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8. 如图,一块三角板$60°$角的顶点放在直尺的一边上。若$∠ 1=2∠ 2$,则$∠ 1$的度数为（
A.$40°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
D
）A.$40°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
8.D
解析
【分析】首先观察图形，直尺的两边互相平行，结合三角板的60°角，可知∠1、∠2与三角板的60°角构成一个平角（三者之和为180°）。题目给出∠1=2∠2，因此可通过代入已知的角的倍数关系，列方程求出∠1的度数。
【解析】根据平角的定义，∠1 + ∠2 + 60° = 180°。已知∠1=2∠2，将其代入上式得：2∠2 + ∠2 + 60° = 180°，即3∠2 = 120°，解得∠2=40°，因此∠1=2×40°=80°。
【答案】D
【知识点】平行线性质、平角定义、角度计算
【点评】本题结合直尺与三角板的摆放，考查基础的角度计算，利用平角的性质和已知的角的倍数关系即可求解，属于常规题型。
【难度系数】0.6
【解析】根据平角的定义，∠1 + ∠2 + 60° = 180°。已知∠1=2∠2，将其代入上式得：2∠2 + ∠2 + 60° = 180°，即3∠2 = 120°，解得∠2=40°，因此∠1=2×40°=80°。
【答案】D
【知识点】平行线性质、平角定义、角度计算
【点评】本题结合直尺与三角板的摆放，考查基础的角度计算，利用平角的性质和已知的角的倍数关系即可求解，属于常规题型。
【难度系数】0.6
9. 如图的剪拼过程(由左向右)可以验证的公式是（
A.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
B.$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
C.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
D.$a(a + b) = (a - b)(a + 2b)$
A
）A.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
B.$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
C.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
D.$a(a + b) = (a - b)(a + 2b)$
答案
9.A
解析
【分析】本题利用剪拼前后阴影部分面积不变的特点，通过计算剪拼前后阴影部分的面积，推导对应的代数公式，核心是数形结合思想的应用。
【解析】剪拼前，阴影部分的面积等于边长为$a$的大正方形面积减去边长为$b$的小正方形面积，即$a^2 - b^2$；剪拼后，阴影部分可拼成一个长为$(a + b)$、宽为$(a - b)$的长方形，其面积为$(a + b)(a - b)$。由于剪拼前后阴影部分面积相等，因此$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】平方差公式、图形面积计算
【点评】本题通过几何剪拼验证代数公式，直观体现了平方差公式的几何意义，需要准确分析剪拼前后图形的面积关系。
【难度系数】0.5
【解析】剪拼前，阴影部分的面积等于边长为$a$的大正方形面积减去边长为$b$的小正方形面积，即$a^2 - b^2$；剪拼后，阴影部分可拼成一个长为$(a + b)$、宽为$(a - b)$的长方形，其面积为$(a + b)(a - b)$。由于剪拼前后阴影部分面积相等，因此$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】平方差公式、图形面积计算
【点评】本题通过几何剪拼验证代数公式，直观体现了平方差公式的几何意义，需要准确分析剪拼前后图形的面积关系。
【难度系数】0.5
10. 如图所示的运算程序中,如果开始输入$ x $的值为2,可以发现第一次输出的结果为$-\dfrac{1}{2}$,第二次输出的结果为$-2$,……那么第2025次输出的结果是（
A.1
B.2
C.$-2$
D.$-\dfrac{1}{2}$
A
）A.1
B.2
C.$-2$
