1. 已知: $△ AOB$ 和 $△ COD$ 均为等腰直角三角形, $∠ AOB=∠ COD=90°$, 连接 $AD,BC$, 点 $H$ 为 $BC$ 中点, 连接 $OH$.
(1) 如图①所示, 点 $C,D$ 分别在边 $OA,OB$ 上, 求证: $OH=\dfrac{1}{2}AD$ 且 $OH⊥ AD$.
(2) 将 $△ COD$ 绕点 $O$ 旋转到图②所示位置时, 线段 $OH$ 与 $AD$ 又有怎样的关系? 证明你的结论.
(3) 如图③所示, 当 $OB=4,OD=1$ 时, 求 $OH$ 长的取值范围.

1.(1)
∵ △OAB 与 △OCD 均为等腰直角三角形, ∠AOB = ∠COD = 90°,
∴ OC = OD, OA = OB. 在 △AOD 与 △BOC 中,
$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOD=∠BOC, \\ OD=OC, \end{cases}$
∴ △AOD ≅ △BOC ( SAS ),
∴ ∠ADO = ∠BCO, ∠OAD = ∠OBC, BC = AD.
∵ 点 H 为线段 BC 的中点,
∴ $CH=HB=\dfrac{1}{2}BC$, $OH=\dfrac{1}{2}BC$,
∴ ∠OBH = ∠HOB = ∠OAD. 又
∵ ∠OAD+∠ADO = 90°,
∴ ∠ADO + ∠BOH = 90°,
∴ OH ⊥ AD.
∵ $AD=BC$, $OH=\dfrac{1}{2}BC$,
∴ $OH=\dfrac{1}{2}AD$.
(2) 结论: $OH=\dfrac{1}{2}AD$, $OH⊥AD$. 证明: 如图①, 延长 OH 到 E,使得 HE = OH, 连接 BE,
∵ 点 H 是 BC 的中点,
∴ BH = CH,易证△BEH≅△COH( SAS ),
∴ OC = BE, OE = 2OH, ∠EBC = ∠BCO,
∴ ∠OBE = ∠EBC + ∠OBC = ∠BCO + ∠OBC = 180° - ∠BOC.
∵ ∠AOB = ∠COD = 90°,
∴ ∠AOD = 180° - ∠BOC = ∠OBE.
∵ OB = OA, OC = OD = BE,
∴ △BEO≅△ODA( SAS ),
∴ $OE=AD$, $∠EOB=∠DAO$,
∴ $OH=\dfrac{1}{2}OE=\dfrac{1}{2}AD$.
∵ ∠AOB = 90°,
∴ ∠DAO+∠AOH = ∠EOB+∠AOH = 90°,
∴ OH ⊥ AD.
(3) 如图②, 延长 OH 到 M, 使得 HM = OH, 连接 BM.
∵ BH = CH, OH = MH, ∠BHM = ∠CHO,
∴ △BMH ≅ △COH ( SAS ),
∴ BM = OC.
∵ OB = 4, OD = OC = BM = 1,
∴ 4-1 ≤ OM ≤ 4+1, 即 3 ≤ OM ≤ 5.
∵ OM = 2OH,
∴ $\dfrac{3}{2}≤OH≤\dfrac{5}{2}$.

2. 【感知】如图①,在四边形ABCD中,∠C=∠ADC=90°,点E在边CD上,且满足△AEB是等腰直角三角形,∠AEB=90°.求证:△ADE≌△ECB.
【拓展】如图②,点E在四边形ABCD内,∠AEB+∠DEC=180°,且AE=BE,DE=CE,过点E作EF交AD于点F,使∠EFA=∠AEB,延长FE交BC于点G.试探究BG与BC之间的数量关系,并说明理由.

【感知】
∵ △AEB 是等腰直角三角形, ∠C = ∠D = 90°,
∴ ∠C = ∠D = ∠AEB = 90°, AE = BE,
∴ ∠BEC + ∠AED = ∠AED+∠EAD = 90°,
∴ ∠BEC = ∠EAD. 在△ADE 和△ECB 中,
$\begin{cases} ∠EAD=∠BEC, \\ ∠D=∠C, \\ AE=EB, \end{cases}$
∴ △ADE≅△ECB( AAS ).
【拓展】$BG=\dfrac{1}{2}BC$.理由如下:如图,在 FG 的延长线上取点 P,使 EP = AF, 在 FG 上取点 Q, 使 EQ = FD, 连接 BP, CQ.
∵ ∠AEB+ ∠AEF + ∠BEP = 180°, ∠AEF + ∠AFE + ∠EAF = 180°, ∠EFA = ∠AEB,
∴ ∠BEP = ∠EAF, 在 △AEF 和 △EBP中, $\begin{cases} AE=EB, \\ ∠EAF=∠BEP, \\ AF=EP, \end{cases}$
∴ △AEF ≅ △EBP ( SAS ),
∴ EF = BP,∠AFE = ∠EPB,同理可得,△DEF≅△ECQ( SAS ),
∴ EF = CQ,∠EFD = ∠CQE,
∴ BP = CQ.
∵ ∠EFD+∠AFE = 180°, ∠CQE+∠CQG = 180°,
∴ ∠CQG = ∠AFE = ∠BPG,在△BPG和△CQG中,
$\begin{cases} ∠BPG=∠CQG, \\ ∠BGP=∠CGQ, \\ BP=CQ, \end{cases}$
∴ △BPG ≅ △CQG( AAS ),
∴ BG = CG,
∴ $BG=\dfrac{1}{2}BC$.