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1. 小明和小勇一起玩猜数游戏，小明说：“你随便选定三个一位数，按下列步骤进行计算：①把第一个数乘2；②加上2；③乘5；④加上第二个数；⑤乘10；⑥加上第三个数；只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个一位数.”小勇表示不相信，但试了几次，小明都猜对了，请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”并回答当“最后的得数”是567时，小勇最初选定的三个一位数分别是（
A.5,6,7
B.6,7,8
C.4,6,7
D.5,7,8
C
）A.5,6,7
B.6,7,8
C.4,6,7
D.5,7,8
答案
1. C 提示:设这三个一位数分别为 a,b,c.根据题意,得最后的得数为[(2a+2)×5+b]×10+c,整理,得 100a+10b+c+100,减去 100 后,百位是 a(第一个数),十位是 b(第二个数),个位是 c(第三个数).因为567-100=467,所以第一个数是 4,第二个数是 6,第三个数是 7.
解析
【分析】
拿到这类猜数规律探索题，最清晰的解题思路是用字母表示三个未知的一位数，严格按照题目给出的6步运算顺序，把最终得数转化为含三个字母的代数式，再对代数式展开化简，就能找到最终得数和三个选定数的固定对应关系，代入给定的最终得数567即可直接算出三个数，也可以通过代入选项逐一验证快速排除错误答案。
【解析】
解：设小勇最初选定的三个一位数分别为$a$、$b$、$c$，按照题目给出的运算步骤，最终的得数$N$可表示为：
$\begin{aligned}N&=[(2a + 2)×5 + b]×10 + c\\&=(10a + 10 + b)×10 + c\\&=100a + 100 + 10b + c\\&=100a + 10b + c + 100\end{aligned}$
将式子变形可得：$N - 100 = 100a + 10b + c$，其中$100a+10b+c$是一个百位为$a$、十位为$b$、个位为$c$的三位数。
已知最终得数$N=567$，代入得$567-100=467$，该三位数的百位是4、十位是6、个位是7，因此三个一位数分别是4、6、7。
【答案】
C.4,6,7
【知识点】
列代数式，整式化简，数位的意义
【点评】
本题是典型的趣味代数应用题，既可以通过化简代数式直接得到三个数的对应规律，也可以将选项逐一代入运算步骤验证得到答案，能帮助学生体会代数在生活场景中的妙用，提升用代数思维解决非常规趣味问题的意识。
【难度系数】
0.7
拿到这类猜数规律探索题，最清晰的解题思路是用字母表示三个未知的一位数，严格按照题目给出的6步运算顺序，把最终得数转化为含三个字母的代数式，再对代数式展开化简，就能找到最终得数和三个选定数的固定对应关系，代入给定的最终得数567即可直接算出三个数，也可以通过代入选项逐一验证快速排除错误答案。
【解析】
解：设小勇最初选定的三个一位数分别为$a$、$b$、$c$，按照题目给出的运算步骤，最终的得数$N$可表示为：
$\begin{aligned}N&=[(2a + 2)×5 + b]×10 + c\\&=(10a + 10 + b)×10 + c\\&=100a + 100 + 10b + c\\&=100a + 10b + c + 100\end{aligned}$
将式子变形可得：$N - 100 = 100a + 10b + c$，其中$100a+10b+c$是一个百位为$a$、十位为$b$、个位为$c$的三位数。
已知最终得数$N=567$，代入得$567-100=467$，该三位数的百位是4、十位是6、个位是7，因此三个一位数分别是4、6、7。
【答案】
C.4,6,7
【知识点】
列代数式，整式化简，数位的意义
【点评】
本题是典型的趣味代数应用题，既可以通过化简代数式直接得到三个数的对应规律，也可以将选项逐一代入运算步骤验证得到答案，能帮助学生体会代数在生活场景中的妙用，提升用代数思维解决非常规趣味问题的意识。
【难度系数】
0.7
2. 已知 M,N 两点在数轴上表示的数分别为m 和 n,其中 $m=10,n=-2$. 有一个玩具火车 AB 放置在数轴上,将火车沿数轴左右水平移动,当点 A 移动到点 B 时,点 B与点 M 重合,当点 B 移动到点 A 时,点 A与点 N 重合,则玩具火车的长为
4
个单位长度;将此玩具火车沿数轴左右水平平移,当 $NA:BM=3:1$ 时,点 A 表示的数为4 或 10
.答案
2. 4 4 或 10 提示:由题意可知,MN=3AB,因为 MN=m-n=10-(-2)=12,所以 AB=$\frac{1}{3}$MN=4.设点 A 表示的数为 a,则点 B 表示的数为(a+4),所以 NA=|a-(-2)|=|a+2|,BM=|a+4-10|=|a-6|,所以|a+2|:|a-6|=3:1,即|a+2|=3|a-6|.当 a＜-2时,-(a+2)=-3(a-6),解得 a=10(不符合题意,舍去);当-2≤a＜6 时,a+2=-3(a-6),解得 a=4;当 a≥6 时,a+2=3(a-6)解得 a=10.综上,点 A 表示的数为 4 或 10.