D.$-\dfrac{1}{2}$
答案
10.A 解析:因为第1次输出的结果为$-\dfrac{1}{2}$,第2次输出的结果为$-2$,所以第3次输出的结果为$-\dfrac{1}{-2+1}=1$,所以第4次输出的结果为$-\dfrac{1}{1+1}=-\dfrac{1}{2}$,……所以输出的结果以$-\dfrac{1}{2}$,$-2$,1为一组依次循环,因为$2025÷3=675$,所以第2025次输出的结果为1。 思路点拨:本题属于规律探究题,解答这类题目往往需要先分析观察前面的计算结果,并从中找出规律,进而求解。
解析
【分析】
本题是规律探究题，解题时需先根据给定的运算程序依次计算前几次的输出结果，从中找出结果的循环规律，再通过计算目标次数除以循环周期的余数，确定第2025次的输出结果。运算程序为：每次输入x，先计算$-\dfrac{1}{x}$输出；若需循环，则将本次输出结果加1作为新的输入x，重复运算。
【解析】
1. 第1次输入$x=2$，输出结果为：$-\dfrac{1}{2}$；
2. 第2次输入为第1次输出加1，即$-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}$，输出结果为：$-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=-2$；
3. 第3次输入为第2次输出加1，即$-2+1=-1$，输出结果为：$-\dfrac{1}{-1}=1$；
4. 第4次输入为第3次输出加1，即$1+1=2$，输出结果为：$-\dfrac{1}{2}$；
……
由此可知，输出结果以$-\dfrac{1}{2}, -2, 1$为一组，每3次一循环。
计算$2025÷3=675$，无余数，说明第2025次输出结果与循环组的第3个结果相同，即1。
【答案】
A
【知识点】
规律探究、代数式求值
【点评】
本题通过运算程序的结果变化寻找循环规律，考查学生的观察、归纳与计算能力，是常见的规律探究类基础题型。
【难度系数】
0.5
本题是规律探究题，解题时需先根据给定的运算程序依次计算前几次的输出结果，从中找出结果的循环规律，再通过计算目标次数除以循环周期的余数，确定第2025次的输出结果。运算程序为：每次输入x，先计算$-\dfrac{1}{x}$输出；若需循环，则将本次输出结果加1作为新的输入x，重复运算。
【解析】
1. 第1次输入$x=2$，输出结果为：$-\dfrac{1}{2}$；
2. 第2次输入为第1次输出加1，即$-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}$，输出结果为：$-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=-2$；
3. 第3次输入为第2次输出加1，即$-2+1=-1$，输出结果为：$-\dfrac{1}{-1}=1$；
4. 第4次输入为第3次输出加1，即$1+1=2$，输出结果为：$-\dfrac{1}{2}$；
……
由此可知，输出结果以$-\dfrac{1}{2}, -2, 1$为一组，每3次一循环。
计算$2025÷3=675$，无余数，说明第2025次输出结果与循环组的第3个结果相同，即1。
【答案】
A
【知识点】
规律探究、代数式求值
【点评】
本题通过运算程序的结果变化寻找循环规律，考查学生的观察、归纳与计算能力，是常见的规律探究类基础题型。
【难度系数】
0.5
11.分解因式：$a^2 - 2a =$
$a(a-2)$
。答案
11.$a(a-2)$
解析
【分析】
本题考查因式分解的基本方法，观察多项式$a^2 - 2a$，两项都含有公因式$a$，因此优先使用提公因式法分解：先确定公因式，再将公因式提取出来，剩余部分组成新的因式，最后检查是否还能继续分解。
【解析】
多项式$a^2 - 2a$的两项公因式为$a$，提取公因式$a$后，得到$a(a - 2)$，且$a - 2$无法继续分解，因此分解结果为$a(a - 2)$。
【答案】
$a(a-2)$
【知识点】
提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，直接考察提公因式法的应用，难度较低，主要检验学生对因式分解基本方法的掌握程度。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解的基本方法，观察多项式$a^2 - 2a$，两项都含有公因式$a$，因此优先使用提公因式法分解：先确定公因式，再将公因式提取出来，剩余部分组成新的因式，最后检查是否还能继续分解。
