1. (教材例题变式)已知反比例函数的图象经过点$(-\dfrac{1}{2},-2)$.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)完成下列表格.

(3)根据以上信息,在下面的平面直角坐标系中画出该反比例函数的图象.

(1)设反比例函数的表达式为$y=\dfrac{k}{x}$.根据题意,得$k=(-2)×(-\dfrac{1}{2})=1$,$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\dfrac{1}{x}$.
(2)$\dfrac{1}{2}$ 1 2
(3)如图所示.

【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），已知图象上一点的坐标，将其代入表达式即可求出$k$，进而确定函数表达式；对于表格，只需将对应$x$值代入已求出的表达式计算$y$值；绘制图象时，先取合适的$x$值计算对应的$y$值，描点后用平滑曲线连接，注意反比例函数的图象是双曲线，分为两支。
【解析】
(1) 设反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），将点$(-\frac{1}{2}, -2)$代入表达式，得：
$k = x · y = (-\frac{1}{2}) × (-2) = 1$，
因此反比例函数的表达式为$y=\frac{1}{x}$。
(2) 将对应的$x$值代入$y=\frac{1}{x}$计算$y$值：
当$x=2$时，$y=\frac{1}{2}$；当$x=1$时，$y=1$；当$x=\frac{1}{2}$时，$y=2$，故表格依次填$\frac{1}{2}$、$1$、$2$。
(3) 根据表达式$y=\frac{1}{x}$，取点如$(\frac{1}{2},2)$、$(1,1)$、$(2,\frac{1}{2})$、$(-\frac{1}{2},-2)$、$(-1,-1)$、$(-2,-\frac{1}{2})$等，在平面直角坐标系中描点，再用平滑曲线连接各点，得到反比例函数的图象（如图所示）。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{x}$；(2) $\frac{1}{2}$，$1$，$2$；(3)
【知识点】
反比例函数表达式、反比例函数图象、反比例函数性质
【点评】
本题为教材例题变式题，考查反比例函数的核心基础知识点，包括表达式的求解、函数值计算及图象绘制，是巩固反比例函数知识的典型基础题。
【难度系数】
0.2

2. (2025·广州)若$|k|=-k(k ≠ 0)$,则反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象位于（）

A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限

C 解析:$\because |k|=-k(k≠0)$,$\therefore k＜0$,$\therefore$反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象在第二、四象限.

【分析】首先根据绝对值的性质，当一个数的绝对值等于它的相反数且该数不为0时，这个数为负数，由此确定k的正负；再结合反比例函数的图象与k的关系，判断其所在象限，进而选出正确选项。
【解析】解：
∵|k|=-k（k≠0），根据绝对值的性质，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数，
∴k＜0。对于反比例函数y=k/x，当k＜0时，其图象位于第二、四象限，因此答案选C。
【答案】C
【知识点】绝对值的性质，反比例函数的图象性质
【点评】本题综合考查绝对值的性质和反比例函数的图象特征，属于基础题型，解题关键是先确定k的符号，再结合反比例函数性质判断象限，难度适中。
【难度系数】0.7

3. (2024·北京)在平面直角坐标系中,若函数$y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$的图象经过点$(3,y_{1})$和$(-3,y_{2})$,则$y_{1}+y_{2}$的值是.

0 解析:$\because$函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$(3,y_1)$和$(-3,y_2)$,$\therefore y_1=\dfrac{k}{3}$,$y_2=-\dfrac{k}{3}$,$\therefore y_1+y_2=0$.

【分析】要解决这个问题，需利用反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点的横、纵坐标的乘积等于$k$。因此，将已知两点的坐标代入函数式，分别求出$y_1$和$y_2$，再计算它们的和即可。
【解析】因为函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$(3,y_1)$和$(-3,y_2)$，所以把点$(3,y_1)$代入函数得：$y_1=\dfrac{k}{3}$；把点$(-3,y_2)$代入函数得：$y_2=\dfrac{k}{-3}=-\dfrac{k}{3}$。则$y_1+y_2=\dfrac{k}{3}+(-\dfrac{k}{3})=0$。
【答案】0
【知识点】反比例函数的性质
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，属于基础题，直接代入计算即可，难度较低。
【难度系数】0.8

4. 已知 $A(m+3,2)$、$B(3,\dfrac{m}{3})$ 是同一个反比例函数图象上的两个点.
(1)求 $m$ 的值.
(2)画出这个反比例函数的图象.
(3)在函数图象上标出 $A$、$B$ 两点.

(1)设此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$.
$\because A(m+3,2)$、$B(3,\dfrac{m}{3})$是同一个反比例函数图象上的两个点,$\therefore k=2(m+3)=3×\dfrac{m}{3}$,解得$m=-6$.
(2)由(1)得,$m=-6$,则$k=3×\dfrac{-6}{3}=-6$,故反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{6}{x}$.画出函数图象如图所示.
(3)$\because m=-6$,$\therefore A(-3,2)$,$B(3,-2)$.如图所示.

【分析】：要解决本题，需利用反比例函数图象上点的坐标特征：同一反比例函数图象上的点，其横纵坐标的乘积等于比例系数$k$。因此，已知两点在同一反比例函数图象上，可通过两点横纵坐标乘积相等列方程求$m$；求出$m$后，代入点坐标得到具体点，进而确定反比例函数表达式，完成画图和标点。
【解析】：(1) 设该反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。因为点$A(m+3,2)$、$B(3,\frac{m}{3})$在该反比例函数图象上，所以两点横纵坐标的乘积均等于$k$，即：
$2(m+3)=3×\frac{m}{3}$
化简得：$2m +6 = m$
移项解得：$m=-6$。
(2) 将$m=-6$代入点$B$的坐标，得$k=3×\frac{-6}{3}=-6$，故反比例函数表达式为$y=-\frac{6}{x}$，根据反比例函数的图象特征，画出图象（如图所示）。
(3) 把$m=-6$代入$A$、$B$的坐标，得$A(-3,2)$，$B(3,-2)$，在函数图象上标出这两个点（如图所示）。
【答案】：(1) $m=-6$；(2) 反比例函数图象如图所示；(3) $A(-3,2)$、$B(3,-2)$，如图所示。
【知识点】：反比例函数、待定系数法
【点评】：本题是反比例函数的基础题型，核心考查反比例函数图象上点的坐标性质，通过待定系数法确定函数表达式，需掌握反比例函数的基本性质。
【难度系数】：0.5