解析
【分析】
首先梳理解题思路：第一步求玩具火车长度，根据题目给出的两次移动规则，能直观发现线段MN的总长度恰好是3倍的火车自身长度，先算出MN的总长度即可快速得到火车长。第二步求点A表示的数，先设点A对应的数为a，结合已经求出的火车长度得到点B对应的数为a+4，再用数轴两点距离公式分别表示出NA和BM，根据给定的比例列出含绝对值的方程，分不同取值范围去掉绝对值符号解方程，最后验证解是否符合对应区间，舍去不符合的结果即可得到最终答案。
【解析】
1. 计算玩具火车的长度：
已知M表示的数m=10，N表示的数n=-2，因此MN的总长度为：
$MN = m - n = 10 - (-2) = 12$
根据移动规则，两次移动的距离都等于火车自身长度，因此MN的长度等于3倍火车AB的长度，即：
$3AB = MN = 12$
解得$AB=4$，即玩具火车长为4个单位长度。
2. 计算$NA:BM=3:1$时点A表示的数：
设点A表示的数为a，因为火车长为4，所以点B表示的数为$a+4$。
根据数轴两点距离公式：
$NA = |a - n| = |a - (-2)| = |a+2|$
$BM = |(a+4) - m| = |a+4 - 10| = |a - 6|$
由$NA:BM=3:1$，可得$|a+2| : |a-6| = 3:1$，即$|a+2| = 3|a-6|$，分三种情况讨论：
① 当$a ＜ -2$时，$a+2 ＜ 0$，$a-6 ＜ 0$，去绝对值得：
$-(a+2) = 3×[-(a-6)]$
化简得：$-a -2 = -3a + 18$，解得$a=10$，不符合$a ＜ -2$的前提，舍去；
② 当$-2 ≤ a ＜ 6$时，$a+2 ≥ 0$，$a-6 ＜ 0$，去绝对值得：
$a+2 = 3×[-(a-6)]$
化简得：$a+2 = -3a + 18$，解得$a=4$，符合$-2 ≤ a ＜ 6$的范围；
③ 当$a ≥ 6$时，$a+2 ＞ 0$，$a-6 ≥ 0$，去绝对值得：
$a+2 = 3(a-6)$
化简得：$a+2 = 3a - 18$，解得$a=10$，符合$a ≥ 6$的范围。
综上，点A表示的数为4或10。
【答案】
4；4或10
【知识点】
数轴两点距离，绝对值方程，数轴动点
【点评】
本题是数轴动点的经典基础题型，第一空通过数形结合快速得到MN与火车长度的三倍关系，大幅简化计算；第二空需要利用绝对值表示两点距离，通过分类讨论去掉绝对值求解，容易出现漏解或者忘记验证解的取值范围的问题，需要注意分类的完整性。
【难度系数】
0.5
首先梳理解题思路：第一步求玩具火车长度，根据题目给出的两次移动规则，能直观发现线段MN的总长度恰好是3倍的火车自身长度，先算出MN的总长度即可快速得到火车长。第二步求点A表示的数，先设点A对应的数为a，结合已经求出的火车长度得到点B对应的数为a+4，再用数轴两点距离公式分别表示出NA和BM，根据给定的比例列出含绝对值的方程，分不同取值范围去掉绝对值符号解方程，最后验证解是否符合对应区间，舍去不符合的结果即可得到最终答案。
【解析】
1. 计算玩具火车的长度：
已知M表示的数m=10，N表示的数n=-2，因此MN的总长度为：
$MN = m - n = 10 - (-2) = 12$
根据移动规则，两次移动的距离都等于火车自身长度，因此MN的长度等于3倍火车AB的长度，即：
$3AB = MN = 12$
解得$AB=4$，即玩具火车长为4个单位长度。
2. 计算$NA:BM=3:1$时点A表示的数：
设点A表示的数为a，因为火车长为4，所以点B表示的数为$a+4$。
根据数轴两点距离公式：
$NA = |a - n| = |a - (-2)| = |a+2|$
$BM = |(a+4) - m| = |a+4 - 10| = |a - 6|$
由$NA:BM=3:1$，可得$|a+2| : |a-6| = 3:1$，即$|a+2| = 3|a-6|$，分三种情况讨论：
① 当$a ＜ -2$时，$a+2 ＜ 0$，$a-6 ＜ 0$，去绝对值得：
$-(a+2) = 3×[-(a-6)]$