【解析】
多项式$a^2 - 2a$的两项公因式为$a$，提取公因式$a$后，得到$a(a - 2)$，且$a - 2$无法继续分解，因此分解结果为$a(a - 2)$。
【答案】
$a(a-2)$
【知识点】
提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，直接考察提公因式法的应用，难度较低，主要检验学生对因式分解基本方法的掌握程度。
【难度系数】
0.9
12. 某校对100名女生的身高进行了测量，身高在157 cm至162 cm的小组有20人，则该组的频率是________。
答案
12.0.2
解析
【分析】
首先明确频率的计算公式：频率=该组的频数÷数据总数。题目中给出总共有100名女生（即数据总数为100），身高在157 cm至162 cm的小组人数为20人（即该组的频数为20），将对应数值代入公式即可求出该组的频率。
【解析】
根据频率的定义，频率的计算公式为：频率 = 频数 ÷ 数据总数。
已知数据总数是100，该组的频数是20，代入公式计算：
频率 = 20 ÷ 100 = 0.2。
【答案】
0.2
【知识点】
频率计算、统计初步
【点评】
本题考查频率的基础计算，属于统计类的基础题型，只需牢记频率与频数、数据总数的关系就能快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.9
首先明确频率的计算公式：频率=该组的频数÷数据总数。题目中给出总共有100名女生（即数据总数为100），身高在157 cm至162 cm的小组人数为20人（即该组的频数为20），将对应数值代入公式即可求出该组的频率。
【解析】
根据频率的定义，频率的计算公式为：频率 = 频数 ÷ 数据总数。
已知数据总数是100，该组的频数是20，代入公式计算：
频率 = 20 ÷ 100 = 0.2。
【答案】
0.2
【知识点】
频率计算、统计初步
【点评】
本题考查频率的基础计算，属于统计类的基础题型，只需牢记频率与频数、数据总数的关系就能快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.9
13.若$x^2+kx+9=(x-3)^2$，则$k$的值是$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
13.$-6$
解析
【分析】要确定k的值，需先利用完全平方公式将等式右边的式子展开，再根据多项式相等时对应项的系数相等，建立关于k的方程，进而求出k的值。
【解析】解：先展开等式右边的完全平方式：
$(x-3)^2 = x^2 - 2· x·3 + 3^2 = x^2 -6x +9$
已知$x^2 +kx +9=(x-3)^2$，即$x^2 +kx +9 =x^2 -6x +9$，根据多项式对应项系数相等，可得$k=-6$。
【答案】$-6$
【知识点】完全平方公式，多项式相等的性质
【点评】本题考查完全平方公式的基础应用，解题关键是正确展开完全平方式并利用对应项系数相等求解，属于难度较低的基础题型。
【难度系数】0.8
【解析】解：先展开等式右边的完全平方式：
$(x-3)^2 = x^2 - 2· x·3 + 3^2 = x^2 -6x +9$
已知$x^2 +kx +9=(x-3)^2$，即$x^2 +kx +9 =x^2 -6x +9$，根据多项式对应项系数相等，可得$k=-6$。
【答案】$-6$
【知识点】完全平方公式，多项式相等的性质
【点评】本题考查完全平方公式的基础应用，解题关键是正确展开完全平方式并利用对应项系数相等求解，属于难度较低的基础题型。
【难度系数】0.8
14. 如图,将三角形ABC沿水平方向向右平移到三角形DEF的位置。已知BF=9,EC=3,则A,D两点之间的距离是
3
。答案
14.3
解析
【分析】要解决这道题，需利用平移的性质：图形平移后，对应点的连线平行且相等，对应线段也相等。本题中△ABC平移到△DEF，点B对应E、点C对应F，因此BE=CF，且AD与BE是对应点的连线，故AD=BE。接下来结合已知的BF和EC长度，通过线段和差关系计算BE的长度，即可得到AD的距离。
【解析】
∵△ABC沿水平方向向右平移到△DEF的位置，
∴BE=CF，且AD=BE（对应点连线相等）。
又
∵BF=BE + EC + CF，已知BF=9，EC=3，
