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7. 利用电压表可以直接测量电压的大小,能否把电压表改装为间接测量电阻大小的仪表呢?
小明和小华一起进行探究活动,经过思考,分别设计了如图甲、乙所示的方案(电源电压恒定不变),并进行了以下操作和分析.
(1)小明在电路的M、N两点之间接入一个电阻箱,调节旋钮使它接入电路的阻值分别为5 Ω、8 Ω、20 Ω,闭合开关,发现电压表指针分别指向1.5 V、2.0 V、3.0 V的刻度线,于是他在表盘相应位置标出了电阻的数值,如图丙所示.以此类推再标出其他刻度线,电压表就可以用来间接测量阻值了.由以上数据可知:电源电压为
(2)小华的设计方案中所用的器材的规格、电表选用的量程都与小明的完全相同,分析她的设计方案可知:在保证器材安全的前提下,她改装后的电压表所能测的最小阻值为
小明和小华一起进行探究活动,经过思考,分别设计了如图甲、乙所示的方案(电源电压恒定不变),并进行了以下操作和分析.
(1)小明在电路的M、N两点之间接入一个电阻箱,调节旋钮使它接入电路的阻值分别为5 Ω、8 Ω、20 Ω,闭合开关,发现电压表指针分别指向1.5 V、2.0 V、3.0 V的刻度线,于是他在表盘相应位置标出了电阻的数值,如图丙所示.以此类推再标出其他刻度线,电压表就可以用来间接测量阻值了.由以上数据可知:电源电压为
4.5
V,定值电阻$R_{0}$的阻值为10
Ω.(2)小华的设计方案中所用的器材的规格、电表选用的量程都与小明的完全相同,分析她的设计方案可知:在保证器材安全的前提下,她改装后的电压表所能测的最小阻值为
5
Ω.答案
7. (1)4.5 10 (2)5
解析:(1)由题图甲可知,定值电阻$R_0$与电阻箱串联,电压表测电阻箱两端的电压,当$R_1=5\ \Omega$时,$U_1=1.5\ \mathrm{V}$,由串联电路的电压特点可得,电源电压$U_\mathrm{甲}=U_0+U_1=\dfrac{U_1}{R_1}× R_0+U_1=\dfrac{1.5\ \mathrm{V}}{5\ \Omega}× R_0+1.5\ \mathrm{V}$ ①;当$R_2=8\ \Omega$时,$U_2=2\ \mathrm{V}$,电源电压$U_\mathrm{甲}=U'_0+U_2=\dfrac{U_2}{R_2}× R_0+U_2=\dfrac{2\ \mathrm{V}}{8\ \Omega}× R_0+2\ \mathrm{V}$ ②;联立①②,解得$R_0=10\ \Omega$,$U_\mathrm{甲}=4.5\ \mathrm{V}$.(2)由题图乙可知,$R_0$与待测电阻串联,电压表测定值电阻$R_0$两端的电压,电源电压$U_\mathrm{乙}=U_\mathrm{甲}=4.5\ \mathrm{V}$,电压表量程为0~3 V,根据串联电路分压原理可知,当电压表示数最大,为$U_\mathrm{大}=3\ \mathrm{V}$时,待测电阻的阻值最小,其两端的电压$U_\mathrm{小}=U_\mathrm{乙}-U_\mathrm{大}=4.5\ \mathrm{V}-3\ \mathrm{V}=1.5\ \mathrm{V}$,则$\dfrac{R_\mathrm{小}}{R_0}=\dfrac{U_\mathrm{小}}{U_\mathrm{大}}$,故所能测的最小阻值$R_\mathrm{小}=\dfrac{R_0U_\mathrm{小}}{U_\mathrm{大}}=\dfrac{10\ \Omega×1.5\ \mathrm{V}}{3\ \mathrm{V}}=5\ \Omega$.
