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O,点F的坐标是(3,2),则点N的坐标是
$(-3,-2)$
.答案
13. $(-3,-2)$
解析
【分析】
解题首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：若两点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。结合题目隐含的点N与点F关于原点O对称的条件，我们只需要分别求出点F横、纵坐标的相反数，即可得到点N的坐标。
【解析】
关于原点对称的点的坐标特征为：两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知点F的坐标是(3,2)，点N与点F关于原点O对称：
点N的横坐标为3的相反数，即-3；
点N的纵坐标为2的相反数，即-2；
因此点N的坐标为(-3,-2)。
【答案】
(-3,-2)
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础类题型，重点考查对原点对称点坐标变化规律的理解与运用，牢记“横、纵坐标均取相反数”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：若两点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。结合题目隐含的点N与点F关于原点O对称的条件，我们只需要分别求出点F横、纵坐标的相反数，即可得到点N的坐标。
【解析】
关于原点对称的点的坐标特征为：两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知点F的坐标是(3,2)，点N与点F关于原点O对称：
点N的横坐标为3的相反数，即-3；
点N的纵坐标为2的相反数，即-2；
因此点N的坐标为(-3,-2)。
【答案】
(-3,-2)
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础类题型，重点考查对原点对称点坐标变化规律的理解与运用，牢记“横、纵坐标均取相反数”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
14. 在离差平方和计算式子 $d^2=(x_1 -15)^2 + (x_2 -15)^2 + \dots + (x_{20} -15)^2$ 中，若$m,n$分别表示这组数据的个数和平均数，则$m-n$的值为
5
。答案
14. 5
解析
【分析】
解题时先分别确定m和n的值：①先找数据个数：观察离差平方和的式子，求和项从x₁到x₂₀，可直接得出数据的总个数m；②再求平均数：回忆离差平方和的定义，它是每个数据与平均数的差的平方和，对比题中式子中每个数据减去的固定值，就能得到平均数n；最后计算m-n即可。
【解析】
首先，由式子$d^2=(x_1 -15)^2 + (x_2 -15)^2 + \dots + (x_{20} -15)^2$可知，这组数据共有20个，因此数据个数$m=20$。
根据离差平方和的定义，离差平方和是每组数据与平均数的差的平方之和，对比题中式子，每个数据减去的固定值为15，说明这组数据的平均数$n=15$。
因此$m-n=20-15=5$。
【答案】
5
【知识点】
1. 离差平方和的含义
2. 平均数的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对离差平方和公式结构的理解，只要掌握离差平方和中各部分的意义，就能快速求解，计算量很小。
【难度系数】
0.8
解题时先分别确定m和n的值：①先找数据个数：观察离差平方和的式子，求和项从x₁到x₂₀，可直接得出数据的总个数m；②再求平均数：回忆离差平方和的定义，它是每个数据与平均数的差的平方和，对比题中式子中每个数据减去的固定值，就能得到平均数n；最后计算m-n即可。
【解析】
首先，由式子$d^2=(x_1 -15)^2 + (x_2 -15)^2 + \dots + (x_{20} -15)^2$可知，这组数据共有20个，因此数据个数$m=20$。
根据离差平方和的定义，离差平方和是每组数据与平均数的差的平方之和，对比题中式子，每个数据减去的固定值为15，说明这组数据的平均数$n=15$。
因此$m-n=20-15=5$。
【答案】
5
【知识点】
1. 离差平方和的含义
2. 平均数的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对离差平方和公式结构的理解，只要掌握离差平方和中各部分的意义，就能快速求解，计算量很小。
【难度系数】
0.8
15. 如图9,在矩形ABCD中,AB=10,AD=6,E为BC上一点,把△CDE沿DE折叠,使点C落在AB边上的F处,则CE的长为
$\frac{10}{3}$
.答案
15. $\frac{10}{3}$
解析
【分析】
本题是矩形背景下的折叠计算问题，解题时先利用折叠的性质得到相等的边和角，再结合矩形的直角特征，通过勾股定理逐步求解：第一步先在Rt△ADF中利用已知边长求出AF的长度，进而得到FB的长度；第二步设CE的长为未知数，用含未知数的式子表示出Rt△BEF的各边长，再根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，AD=BC=6，AB=CD=10。
由折叠的性质可得△DCE≌△DFE，
∴DF=DC=10，EF=CE，∠DFE=∠C=90°。
在Rt△ADF中，根据勾股定理：
$AF=\sqrt{DF^2-AD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$，
∴$FB=AB-AF=10-8=2$。
设$CE=x$，则$EF=x$，$BE=BC-CE=6-x$，
在Rt△BEF中，根据勾股定理得$FB^2+BE^2=EF^2$，
代入得：$2^2+(6-x)^2=x^2$，
展开计算：$4+36-12x+x^2=x^2$，
化简得：$12x=40$，
解得$x=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是几何折叠计算的常考题型，解题关键是抓住折叠前后图形全等得到边的等量关系，结合勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