将CF替换为BE，可得：9 = BE + 3 + BE，
即2BE=9-3=6，解得BE=3，
∴AD=BE=3。
【答案】3
【知识点】平移的性质
【点评】本题考查平移的基本性质，核心是理解平移后对应点连线相等，属于基础题型，只要掌握平移性质就能顺利解题。
【难度系数】0.5
【解析】
∵△ABC沿水平方向向右平移到△DEF的位置，
∴BE=CF，且AD=BE（对应点连线相等）。
又
∵BF=BE + EC + CF，已知BF=9，EC=3，
将CF替换为BE，可得：9 = BE + 3 + BE，
即2BE=9-3=6，解得BE=3，
∴AD=BE=3。
【答案】3
【知识点】平移的性质
【点评】本题考查平移的基本性质，核心是理解平移后对应点连线相等，属于基础题型，只要掌握平移性质就能顺利解题。
【难度系数】0.5
15.“绿水青山就是金山银山”，某市为美化环境，计划种植树木1 200棵。在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵数比原计划增加了25%，结果比原计划提前4天完成任务。设原计划每天植树$ x $棵，则$ x $满足的方程是________。
答案
15.$\dfrac{1200}{x}-\dfrac{400}{x}-\dfrac{1200-400}{(1+25\%)x}=4$
解析
【分析】
本题属于工程类分式方程应用题，解题思路是先明确原计划总工作时间，再分别计算已完成工作量的时间和剩余工作量的实际工作时间，最后根据“原计划总时间 - 实际总时间 = 提前的4天”这一等量关系列方程。具体步骤：①计算原计划总时间；②计算已种400棵的原计划时间；③计算剩余工作量及实际效率，进而得到剩余工作量的实际时间；④根据时间差的等量关系整理方程。
【解析】
设原计划每天植树$x$棵：
1. 原计划完成1200棵的总时间为$\dfrac{1200}{x}$天；
2. 已种植400棵按原计划所需时间为$\dfrac{400}{x}$天；
3. 剩余未种植的树木数量为$1200-400=800$棵，实际每天种植棵数为$(1+25\%)x$，因此种植剩余树木的实际时间为$\dfrac{800}{(1+25\%)x}$天；
4. 实际总时间为$\dfrac{400}{x}+\dfrac{800}{(1+25\%)x}$天；
5. 因实际比原计划提前4天完成，故原计划总时间减实际总时间等于4，列出方程：$\dfrac{1200}{x}-\dfrac{400}{x}-\dfrac{1200-400}{(1+25\%)x}=4$。
【答案】
$\dfrac{1200}{x}-\dfrac{400}{x}-\dfrac{1200-400}{(1+25\%)x}=4$
【知识点】
分式方程应用，工程问题
【点评】
本题是初中数学分式方程的典型基础题型，核心是理清工作量、工作效率、工作时间的关系，找准时间差的等量关系，难度适中，适合巩固分式方程的应用方法。
【难度系数】
0.6
本题属于工程类分式方程应用题，解题思路是先明确原计划总工作时间，再分别计算已完成工作量的时间和剩余工作量的实际工作时间，最后根据“原计划总时间 - 实际总时间 = 提前的4天”这一等量关系列方程。具体步骤：①计算原计划总时间；②计算已种400棵的原计划时间；③计算剩余工作量及实际效率，进而得到剩余工作量的实际时间；④根据时间差的等量关系整理方程。
【解析】
设原计划每天植树$x$棵：
1. 原计划完成1200棵的总时间为$\dfrac{1200}{x}$天；
2. 已种植400棵按原计划所需时间为$\dfrac{400}{x}$天；
3. 剩余未种植的树木数量为$1200-400=800$棵，实际每天种植棵数为$(1+25\%)x$，因此种植剩余树木的实际时间为$\dfrac{800}{(1+25\%)x}$天；
4. 实际总时间为$\dfrac{400}{x}+\dfrac{800}{(1+25\%)x}$天；
5. 因实际比原计划提前4天完成，故原计划总时间减实际总时间等于4，列出方程：$\dfrac{1200}{x}-\dfrac{400}{x}-\dfrac{1200-400}{(1+25\%)x}=4$。
【答案】
$\dfrac{1200}{x}-\dfrac{400}{x}-\dfrac{1200-400}{(1+25\%)x}=4$
【知识点】
分式方程应用，工程问题
【点评】
本题是初中数学分式方程的典型基础题型，核心是理清工作量、工作效率、工作时间的关系，找准时间差的等量关系，难度适中，适合巩固分式方程的应用方法。