解析:(1)由题图甲可知,定值电阻$R_0$与电阻箱串联,电压表测电阻箱两端的电压,当$R_1=5\ \Omega$时,$U_1=1.5\ \mathrm{V}$,由串联电路的电压特点可得,电源电压$U_\mathrm{甲}=U_0+U_1=\dfrac{U_1}{R_1}× R_0+U_1=\dfrac{1.5\ \mathrm{V}}{5\ \Omega}× R_0+1.5\ \mathrm{V}$ ①;当$R_2=8\ \Omega$时,$U_2=2\ \mathrm{V}$,电源电压$U_\mathrm{甲}=U'_0+U_2=\dfrac{U_2}{R_2}× R_0+U_2=\dfrac{2\ \mathrm{V}}{8\ \Omega}× R_0+2\ \mathrm{V}$ ②;联立①②,解得$R_0=10\ \Omega$,$U_\mathrm{甲}=4.5\ \mathrm{V}$.(2)由题图乙可知,$R_0$与待测电阻串联,电压表测定值电阻$R_0$两端的电压,电源电压$U_\mathrm{乙}=U_\mathrm{甲}=4.5\ \mathrm{V}$,电压表量程为0~3 V,根据串联电路分压原理可知,当电压表示数最大,为$U_\mathrm{大}=3\ \mathrm{V}$时,待测电阻的阻值最小,其两端的电压$U_\mathrm{小}=U_\mathrm{乙}-U_\mathrm{大}=4.5\ \mathrm{V}-3\ \mathrm{V}=1.5\ \mathrm{V}$,则$\dfrac{R_\mathrm{小}}{R_0}=\dfrac{U_\mathrm{小}}{U_\mathrm{大}}$,故所能测的最小阻值$R_\mathrm{小}=\dfrac{R_0U_\mathrm{小}}{U_\mathrm{大}}=\dfrac{10\ \Omega×1.5\ \mathrm{V}}{3\ \mathrm{V}}=5\ \Omega$.
解析
【分析】
这道题的核心是结合串联电路特点和欧姆定律求解未知量，解题思路如下：
1. 第(1)问：首先明确甲图的电路结构，定值电阻R₀和M、N间接入的电阻箱串联，电压表测量电阻箱两端的电压。由于电源电压恒定不变，我们可以选取两组已知的电阻箱阻值和对应的电压值，根据串联电路电流相等、总电压等于各部分电压之和的规律，分别列出电源电压的表达式，联立两个方程就能解出R₀的阻值和电源电压。
2. 第(2)问：先明确乙图的电路结构，待测电阻和R₀串联，电压表测量R₀两端的电压。电压表量程是0~3V，待测电阻的阻值越小，电路总电阻越小，电流越大，R₀两端的电压就越大。因此当电压表示数达到最大量程3V时，对应的待测电阻就是可测量的最小阻值，再结合串联分压的比例关系就能算出这个最小阻值。
【解析】
(1) 图甲中R₀与电阻箱串联，电压表测电阻箱两端电压，串联电路电流处处相等，电源电压U保持恒定：
当电阻箱阻值R₁=5Ω时，对应电压U₁=1.5V，此时电路电流I₁=U₁/R₁=1.5V/5Ω，电源电压可表示为：
U = I₁R₀ + U₁ = (1.5V/5Ω)×R₀ + 1.5V ---①
当电阻箱阻值R₂=8Ω时，对应电压U₂=2.0V，此时电路电流I₂=U₂/R₂=2V/8Ω，电源电压可表示为：
U = I₂R₀ + U₂ = (2V/8Ω)×R₀ + 2V ---②
联立①②两个方程，解得R₀=10Ω，代入①式可得电源电压U=4.5V。
(2) 图乙中待测电阻与R₀串联，电压表测R₀两端电压，电压表量程为0~3V，电源电压仍为4.5V。当电压表示数达到最大值U大=3V时，电路电流最大，此时待测电阻的阻值最小：
