1. 已知一组数据$7 , x , 7 , 8$。若这组数据的唯一众数和平均数恰好相等，则$x$的值为（）

A.5
B.6
C.7
D.8

1. B 根据题意，得这组数据的众数为7，则平均数为7，
∴(7+x+7+8)÷4=7，解得x=6.

【分析】
拿到这道题我们先梳理解题思路：首先明确两个核心概念，众数是一组数据里出现次数最多的数，唯一众数代表整组数据只有一个数的出现次数是最多的；平均数是所有数据总和除以数据总个数。先观察已知数据：7已经出现2次，8出现1次，x是未知数。我们先逐一排除不符合“唯一众数”的情况：如果x取8，7和8都出现2次，就有两个众数，不符合要求；如果x取7，7出现3次，计算得平均数为7.25，和众数7不相等，也不符合题意。因此可以确定这组数据的唯一众数只能是7，结合“众数和平均数相等”的条件，得到平均数也为7，代入平均数公式列方程就能解出x，最后验证结果符合要求即可。
【解析】
解：根据题干“唯一众数”的限定条件逐步分析：
1. 若x=8：此时7和8都出现2次，存在两个众数，不符合“唯一众数”的要求，排除该情况；
2. 若x=7：此时7共出现3次，计算得平均数为$\frac{7+7+7+8}{4}=7.25$，与众数7不相等，不符合题意，排除该情况；
因此这组数据的唯一众数只能是7，由题意可知平均数也等于7，代入平均数计算公式列方程：
$\frac{7 + x + 7 + 8}{4} = 7$
整理得：$22 + x = 28$
解得：$x=6$
验证：此时数据为7、6、7、8，7出现2次，其余数都只出现1次，唯一众数为7，平均数为7，完全符合所有题干条件。
所以x的值为6。
【答案】B
【知识点】
众数概念，平均数计算
【点评】
本题属于统计模块的基础题，易错点是忽略题干里“唯一众数”的限定，没有提前排除x=7、x=8的特殊情况，直接默认众数为7计算，容易出现逻辑漏洞，解题时要先结合“唯一”的约束锁定众数的取值，再完成后续计算验证即可。
【难度系数】
0.7

2. 有两名同学正在讨论他们班的视力情况，王同学说：“我们班有一半同学的视力在5.0以上，一半同学的不到5.0.”李同学说：“我们班大部分同学的视力都是4.9.”以上两名同学所说的话分别针对
（）

A.平均数、众数
B.中位数、众数
C.中位数、平均数
D.平均数、中位数

2. B 王同学说的话以5.0为中间的标准，指的是中位数；李同学说的话是指大部分同学的视力，指的是众数.

【分析】
我们先回忆三个常见统计量的核心特征：中位数是将数据排序后处于中间位置的数，天然可以把全部数据平分为数量相等的两部分，一半数据大于它、一半小于它；众数是一组数据里出现次数最多的数值，对应占比最高的情况；平均数是所有数据的平均值，反映整体平均水平。首先看王同学的描述：一半同学视力在5.0以上、一半不到，刚好符合中位数“将数据平分为两半”的特征，说明他描述的是中位数。再看李同学的描述：大部分同学视力都是4.9，也就是视力为4.9的人数最多，符合众数“出现次数最多”的特征，说明他描述的是众数，据此就能匹配出正确选项。
【解析】
1. 分析王同学的表述：把全班同学的视力数据从小到大排序后，恰好有一半数据大于5.0，一半数据小于5.0，完全符合中位数的定义，因此王同学所说的统计量是中位数。
2. 分析李同学的表述：“大部分同学的视力都是4.9”说明视力为4.9的同学人数最多，也就是该组数据中4.9出现的频次最高，符合众数的定义，因此李同学所说的统计量是众数。
综上两名同学的话分别针对中位数、众数，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
中位数的意义，众数的意义
【点评】
本题结合生活场景考察统计量的实际含义，不需要复杂计算，核心是区分平均数、中位数、众数各自的代表意义，避免混淆三个统计量的适用场景，属于统计章节的基础概念类题型。
【难度系数】
0.8

3. 已知一组数据 $2,9,6,10,x$ 的众数是 $x$ ,其中 $x$ 又是不等式组 $\begin{cases}2\ 026x-4\ 052＞0,\\ 14-2(x-3)＞0\end{cases}$ 的一个整数解,则这组数据的中位数是 ______ .