化简得：$-a -2 = -3a + 18$，解得$a=10$，不符合$a ＜ -2$的前提，舍去；
② 当$-2 ≤ a ＜ 6$时，$a+2 ≥ 0$，$a-6 ＜ 0$，去绝对值得：
$a+2 = 3×[-(a-6)]$
化简得：$a+2 = -3a + 18$，解得$a=4$，符合$-2 ≤ a ＜ 6$的范围；
③ 当$a ≥ 6$时，$a+2 ＞ 0$，$a-6 ≥ 0$，去绝对值得：
$a+2 = 3(a-6)$
化简得：$a+2 = 3a - 18$，解得$a=10$，符合$a ≥ 6$的范围。
综上，点A表示的数为4或10。
【答案】
4；4或10
【知识点】
数轴两点距离，绝对值方程，数轴动点
【点评】
本题是数轴动点的经典基础题型，第一空通过数形结合快速得到MN与火车长度的三倍关系，大幅简化计算；第二空需要利用绝对值表示两点距离，通过分类讨论去掉绝对值求解，容易出现漏解或者忘记验证解的取值范围的问题，需要注意分类的完整性。
【难度系数】
0.5
3. 一创意钟面的背景图是一副三角板，如图所示，点$O$为钟面的圆心，$∠ A = ∠ C = 90°$，$∠ BOA = 45°$，$∠ COD = 60°$，且点$A$，$O$，$C$在同一直线上，边$OC$直指数字12，边$OA$直指数字6，记时针为线段$OP$，分针为线段$OQ$，且运行正常.
(1) 边$OD$所指的钟面数字为
(2) 在某一时刻，时针$OP$恰好平分$∠ AOB$，求此时分针$OQ$与边$OC$夹角的度数.
(3) 当时针$OP$与分针$OQ$均在背景三角形内部(不含边界)，且时针和分针恰在同一直线上时，求此时钟面显示的时间.
(1) 边$OD$所指的钟面数字为
2
，当时针$OP$与$OB$重合时，钟面显示的时间为7时30分
.(2) 在某一时刻，时针$OP$恰好平分$∠ AOB$，求此时分针$OQ$与边$OC$夹角的度数.
(3) 当时针$OP$与分针$OQ$均在背景三角形内部(不含边界)，且时针和分针恰在同一直线上时，求此时钟面显示的时间.
答案
3. (1) 2 7 时 30 分
(2) 解: 因为 OP 平分 ∠AOB, 所以∠POA=22.5°.因为时针一小时走 30°,所以时针一分钟走 30°÷60=0.5°,所以 22.5°÷0.5°=45(min),所以 OQ 指向数字 9,即 OQ边与 OC 的夹角为 90°.
(3) 解:三点在同一直线上有两种情况OP 和 OQ 重合,或者点 P 与点 Q 在点 O 的异侧.
①如图 1,设 12 时 x 分时,时针和分针在同一直线上,且点 P 与点 Q 在点 O 的异侧. 由6x-0.5x=180,得 $x=\frac{360}{11}$,即 12 时$\frac{360}{11}$分;
②如图 2,设 1 时 x 分时,时针 OP 和分针OQ 重合. 由 6x-0.5x=30,得 $x=\frac{60}{11}$,即 1 时$\frac{60}{11}$分;
③如图 3,设 1 时 x 分时,时针和分针在同一直线上,且点 P 与点 Q 在点 O 的异侧. 由6x-0.5x=210,得 $x=\frac{420}{11}$,此时 OQ 不在背景三角形内,应舍去;
④如图 4,设 6 时 x 分时,时针 OP 和分针OQ 重合. 由 6x-0.5x=180,得 $x=\frac{360}{11}$,即 6时$\frac{360}{11}$分;
⑤如图 5,设 7 时 x 分时,时针和分针在同一直线上,且点 P 与点 Q 在点 O 异侧. 由6x-0.5x=30,得 $x=\frac{60}{11}$,即 7 时$\frac{60}{11}$分.
⑥设 7 时 x 分时,时针和分针重合. 由6x-0.5x=210,得 $x=\frac{420}{11}$,此时 OQ 不在背景三角形内,应舍去.
综上所述,符合条件的时间为 12 时$\frac{360}{11}$分或 1 时$\frac{60}{11}$分或 6 时$\frac{360}{11}$分或 7 时$\frac{60}{11}$分.