本题是矩形背景下的折叠计算问题，解题时先利用折叠的性质得到相等的边和角，再结合矩形的直角特征，通过勾股定理逐步求解：第一步先在Rt△ADF中利用已知边长求出AF的长度，进而得到FB的长度；第二步设CE的长为未知数，用含未知数的式子表示出Rt△BEF的各边长，再根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，AD=BC=6，AB=CD=10。
由折叠的性质可得△DCE≌△DFE，
∴DF=DC=10，EF=CE，∠DFE=∠C=90°。
在Rt△ADF中，根据勾股定理：
$AF=\sqrt{DF^2-AD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$，
∴$FB=AB-AF=10-8=2$。
设$CE=x$，则$EF=x$，$BE=BC-CE=6-x$，
在Rt△BEF中，根据勾股定理得$FB^2+BE^2=EF^2$，
代入得：$2^2+(6-x)^2=x^2$，
展开计算：$4+36-12x+x^2=x^2$，
化简得：$12x=40$，
解得$x=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是几何折叠计算的常考题型，解题关键是抓住折叠前后图形全等得到边的等量关系，结合勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
三、解答题
16. 先化简, 再求值: $(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{x^2 -x}{x^2 -2x +1}$, 其中 $x$ 满足 $x^2 +x -3=0$.
16. 先化简, 再求值: $(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{x^2 -x}{x^2 -2x +1}$, 其中 $x$ 满足 $x^2 +x -3=0$.
答案
16. 原式 $= \frac{x-1-x-1}{(x+1)(x-1)} · \frac{(x-1)^2}{x(x-1)} = -\frac{2}{x(x+1)} = -\frac{2}{x^2+x}$. $\because x^2+x-3=0$, $\therefore x^2+x=3$.
$\therefore$ 原式$=-\frac{2}{3}$.
$\therefore$ 原式$=-\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题遵循“先化简，再求值”的原则：①先计算括号内的异分母分式减法，通分后合并分子；②将除法运算转化为乘法运算，同时对分子、分母中的多项式进行因式分解；③约分得到最简分式；④观察已知方程的特征，无需解出x的值，将方程变形得到x²+x的结果，整体代入最简分式即可求出最终值，能简化计算。
【解析】
先计算括号内的减法，通分得：
$\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x-1-(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{-2}{(x+1)(x-1)}$
再将除法转化为乘法，同时对除式的分子分母因式分解：
$\dfrac{-2}{(x+1)(x-1)} ÷ \dfrac{x^2 -x}{x^2 -2x +1} = \dfrac{-2}{(x+1)(x-1)} × \dfrac{(x-1)^2}{x(x-1)}$
约分后化简得：
$\dfrac{-2}{(x+1)(x-1)} × \dfrac{(x-1)^2}{x(x-1)} = -\dfrac{2}{x(x+1)} = -\dfrac{2}{x^2 +x}$
由已知$x^2 +x -3=0$，变形得$x^2 +x = 3$，将其代入化简后的式子：
原式$=-\dfrac{2}{3}$
【答案】
$-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，重点考查分式的运算规则和整体代入的数学思想，解题时无需解出未知数的值，通过整体代入可大幅降低计算量，运算过程中要注意通分、约分的规范性，避免符号和计算错误。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，解题遵循“先化简，再求值”的原则：①先计算括号内的异分母分式减法，通分后合并分子；②将除法运算转化为乘法运算，同时对分子、分母中的多项式进行因式分解；③约分得到最简分式；④观察已知方程的特征，无需解出x的值，将方程变形得到x²+x的结果，整体代入最简分式即可求出最终值，能简化计算。
【解析】
先计算括号内的减法，通分得：
$\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x-1-(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{-2}{(x+1)(x-1)}$
再将除法转化为乘法，同时对除式的分子分母因式分解：
$\dfrac{-2}{(x+1)(x-1)} ÷ \dfrac{x^2 -x}{x^2 -2x +1} = \dfrac{-2}{(x+1)(x-1)} × \dfrac{(x-1)^2}{x(x-1)}$
约分后化简得：
$\dfrac{-2}{(x+1)(x-1)} × \dfrac{(x-1)^2}{x(x-1)} = -\dfrac{2}{x(x+1)} = -\dfrac{2}{x^2 +x}$
由已知$x^2 +x -3=0$，变形得$x^2 +x = 3$，将其代入化简后的式子：
原式$=-\dfrac{2}{3}$
【答案】
$-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，重点考查分式的运算规则和整体代入的数学思想，解题时无需解出未知数的值，通过整体代入可大幅降低计算量，运算过程中要注意通分、约分的规范性，避免符号和计算错误。
【难度系数】
0.7
17. 甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下:
甲:8,8,7,8,9;
乙:5,9,7,10,9.