待测电阻两端的电压U小 = U - U大 = 4.5V - 3V = 1.5V
根据串联分压规律，R小/R₀ = U小/U大，代入数值：
R小 = (R₀×U小)/U大 = (10Ω×1.5V)/3V = 5Ω
【答案】
(1) 4.5；10 (2) 5
【知识点】
串联电路规律；欧姆定律应用；串联分压原理
【点评】
本题是电压表改装测电阻的创新探究题，重点考察串联电路规律和欧姆定律的综合应用，解题的关键是区分两个设计方案中电压表的测量对象，第一问利用电源电压不变列方程求解是核心思路，第二问需要准确判断出“待测电阻最小”对应的电路状态是电压表达到满偏量程，部分同学容易混淆两个电路的电压表测量目标导致计算错误。
【难度系数】
0.5
这道题的核心是结合串联电路特点和欧姆定律求解未知量，解题思路如下：
1. 第(1)问：首先明确甲图的电路结构，定值电阻R₀和M、N间接入的电阻箱串联，电压表测量电阻箱两端的电压。由于电源电压恒定不变，我们可以选取两组已知的电阻箱阻值和对应的电压值，根据串联电路电流相等、总电压等于各部分电压之和的规律，分别列出电源电压的表达式，联立两个方程就能解出R₀的阻值和电源电压。
2. 第(2)问：先明确乙图的电路结构，待测电阻和R₀串联，电压表测量R₀两端的电压。电压表量程是0~3V，待测电阻的阻值越小，电路总电阻越小，电流越大，R₀两端的电压就越大。因此当电压表示数达到最大量程3V时，对应的待测电阻就是可测量的最小阻值，再结合串联分压的比例关系就能算出这个最小阻值。
【解析】
(1) 图甲中R₀与电阻箱串联，电压表测电阻箱两端电压，串联电路电流处处相等，电源电压U保持恒定：
当电阻箱阻值R₁=5Ω时，对应电压U₁=1.5V，此时电路电流I₁=U₁/R₁=1.5V/5Ω，电源电压可表示为：
U = I₁R₀ + U₁ = (1.5V/5Ω)×R₀ + 1.5V ---①
当电阻箱阻值R₂=8Ω时，对应电压U₂=2.0V，此时电路电流I₂=U₂/R₂=2V/8Ω，电源电压可表示为：
U = I₂R₀ + U₂ = (2V/8Ω)×R₀ + 2V ---②
联立①②两个方程，解得R₀=10Ω，代入①式可得电源电压U=4.5V。
(2) 图乙中待测电阻与R₀串联，电压表测R₀两端电压，电压表量程为0~3V，电源电压仍为4.5V。当电压表示数达到最大值U大=3V时，电路电流最大，此时待测电阻的阻值最小：
待测电阻两端的电压U小 = U - U大 = 4.5V - 3V = 1.5V
根据串联分压规律，R小/R₀ = U小/U大，代入数值：
R小 = (R₀×U小)/U大 = (10Ω×1.5V)/3V = 5Ω
【答案】
(1) 4.5；10 (2) 5
【知识点】
串联电路规律；欧姆定律应用；串联分压原理
【点评】
本题是电压表改装测电阻的创新探究题，重点考察串联电路规律和欧姆定律的综合应用，解题的关键是区分两个设计方案中电压表的测量对象，第一问利用电源电压不变列方程求解是核心思路，第二问需要准确判断出“待测电阻最小”对应的电路状态是电压表达到满偏量程，部分同学容易混淆两个电路的电压表测量目标导致计算错误。
【难度系数】
0.5
8. 为了比较方便地测量出未知电阻的阻值,物理兴趣小组的同学们设计了一个“电阻测试盒”.将一个电源(电压不变)、一个阻值为$R_0$的定值电阻、一个开关和一个电流表用导线连接起来装入一个盒内,并引出两根导线到盒外,如图甲所示.未使用时,盒内开关断开,电流表无示数.使用时,将盒外的两根导线与待测电阻$R_x$的两端相连,分别读取开关闭合时电流表的示数$I_1$、开关断开时电流表的示数$I_2$,经计算得知$R_x$的阻值.