解析
【分析】
解题思路分三步推进：
1. 先解决第(1)问：首先钟面一圈360°，12个刻度均分，相邻数字对应圆心角为30°。已知OC指向12，∠COD=60°，60°÷30°=2，顺时针数2个刻度就能得到OD指向的数字；已知OA指向6，∠BOA=45°，时针每小时走30°，45°对应1.5小时，从6点往后推1.5小时就得到OB重合时的时间。
2. 第(2)问：根据角平分线定义算出∠POA的度数，结合时针每分钟走0.5°的规律，算出时针从OA（指向6）走到OP位置经过的分钟数，也就是当前时刻的分钟数，再结合分针每分钟走6°，算出分针的位置，进而得到它和OC（指向12）的夹角度数。
3. 第(3)问：先明确两个阴影三角形对应的圆心角范围：上方△OCD内部是12点方向顺时针到2点方向的60°区域，下方△OAB内部是6点方向逆时针到7点半方向的45°区域。时针分针共线分两种情况：两针重合、两针反向相差180°，分别设不同整点后的分钟数为未知数，用分针每分钟走6°、时针每分钟走0.5°的角度差列方程求解，最后筛选出两个指针都落在对应三角形内部的解，舍去不符合边界要求的结果。
【解析】
(1) 钟面一圈为360°，12个刻度将圆周均分，相邻两个数字对应的圆心角为$360°÷12=30°$。
已知OC指向数字12，$∠ COD=60°$，$60°÷30°=2$，从12顺时针数2个刻度，可得OD指向数字2；
已知OA指向数字6，$∠ BOA=45°$，时针每小时转动$30°$，$45°$对应时长为$45°÷30°=1.5$小时，$6时+1.5小时=7时30分$，因此时针与OB重合时显示时间为7时30分。
(2) 因为OP平分$∠ AOB$，$∠ AOB=45°$，所以$∠ POA=\frac{1}{2}∠ AOB=22.5°$。
时针每小时转动$30°$，因此时针每分钟转动$30°÷60=0.5°$，时针从OA位置走到OP位置经过的时间为$22.5°÷0.5°=45$分钟。
分针每分钟转动$360°÷60=6°$，45分钟分针转动的角度为$45×6°=270°$，从数字12位置顺时针转$270°$指向数字9，OC指向数字12，因此OQ与OC的夹角为$90°$。
(3) 时针和分针在同一直线分为两种情况：两针重合、两针在点O异侧反向共线。
首先确定两个阴影三角形的内部范围：上方△OCD内部为12点方向顺时针到2点方向的60°区域，下方△OAB内部为6点方向逆时针到7点半方向的45°区域，逐个验证所有共线时刻：
① 设12时x分，两针反向共线，满足$6x - 0.5x = 180$，解得$x=\frac{360}{11}$，此时分针指向12点方向顺时针180°即6点附近，落在下方△OAB内部，时针也在12点附近落在上方△OCD内部，符合要求；
② 设1时x分，两针重合，满足$6x - 0.5x = 30$，解得$x=\frac{60}{11}$，此时两针都落在1点附近，属于上方△OCD内部，符合要求；
③ 设1时x分，两针反向共线，满足$6x - 0.5x = 210$，解得$x=\frac{420}{11}$，此时分针指向7点附近，不在背景三角形内部，舍去；
④ 设6时x分，两针重合，满足$6x - 0.5x = 180$，解得$x=\frac{360}{11}$，此时两针都落在6点附近，属于下方△OAB内部，符合要求；
⑤ 设7时x分，两针反向共线，满足$6x - 0.5x = 30$，解得$x=\frac{60}{11}$，此时分针指向1点附近，时针指向7点附近，分别落在两个三角形内部，符合要求；
⑥ 设7时x分，两针重合，满足$6x - 0.5x = 210$，解得$x=\frac{420}{11}$，此时分针指向7点附近，不在背景三角形内部，舍去。
综上筛选得到所有符合条件的时刻。
【答案】
(1) 2；7时30分
(2) $90°$
(3) 12时$\frac{360}{11}$分或1时$\frac{60}{11}$分或6时$\frac{360}{11}$分或7时$\frac{60}{11}$分
【知识点】
钟面角计算，角平分线性质，一元一次方程应用
【点评】
本题结合创意三角板钟面的生活化场景，将常规钟面角问题和几何区域限制结合，需要学生先明确两个阴影三角形对应的圆心角范围，分类讨论时针分针共线的两类情况，逐一验证解的合理性，容易出现漏解、错判指针位置的问题，能很好地锻炼学生的分类讨论思维和几何空间感知能力。
【难度系数】