(1)完成下表:
| | 平均数 | 众数 | 中位数 | 方差 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | 8 |
| 8 | 0.4 |
| 乙 | | 9 | | 3.2 |
(2)教练根据这5次成绩,选择甲参加射击比赛,教练的理由是什么?
(3)如果乙再射击1次,命中8环,那么乙的射击成绩的方差
甲:8,8,7,8,9;
乙:5,9,7,10,9.
(1)完成下表:
| | 平均数 | 众数 | 中位数 | 方差 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | 8 |
| 8 | 0.4 || 乙 | | 9 | | 3.2 |
(2)教练根据这5次成绩,选择甲参加射击比赛,教练的理由是什么?
(3)如果乙再射击1次,命中8环,那么乙的射击成绩的方差
变小
(填“变大”“变小”或“不变”).答案
17.(1)8 8 9 (2)因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛. (3)变小
解析
【分析】
(1) 先明确各统计量的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数；平均数为所有数据的和除以数据总个数；中位数是将数据排序后，奇数个数据时取最中间的数。分别对应计算甲的众数、乙的平均数、乙的中位数即可补全表格。
(2) 选择参赛选手时，先对比平均成绩，平均成绩相同的情况下，方差越小说明成绩越稳定，据此分析选甲的理由。
(3) 新增命中8环，该数据等于乙原来的平均成绩，数据整体波动减小，即可判断方差的变化。
【解析】
(1) 甲的打靶环数中8出现3次，出现次数最多，故甲的众数是8；
乙的平均数 = (5+9+7+10+9)÷5 = 40÷5 = 8；
将乙的打靶环数从小到大排序为5,7,9,9,10，最中间的数是9，故乙的中位数是9。
(2) 由计算结果可知，甲、乙两人的平均成绩相同，均为8环；甲的方差0.4小于乙的方差3.2，说明甲的成绩发挥更稳定，因此教练选择甲参加比赛。
(3) 乙原来的平均成绩为8环，新增一次命中8环，该数据与平均成绩的差为0，整体数据的波动幅度变小，因此方差变小。
【答案】
(1) 8；8；9
(2) 两人平均数相等，甲的方差更小，发挥更稳定，所以选择甲参加射击比赛。
(3) 变小
【知识点】
统计量计算、方差的意义
【点评】
本题围绕统计常见特征量设题，既考查了各统计量的计算方法，也考查了方差反映数据稳定性的实际应用，属于统计部分的基础常规题型，熟练掌握各统计量的定义和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 先明确各统计量的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数；平均数为所有数据的和除以数据总个数；中位数是将数据排序后，奇数个数据时取最中间的数。分别对应计算甲的众数、乙的平均数、乙的中位数即可补全表格。
(2) 选择参赛选手时，先对比平均成绩，平均成绩相同的情况下，方差越小说明成绩越稳定，据此分析选甲的理由。
(3) 新增命中8环，该数据等于乙原来的平均成绩，数据整体波动减小，即可判断方差的变化。
【解析】
(1) 甲的打靶环数中8出现3次，出现次数最多，故甲的众数是8；
乙的平均数 = (5+9+7+10+9)÷5 = 40÷5 = 8；
将乙的打靶环数从小到大排序为5,7,9,9,10，最中间的数是9，故乙的中位数是9。
(2) 由计算结果可知，甲、乙两人的平均成绩相同，均为8环；甲的方差0.4小于乙的方差3.2，说明甲的成绩发挥更稳定，因此教练选择甲参加比赛。
(3) 乙原来的平均成绩为8环，新增一次命中8环，该数据与平均成绩的差为0，整体数据的波动幅度变小，因此方差变小。
【答案】
(1) 8；8；9
(2) 两人平均数相等，甲的方差更小，发挥更稳定，所以选择甲参加射击比赛。
(3) 变小
【知识点】
统计量计算、方差的意义
【点评】
本题围绕统计常见特征量设题，既考查了各统计量的计算方法，也考查了方差反映数据稳定性的实际应用，属于统计部分的基础常规题型，熟练掌握各统计量的定义和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