(1)在图乙的虚线框内画出电阻测试盒中符合上述设计要求的两种可能的电路图.
(2)在你所设计的电路中任选一种,推导出待测电阻$R_x$的表达式.(请说明所选择的电路,$R_x$表达式用已知和测出的物理量符号表示)
(1)在图乙的虚线框内画出电阻测试盒中符合上述设计要求的两种可能的电路图.
(2)在你所设计的电路中任选一种,推导出待测电阻$R_x$的表达式.(请说明所选择的电路,$R_x$表达式用已知和测出的物理量符号表示)
答案
8. (1)如图所示
(2)若采用第一种电路,则$R_x=\dfrac{I_1-I_2}{I_2}R_0$;若采用第二种电路,则$R_x=\dfrac{I_2}{I_1-I_2}R_0$解析:(1)电流表、定值电阻、开关、电源可能组成的两种电路如答图所示.(2)若采用第一种电路,开关闭合时,被测电阻$R_x$与$R_0$并联,电流表测干路电流$I_1$,开关断开时,电路为$R_x$的简单电路,电流表测通过$R_x$的电流$I_2$,则$U=(I_1-I_2)R_0$ ①,$U=I_2R_x$ ②,联立①②,可得$R_x=\dfrac{I_1-I_2}{I_2}R_0$;若采用第二种电路,开关闭合时,$R_0$被短路,电路为$R_x$的简单电路,电流表示数为$I_1$,则$U=I_1R_x$ ③,开关断开时,$R_x$与$R_0$串联,电流表示数为$I_2$,则$U=I_2(R_0+R_x)$ ④,联立③④,可得$R_x=\dfrac{I_2}{I_1-I_2}R_0$.
解析
【分析】
我们首先根据题目给出的条件梳理设计逻辑：盒内包含电源、定值电阻R₀、开关、电流表，仅引出两根外接导线，未接待测电阻Rx且开关断开时电路开路，电流表无示数；接入Rx后，开关闭合、断开分别读取两次电流I₁、I₂，利用电源电压恒定的特点即可推导Rx阻值。首先构思两种符合要求的电路结构：第一种是将定值电阻R₀与开关串联组成一条支路，该支路和外接的Rx并联，电流表接在干路；第二种是将开关与定值电阻R₀并联，该并联部分和外接的Rx、电流表、电源串联，两种结构都能满足开关通断时电路状态变化、得到两组不同电流的要求，之后结合欧姆定律和串并联电路规律就能推导Rx的表达式。
【解析】
(1) 第一种电路设计：电源、电流表在干路，一条支路直接接外接的两根导线（接入Rx），另一条支路是定值电阻R₀和开关串联，开关断开时只有Rx接入电路，开关闭合时R₀和Rx并联。
第二种电路设计：电源、电流表、外接导线（接入Rx）依次串联，定值电阻R₀和开关并联后串联在电路中，开关闭合时R₀被短路，只有Rx接入电路，开关断开时R₀和Rx串联。
(2) 推导过程：
① 若选择第一种电路：
开关闭合时，R₀与Rx并联，电流表测干路总电流I₁；开关断开时，只有Rx接入电路，电流表测Rx的电流I₂。
并联电路干路电流等于支路电流之和，因此通过R₀的电流为I₀=I₁-I₂，电源电压U=(I₁-I₂)R₀；
同时开关断开时电源电压U=I₂R_x，电源电压恒定，联立两式得：I₂R_x=(I₁-I₂)R₀，整理得$R_x=\dfrac{I_1-I_2}{I_2}R_0$。
② 若选择第二种电路：
开关闭合时，R₀被短路，电路只有Rx工作，电流为I₁，因此电源电压U=I₁R_x；