【难度系数】
0.6
16.如图,将边长分别为2,3,5的正方形GBIR,AFNE,CJQH放置在长方形ABCD内,阴影部分的面积分别为$S_1,S_2$。若$S_1=S_2$,则长方形ABCD的周长是$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
16.26 解析:设$AB=a$,$AD=b$,所以$FG=a-2-3=a-5$,$GK=b-5$,$MN=3-(a-5)=8-a$,$MQ=3-(b-5)=8-b$,所以$S_1=MN·MQ=(8-a)(8-b)=64-8a-8b+ab$,$S_2=FG·GK=(a-5)(b-5)=ab-5a-5b+25$,因为$S_1=S_2$,所以$64-8a-8b+ab=ab-5a-5b+25$,所以$a+b=13$,所以$2(a+b)=26$,即长方形ABCD的周长是26。 解题密码:本题主要考查了二元一次方程的应用,解题的关键是设出长方形ABCD的长和宽,并用相关字母分别表示出FG,GK,MN,MQ的长,并运用整体思想求解。
解析
【分析】
要解决该问题，需先设长方形ABCD的长和宽为字母，结合图中正方形的边长，用字母表示出阴影部分的边长，进而得到两个阴影面积的表达式；利用阴影面积相等的条件列出等式，通过化简计算出长与宽的和，最终求出长方形周长，解题关键是运用整体思想简化计算。
【解析】
设长方形ABCD的长AB = a，宽AD = b。
根据正方形边长分别为2（GBIR）、3（AFNE）、5（CJQH），可得：
FG = AB - AF - GB = a - 3 - 2 = a - 5，
GK = AD - AF - CJQH的边长 = b - 5，
MN = AFNE的边长 - FG = 3 - (a - 5) = 8 - a，
MQ = AFNE的边长 - GK = 3 - (b - 5) = 8 - b。
因此，阴影面积：
$S_1 = MN·MQ = (8 - a)(8 - b) = 64 - 8a - 8b + ab$，
$S_2 = FG·GK = (a - 5)(b - 5) = ab - 5a - 5b + 25$。
因为$S_1 = S_2$，所以：
$64 - 8a - 8b + ab = ab - 5a - 5b + 25$，
消去ab后整理得：$3a + 3b = 39$，即$a + b = 13$。
长方形ABCD的周长为$2(a + b) = 2×13 = 26$。
【答案】
26
【知识点】
二元一次方程应用、整体思想
【点评】
本题通过设长方形的长和宽，用字母表示相关线段长度，结合阴影面积相等的条件，利用整体思想简化计算，考查了学生的代数表达与方程应用能力。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需先设长方形ABCD的长和宽为字母，结合图中正方形的边长，用字母表示出阴影部分的边长，进而得到两个阴影面积的表达式；利用阴影面积相等的条件列出等式，通过化简计算出长与宽的和，最终求出长方形周长，解题关键是运用整体思想简化计算。
【解析】
设长方形ABCD的长AB = a，宽AD = b。
根据正方形边长分别为2（GBIR）、3（AFNE）、5（CJQH），可得：
FG = AB - AF - GB = a - 3 - 2 = a - 5，
GK = AD - AF - CJQH的边长 = b - 5，
MN = AFNE的边长 - FG = 3 - (a - 5) = 8 - a，
MQ = AFNE的边长 - GK = 3 - (b - 5) = 8 - b。
因此，阴影面积：
$S_1 = MN·MQ = (8 - a)(8 - b) = 64 - 8a - 8b + ab$，
$S_2 = FG·GK = (a - 5)(b - 5) = ab - 5a - 5b + 25$。
因为$S_1 = S_2$，所以：
$64 - 8a - 8b + ab = ab - 5a - 5b + 25$，
消去ab后整理得：$3a + 3b = 39$，即$a + b = 13$。
长方形ABCD的周长为$2(a + b) = 2×13 = 26$。
【答案】
26
【知识点】
二元一次方程应用、整体思想
【点评】
本题通过设长方形的长和宽，用字母表示相关线段长度，结合阴影面积相等的条件，利用整体思想简化计算，考查了学生的代数表达与方程应用能力。
【难度系数】
0.5