3. 6或9

∵不等式组的解集为2＜x＜10，
∴不等式组的整数解是3,4,5,6,7,8,9.
∵这组数据2,9,6,10,x的众数是x，
∴x=6或9.
∴这组数据的中位数是6或9.

【分析】
我们可以按照三步思路来解题：第一步先求解给定的一元一次不等式组，得到它所有的整数解；第二步结合众数的定义筛选符合条件的x，题目说明众数是x，意味着x是这组数据里出现次数最多的数，原数据里2、6、9、10都只出现1次，因此x必须是这几个数中的一个，才能保证x的出现次数不少于其他数，成为众数，从之前得到的整数解里挑出满足条件的x；第三步把筛选出的x分别代入原数据，排序后找到位于中间位置的数也就是中位数，最终得到结果。
【解析】
1. 求解不等式组
解第一个不等式 $2026x - 4052 ＞ 0$：
移项得 $2026x ＞ 4052$，两边同时除以2026，解得 $x ＞ 2$；
解第二个不等式 $14 - 2(x - 3) ＞ 0$：
去括号得 $14 - 2x + 6 ＞ 0$，合并同类项得 $20 - 2x ＞ 0$，移项化简得 $x ＜ 10$。
因此不等式组的解集为 $2 ＜ x ＜ 10$，对应的整数解为3、4、5、6、7、8、9。
2. 结合众数条件筛选x
已知数据为2,9,6,10,x，众数是x，说明x是这组数据中出现次数最多的数。原有的4个数据2、6、9、10都仅出现1次，若x取3、4、5、7、8这些不在原有数据中的整数，所有数据都只出现1次，不存在唯一众数，不符合条件，因此x只能取6或者9。
3. 分别计算两种情况的中位数
当x=6时，将数据从小到大排序为2,6,6,9,10，共5个数据，中位数是排序后第3个的数，即6；
当x=9时，将数据从小到大排序为2,6,9,9,10，共5个数据，中位数是排序后第3个的数，即9。
综上这组数据的中位数是6或9。
【答案】
6或9
【知识点】
解一元一次不等式组，众数，中位数
【点评】
本题将一元一次不等式组求解和统计的基础概念结合考查，核心易错点是忽略“众数是x”的隐含限制，误选不等式组的其他整数解，同时要注意本题存在两个符合条件的x，避免漏解其中一种情况。
【难度系数】
0.6

4. 五个整数按从小到大的顺序排列,中位数为4,如果这五个整数的唯一众数是6,那么这五个整数的和最大是（）

A.21
B.22
C.23
D.24

4. A 由五个整数按从小到大的顺序排列，中位数为4及这五个整数的唯一众数是6，可得前两个数不是同一个数且小于4.
∴前两个整数最大是2,3，后两个整数为6,6，即这五个整数为2,3,4,6,6.
∴这五个整数的和最大是21.

【分析】
我们可以先把五个从小到大排列的整数按顺序标记为a≤b≤c≤d≤e，首先根据中位数的定义，5个数据的中位数是排序后第3个数据，直接得到c=4。接下来结合“唯一众数是6”的条件，众数是出现次数最多的数，6要成为唯一的出现次数最多的数，由于c已经是4，不可能有3个6，因此后两个数d、e只能都是6，保证6出现2次。接下来要让五个数的总和最大，就需要让前两个数a、b尽可能大，同时要满足没有其他数的出现次数达到2次，不然就会出现多个众数，不符合“唯一众数”的要求，由此筛选出a、b的最大取值，最后计算总和即可。
【解析】
解：设从小到大排列的5个整数为$a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e$
1. 由中位数的定义，5个数据的中位数是排序后的第3个数据，因此$c=4$。
2. 已知唯一众数是6，说明6的出现次数多于其他所有数：由于$c=4$，不可能存在3个6，因此只能让后两个数均为6，即$d=6,e=6$，此时6共出现2次。
3. 要保证6是唯一众数，其余数字的出现次数都不能达到2次，因此$a ≠ b$，且$b ＜ 4$，同时b不能等于4，否则4也会出现2次，和6同为众数。
4. 要让五个数的和最大，需要取a、b的最大可能值：小于4的互不相等的整数最大为2和3，即$a=2,b=3$。
5. 计算总和：$2+3+4+6+6=21$。
【答案】
A
【知识点】
中位数定义，众数定义
【点评】
本题属于统计概念的应用型题目，核心考点是对“唯一众数”的条件限制的理解，不少同学会忽略“唯一”的要求，错误取前两个数为3、3得到和为22的错误结果，解题时需要先锁定固定位置的数值，再结合限制条件最大化其余变量的取值。
【难度系数】
0.4