开关断开时，R₀与Rx串联，电流为I₂，因此电源电压U=I₂(R₀+R_x)，电源电压恒定，联立两式得：I₁R_x=I₂(R₀+R_x)，整理得$R_x=\dfrac{I_2}{I_1-I_2}R_0$。
【答案】
若采用第一种电路，则$R_x=\dfrac{I_1-I_2}{I_2}R_0$；若采用第二种电路，则$R_x=\dfrac{I_2}{I_1-I_2}R_0$
【知识点】
安阻法测电阻，欧姆定律应用，串并联电路规律
【点评】
本题属于无电压表的创新型电阻测量实验，跳出常规伏安法的固定思路，要求自主设计电路，利用开关切换电路状态、结合电源电压不变的隐含条件推导待测电阻，既考察了对串并联电路特点的掌握，也锻炼了电路设计和逻辑推导能力，需要注意区分两种电路中开关通断对应的电流含义，避免混淆。
【难度系数】
0.4
我们首先根据题目给出的条件梳理设计逻辑：盒内包含电源、定值电阻R₀、开关、电流表，仅引出两根外接导线，未接待测电阻Rx且开关断开时电路开路，电流表无示数；接入Rx后，开关闭合、断开分别读取两次电流I₁、I₂，利用电源电压恒定的特点即可推导Rx阻值。首先构思两种符合要求的电路结构：第一种是将定值电阻R₀与开关串联组成一条支路，该支路和外接的Rx并联，电流表接在干路；第二种是将开关与定值电阻R₀并联，该并联部分和外接的Rx、电流表、电源串联，两种结构都能满足开关通断时电路状态变化、得到两组不同电流的要求，之后结合欧姆定律和串并联电路规律就能推导Rx的表达式。
【解析】
(1) 第一种电路设计：电源、电流表在干路，一条支路直接接外接的两根导线（接入Rx），另一条支路是定值电阻R₀和开关串联，开关断开时只有Rx接入电路，开关闭合时R₀和Rx并联。
第二种电路设计：电源、电流表、外接导线（接入Rx）依次串联，定值电阻R₀和开关并联后串联在电路中，开关闭合时R₀被短路，只有Rx接入电路，开关断开时R₀和Rx串联。
(2) 推导过程：
① 若选择第一种电路：
开关闭合时，R₀与Rx并联，电流表测干路总电流I₁；开关断开时，只有Rx接入电路，电流表测Rx的电流I₂。
并联电路干路电流等于支路电流之和，因此通过R₀的电流为I₀=I₁-I₂，电源电压U=(I₁-I₂)R₀；
同时开关断开时电源电压U=I₂R_x，电源电压恒定，联立两式得：I₂R_x=(I₁-I₂)R₀，整理得$R_x=\dfrac{I_1-I_2}{I_2}R_0$。
② 若选择第二种电路：
开关闭合时，R₀被短路，电路只有Rx工作，电流为I₁，因此电源电压U=I₁R_x；
开关断开时，R₀与Rx串联，电流为I₂，因此电源电压U=I₂(R₀+R_x)，电源电压恒定，联立两式得：I₁R_x=I₂(R₀+R_x)，整理得$R_x=\dfrac{I_2}{I_1-I_2}R_0$。
【答案】
若采用第一种电路，则$R_x=\dfrac{I_1-I_2}{I_2}R_0$；若采用第二种电路，则$R_x=\dfrac{I_2}{I_1-I_2}R_0$
【知识点】
安阻法测电阻，欧姆定律应用，串并联电路规律
【点评】
本题属于无电压表的创新型电阻测量实验，跳出常规伏安法的固定思路，要求自主设计电路，利用开关切换电路状态、结合电源电压不变的隐含条件推导待测电阻，既考察了对串并联电路特点的掌握，也锻炼了电路设计和逻辑推导能力，需要注意区分两种电路中开关通断对应的电流含义，避免混淆。
【难度系数】
0.4
