28. 如图 21 所示为某科技小组自制测量液体密度的密度秤的示意图。其制作过程如下：

(1) 选用一根长为 L，可以绕点 O 转动的轻质长杆 AC（杆的质量、杆与 O 点之间的摩擦忽略不计），在杆的一端 A 点挂一个质量为 $ m_0 $，容积为 $ V_0 $ 的小桶，$ AO = \frac{1}{4}L $，在 O 点的另一侧用轻质细绳悬挂一个质量为 $ 2 m_0 $ 的秤砣，秤砣可沿 OC 左右滑动；
(2) 当小桶为空桶时移动秤砣至点 B，此时密度秤正好水平平衡，在 B 点标上“0”；
(3) 在小桶中装满待测液体，移动秤砣到相应的位置使密度秤再次水平平衡，通过计算在杆上标上相应的密度值，这样密度秤就制成了。试通过计算回答以下问题：
①点 B 到 O 的距离是多少；
②该密度秤所能测量的最大密度是多少；
③通过计算，试判断该密度秤的刻度是否均匀。温馨提示：推导计算过程中需要的物理量，请提前设定！

28.解:(1)当小桶为空桶时移动秤砣至点B,此时密度秤正好水平平衡,根据杠杆平衡条件得到
$G_{\mathrm{桶}}·OA=G_{\mathrm{砣}}·OB$
所以$OB=\frac{G_{\mathrm{桶}}}{G_{\mathrm{砣}}}OA=\frac{m_{0}g}{2m_{0}g}×\frac{1}{4}L=\frac{1}{8}L$。
(2)当右侧的力臂为$OC=AC - OA = L - \frac{1}{4}L=\frac{3}{4}L$时,该密度秤小桶所能测量液体的质量最大,则密度就最大,根据杠杆平衡条件得
$(G_{\mathrm{桶}}+G_{\mathrm{液}})·OA=G_{\mathrm{砣}}·OC$
即$(m_{\mathrm{桶}}+m_{\mathrm{液}})g·OA=m_{\mathrm{砣}}g·OC$。
液体的质量$m_{\mathrm{液}}=\frac{OC}{OA}m_{\mathrm{砣}}-m_{\mathrm{桶}}=\frac{\frac{3}{4}L}{\frac{1}{4}L}×2m_{0}-m_{0}=5m_{0}$,
液体的最大密度$\rho_{\mathrm{液大}}=\frac{m_{\mathrm{液}}}{V_{0}}=\frac{5m_{0}}{V_{0}}$。
(3)由杠杆平衡条件可知$(G_{\mathrm{液}}+G_{\mathrm{桶}})·OA=G_{\mathrm{砣}}·OB$,
得到$(\rho_{\mathrm{液}}gV_{0}+m_{0}g)×\frac{1}{4}L=2m_{0}g×OB$,
解得$\rho_{\mathrm{液}}=\frac{8m_{0}×OB - m_{0}L}{V_{0}L}$,
所以液体密度与提纽到秤砣的距离之间的关系是一次函数,因此密度秤的刻度是均匀的。

29. “漏刻”是古代滴水计时的工具，由播水壶和受水壶两部分组成，浮箭在底面积为 800 cm² 的受水壶中，如图 22 甲所示。重 12 N 的浮箭是由底面积 400 cm²、高 3 cm 的长方体浮块和标尺组成，如图乙所示。播水壶中的水深始终为 h，使水能均匀滴入受水壶中，浮箭上升后指针指在浮箭标尺上的刻度即可读取时间。受水壶中没有水时，指针所指标尺的位置标为“开始滴水”，标尺上每一格的长度均相同。从刻度“一”起，每一格表示的时间为 10 min，播水壶 1 min 滴水的质量为 80 g，求：

(1) 当浮箭漂浮时，浮箭所受浮力；
(2) 当受水壶壶底受到压强为 900 Pa 时，浮箭上升的距离；
(3) 从“开始滴水”到刻度“一”，浮力对浮箭做功的最小功率；聪明的你肯定对此“漏刻”爱不释手，请写出一个改进方案使它计时更精确。

29.解:(1)当浮箭漂浮时,此时浮力等于浮箭的重力,即$F_{\mathrm{浮}}=G=12\ \mathrm{N}$。
(2)当浮箭漂浮时,根据$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}}=\rho_{\mathrm{水}}gS_{\mathrm{箭}}h_{\mathrm{箭}}$可知,浮箭浸没的深度
$h_{\mathrm{箭}}=\frac{F_{\mathrm{浮}}}{\rho_{\mathrm{水}}gS_{\mathrm{箭}}}=\frac{12\ \mathrm{N}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}×400×10^{-4}\ \mathrm{m}^{2}}=0.03\ \mathrm{m}$;
当受水壶壶底受到压强为900 Pa时,水的深度
$h=\frac{p}{\rho_{\mathrm{水}}g}=\frac{900\ \mathrm{Pa}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}}=0.09\ \mathrm{m}$,
则浮箭上升的距离为$\Delta h=h - h_{\mathrm{箭}}=0.09\ \mathrm{m}-0.03\ \mathrm{m}=0.06\ \mathrm{m}$。
(3)根据开始滴水到计时10 min计算滴入水的体积,
开始滴水到浮箭漂浮,滴水的体积为$V=(800\ \mathrm{cm}^{2}-400\ \mathrm{cm}^{2})×3\ \mathrm{cm}=1200\ \mathrm{cm}^{3}$,
播水壶1 min滴水的质量为80 g,体积$V'=\frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{80\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^{3}}=80\ \mathrm{cm}^{3}$,
浮箭没有浮起来时间为$t=\frac{V}{V'}=\frac{1200\ \mathrm{cm}^{3}}{80\ \mathrm{cm}^{3}}=15\ \mathrm{min}$。
10 min滴水的体积$V''=10V'=800\ \mathrm{cm}^{3}$,
浮箭上升的高度$H=\frac{V''}{S}=\frac{800\ \mathrm{cm}^{3}}{800\ \mathrm{cm}^{2}}=1\ \mathrm{cm}=0.01\ \mathrm{m}$,
做功$W=GH=12\ \mathrm{N}×0.01\ \mathrm{m}=0.12\ \mathrm{J}$,所用时间为$t'=15\ \mathrm{min}+10\ \mathrm{min}=25\ \mathrm{min}=1500\ \mathrm{s}$,
功率$P=\frac{W}{t}=\frac{0.12\ \mathrm{J}}{1500\ \mathrm{s}}=8×10^{-5}\ \mathrm{W}$。
由于播水壶随着高度减小,滴水速度减小,为了提高精确度,选择底面积更大的播水壶,或者自动控制系统控制播水壶液面高度不变。