 因为交点在第三象限,所以$\begin{cases} -\dfrac{b+4}{6}＜0,\\ \dfrac{b-8}{3}＜0, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} b＞-4,\\ b＜8, \end{cases}$ 所以 $-4＜b＜8.$

4. 如图,直线 $y=-x+3$ 与 $y=mx+n$ 交点的横坐标为 1 ,若直线 $y=mx+n$ 与 $x$ 轴的所夹角为 $45°$,则关于 $x,y$ 的方程组
$\begin{cases} x+y=3,\\ mx+y=n \end{cases} \mathrm{解为} \qquad \qquad (\quad)$
$\mathrm{A. } \begin{cases} x=2,\\ y=1 \end{cases}$
$\mathrm{B. } \begin{cases} x=1.5,\\ y=1.5 \end{cases}$
$\mathrm{C. } \begin{cases} x=1,\\ y=2 \end{cases}$
D. 无解

4. D 提示:如图,对于 $y=-x+3$,当 $x=1$ 时,$y=-1+3=2$, 所以点 $C(1,2),BC=2$. 因为 $∠ BAC=45°$, 所以 $∠ BCA=45°$, 所以 $AB=BC=2$. 因为 $OB=1$, 所以 $AO=AB-OB=2-1=1$, 所以点 $A(-1,0)$.把点 $A(-1,0),C(1,2)$ 代入 $y = mx + n$, 得$\begin{cases} -m+n=0,\\ m+n=2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=1,\\ n=1. \end{cases}$ 所以方程组 $\begin{cases} x+y=3,\\ mx+y=n \end{cases}$ 可变形为 $\begin{cases} x+y=3,\\ x+y=1. \end{cases}$ 所以该方程组无解.

5. 如图,已知函数 $y=2x+1$ 和 $y=-x-2$的图象交于点 $P$,则方程 $(2x-y)^2+(x+$$y)^2+8x+2y+5=0$ 的解为.

5. $\begin{cases} x=-1,\\ y=-1 \end{cases}$ 提示: 方程 $(2x-y)^2+(x+y)^2+8x+2y+5=0$ 可化为 $(2x-y+1)^2+(x+y+2)^2=0$, 可得方程组 $\begin{cases} 2x-y+1=0,\\ x+y+2=0, \end{cases}$ 由题图, 可知方程的解为 $\begin{cases} x=-1,\\ y=-1. \end{cases}$

6. 在平面直角坐标系中,已知点 $A(2,0),B(4,0)$,$C(m,m),D(m+1,m+1)$,$m$ 为常数且 $m＞0$,当$AC+BD$ 的值最小时,$m=$.

6. 1 提示:因为点 $A(2,0),B(4,0),C(m,m)$,$D(m+1,m+1)$, 所以 $AC^2=(m-2)^2+m^2$,$BD^2=(m-3)^2+(m+1)^2$. 所以 $AC + BD =\sqrt{(m-2)^2+m^2}+\sqrt{(m-3)^2+(m+1)^2}$, 所以 $AC+BD$ 的最小值可以看作点 $(m,m)$ 到点 $(2,0),(3,-1)$ 的距离之和的最小值. 易知点 $(m,m)$ 在直线 $y=x$ 上. 如图, 作点 $A$ 关于直线 $y=x$ 的对称点 $A'$, 则点 $A'(0,2)$.连接点 $A'$ 与点 $(3,-1)$, 易求得此直线的函数表达式为$y=-x+2$. 当 $C$ 为直线 $y=-x+2$ 与直线 $y=x$ 的交点时, $AC+BD$ 的值最小. 易得点 $C(1,1)$, 故 $m=1$.

7. 如图,在平面直角坐标系中,$\mathrm{Rt}△ ABO$的顶点$B$在$x$轴上,$∠ ABO=90°,AB=OB$,点$C(10,8)$在边$AB$上,$D$为$OB$的中点,$P$为边$OA$上的动点(不与点$O,A$重合).下列说法正确的是(填序号).
①当点$P$运动到$OA$的中点时,点$P$到$OB$和$AB$的距离相等;②当点$P$运动到$OA$的中点时,$∠ APC=∠ DPO$;③当点$P$从点$O$运动到点$A$时,四边形$PCBD$的面积先变大再变小;④当四边形$PCBD$的周长最小时,点$P$的坐标为$(\dfrac{50}{7},\dfrac{50}{7})$.

7. ①④ 提示:由条件,得 $AB=OB=10$,$OA=10\sqrt{2}$. 过点 $P$ 分别作 $PE⊥ OB$,$PF⊥ AB$, 垂足分别为$E,F$, 则 $OE=PE$,$AF=PF$. 当点 $P$ 运动到 $OA$ 的中点时, $AP=OP=5\sqrt{2}$, 所以 $PE=OD=5$,$PF=AF=5$.所以点 $E$ 与点 $D$ 重合, 所以 $∠ DPO=45°$. 因为$∠ APC＜∠ APF=45°$, 所以①正确,②错误. 设 $OE=PE = t$, 则 $PF = BE = 10 - t$. 连接 $BP$, 则$S_{\mathrm{四边形}PCBD}=S_{△ PDB}+S_{△ PBC}=\dfrac{1}{2}BD· PE+\dfrac{1}{2}BC· PF=\dfrac{5}{2}t+\dfrac{1}{2}×8×(10-t)=40-\dfrac{3}{2}t$. 所以当点 $P$ 从点 $O$ 运动到点 $A$ 时, 四边形 $PCBD$ 的面积一直在变小,所以③错误. 如图, 作点 $D$ 关于 $OA$ 的对称点 $D'$, 连接$PD',CD'$, 则四边形 $PCBD$ 的周长为 $PC+PD+BD+BC=PC+PD'+5+8=PC+PD'+13≥ CD'+13$. 所以当 $P$ 为 $CD'$ 与 $OA$ 的交点时, 四边形 $PCBD$ 的周长最小. 因为 $∠ AOB=45°$, 点 $D(5,0)$, 所以点 $D'(0,5)$.又由条件可知, 点 $A(10,10)$. 所以直线 $OA$ 的函数表达式为 $y=x$, 直线 $CD'$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{3}{10}x+5$. 联立两函数表达式可解得 $x=\dfrac{50}{7}$,$y=\dfrac{50}{7}$, 即点 $P(\dfrac{50}{7},\dfrac{50}{7})$,所以④正确.