0.3
解题思路分三步推进：
1. 先解决第(1)问：首先钟面一圈360°，12个刻度均分，相邻数字对应圆心角为30°。已知OC指向12，∠COD=60°，60°÷30°=2，顺时针数2个刻度就能得到OD指向的数字；已知OA指向6，∠BOA=45°，时针每小时走30°，45°对应1.5小时，从6点往后推1.5小时就得到OB重合时的时间。
2. 第(2)问：根据角平分线定义算出∠POA的度数，结合时针每分钟走0.5°的规律，算出时针从OA（指向6）走到OP位置经过的分钟数，也就是当前时刻的分钟数，再结合分针每分钟走6°，算出分针的位置，进而得到它和OC（指向12）的夹角度数。
3. 第(3)问：先明确两个阴影三角形对应的圆心角范围：上方△OCD内部是12点方向顺时针到2点方向的60°区域，下方△OAB内部是6点方向逆时针到7点半方向的45°区域。时针分针共线分两种情况：两针重合、两针反向相差180°，分别设不同整点后的分钟数为未知数，用分针每分钟走6°、时针每分钟走0.5°的角度差列方程求解，最后筛选出两个指针都落在对应三角形内部的解，舍去不符合边界要求的结果。
【解析】
(1) 钟面一圈为360°，12个刻度将圆周均分，相邻两个数字对应的圆心角为$360°÷12=30°$。
已知OC指向数字12，$∠ COD=60°$，$60°÷30°=2$，从12顺时针数2个刻度，可得OD指向数字2；
已知OA指向数字6，$∠ BOA=45°$，时针每小时转动$30°$，$45°$对应时长为$45°÷30°=1.5$小时，$6时+1.5小时=7时30分$，因此时针与OB重合时显示时间为7时30分。
(2) 因为OP平分$∠ AOB$，$∠ AOB=45°$，所以$∠ POA=\frac{1}{2}∠ AOB=22.5°$。
时针每小时转动$30°$，因此时针每分钟转动$30°÷60=0.5°$，时针从OA位置走到OP位置经过的时间为$22.5°÷0.5°=45$分钟。
分针每分钟转动$360°÷60=6°$，45分钟分针转动的角度为$45×6°=270°$，从数字12位置顺时针转$270°$指向数字9，OC指向数字12，因此OQ与OC的夹角为$90°$。
(3) 时针和分针在同一直线分为两种情况：两针重合、两针在点O异侧反向共线。
首先确定两个阴影三角形的内部范围：上方△OCD内部为12点方向顺时针到2点方向的60°区域，下方△OAB内部为6点方向逆时针到7点半方向的45°区域，逐个验证所有共线时刻：
① 设12时x分，两针反向共线，满足$6x - 0.5x = 180$，解得$x=\frac{360}{11}$，此时分针指向12点方向顺时针180°即6点附近，落在下方△OAB内部，时针也在12点附近落在上方△OCD内部，符合要求；
② 设1时x分，两针重合，满足$6x - 0.5x = 30$，解得$x=\frac{60}{11}$，此时两针都落在1点附近，属于上方△OCD内部，符合要求；
③ 设1时x分，两针反向共线，满足$6x - 0.5x = 210$，解得$x=\frac{420}{11}$，此时分针指向7点附近，不在背景三角形内部，舍去；
④ 设6时x分，两针重合，满足$6x - 0.5x = 180$，解得$x=\frac{360}{11}$，此时两针都落在6点附近，属于下方△OAB内部，符合要求；
⑤ 设7时x分，两针反向共线，满足$6x - 0.5x = 30$，解得$x=\frac{60}{11}$，此时分针指向1点附近，时针指向7点附近，分别落在两个三角形内部，符合要求；
⑥ 设7时x分，两针重合，满足$6x - 0.5x = 210$，解得$x=\frac{420}{11}$，此时分针指向7点附近，不在背景三角形内部，舍去。
综上筛选得到所有符合条件的时刻。
【答案】
(1) 2；7时30分
(2) $90°$
(3) 12时$\frac{360}{11}$分或1时$\frac{60}{11}$分或6时$\frac{360}{11}$分或7时$\frac{60}{11}$分
【知识点】
钟面角计算，角平分线性质，一元一次方程应用
【点评】
本题结合创意三角板钟面的生活化场景，将常规钟面角问题和几何区域限制结合，需要学生先明确两个阴影三角形对应的圆心角范围，分类讨论时针分针共线的两类情况，逐一验证解的合理性，容易出现漏解、错判指针位置的问题，能很好地锻炼学生的分类讨论思维和几何空间感知能力。
【难度系数】
0.3