5. 端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，并对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数. 为了解这次活动的效果，现从这两个年级中各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制成如下统计图表：
七年级10名学生活动成绩统计表

八年级10名学生活动成绩扇形统计图

已知七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分.
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）$a=$，$b=$.
（2）样本中，八年级活动成绩为7分的学生有名，八年级活动成绩的众数为分.
（3）若活动成绩不低于9分为“优秀”，请根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由.

5. (1) 2;3.

∵七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
∴成绩由低到高排列，第5位的成绩为8分，第6位的成绩为9分，即a=2，b=3. （2）2;8. 样本中，八年级活动成绩为7分的学生有10×(1-40%-20%-20%-20%)=2(人)，八年级活动成绩的众数为8分. （3）本次活动中优秀率高的年级不是平均成绩也高. 理由：结合(1)(2)中所求，可得七年级的优秀率为$\frac{3+2}{10}×100\%=50\%$，八年级的优秀率为20%+20%=40%；七年级的平均成绩为$\frac{1}{10}×(6×2+7×1+8×2+9×3+10×2)=8.2$(分)，八年级的平均成绩为7×20%+8×40%+9×20%+10×20%=8.4(分).
∵七年级的优秀率高于八年级，但七年级的平均成绩低于八年级，
∴本次活动中优秀率高的年级不是平均成绩也高.

【分析】
这道题是统计综合题，我们可以分三步梳理思路：
1. 解决第一问：已知七年级共抽取10名学生，10个数据的中位数是排序后第5、第6个数据的平均数，题目给出中位数是8.5，说明第5个成绩是8分、第6个成绩是9分。先统计已知分数的总人数：6分有2人、7分有1人，加起来一共3人，要让第5个数据是8分，说明8分的人数a就是2；再用总人数10减去已知所有分数段的人数，就能算出b的值。
2. 解决第二问：扇形统计图所有百分比之和为1，用1减去其他分数的占比就能得到7分对应的占比，乘总人数10就得到7分的人数；占比最高的分数就是八年级成绩的众数。
3. 解决第三问：先分别计算两个年级的优秀率（成绩≥9分的占比），再分别计算两个年级的平均成绩，对比两个年级的优秀率和平均成绩的高低关系，就能得出结论。
【解析】
（1）七年级共抽取10名学生，10个数据的中位数为排序后第5、第6个成绩的平均数，由中位数为8.5可知，第5位成绩为8分，第6位成绩为9分。
已知成绩为6分的有2人，7分的有1人，成绩≤7分的共3人，因此8分的人数a=5-3=2；
总人数为10，因此b=10-2-1-2-2=3。
（2）八年级抽取10名学生，成绩为7分的占比为：1-40%-20%-20%-20%=20%，因此成绩为7分的学生人数为10×20%=2名；
所有分数中8分的占比最高（40%），因此八年级活动成绩的众数为8分。
（3）分别计算两个年级的优秀率和平均成绩：
七年级优秀率：$\frac{3+2}{10}×100\%=50\%$，
七年级平均成绩：$\frac{1}{10}×(6×2+7×1+8×2+9×3+10×2)=8.2$分；
八年级优秀率：$20\%+20\%=40\%$，
八年级平均成绩：$7×20\%+8×40\%+9×20\%+10×20\%=8.4$分。
对比可得：七年级优秀率高于八年级，但七年级平均成绩低于八年级，因此优秀率高的年级平均成绩不是也高。
【答案】
（1）2；3
（2）2；8
（3）本次活动中优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由见上述解析。
【知识点】
中位数计算，扇形统计图，平均数与众数
【点评】
本题结合校园实践活动场景，综合考察统计模块的多个核心概念，既要求学生能利用中位数的定义反推未知数据，也要求学生能结合扇形图提取信息计算统计量，最后通过对比两个维度的统计量得出结论，整体计算量不大，侧重考察对统计概念的理解应用。
【难度系数】
0.6