1. 反比例函数
(1)定义:一般地,形如($k$是常数,$k ≠ 0$)的函数叫作反比例函数,其中$x$是,$y$是$x$的.
(2)表达式:、或.
(3)自变量$x$的取值范围:.

1. (1)$y=\dfrac{k}{x}$ 自变量 函数 (2)$y=\dfrac{k}{x}$ $xy=k$ $y=kx^{-1}$ (3)$x≠0$

【分析】
本题考查反比例函数的基础概念，需准确回忆反比例函数的定义、表达式形式及自变量的取值范围，逐一对应填空即可完成解答。
【解析】
(1) 根据反比例函数的定义，形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$是常数，$k≠0$）的函数叫作反比例函数，其中$x$是自变量，$y$是$x$的函数；
(2) 反比例函数的常见表达式有三种，分别为$y=\dfrac{k}{x}$、$xy=k$、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）；
(3) 由于反比例函数表达式中分母不能为0，因此自变量$x$的取值范围是$x≠0$。
【答案】
1. (1)$y=\dfrac{k}{x}$ 自变量 函数 (2)$y=\dfrac{k}{x}$ $xy=k$ $y=kx^{-1}$ (3)$x≠0$
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的表达式；自变量的取值范围
【点评】
本题是对反比例函数核心基础概念的直接考查，属于识记类题目，难度较低，只要牢记相关知识点就能轻松作答。
【难度系数】
0.9

2. 反比例函数的图象与性质
(1)画函数图象的步骤:①;②;③.
(2)反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象由组成.当$k＞0$时,两支曲线分别位于第象限,在每一个象限内,$y$随$x$的增大而;当$k＜0$时,两支曲线分别位于第象限,在每一个象限内,$y$随$x$的增大而.
(3)反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象既是图形,又是图形,它有条对称轴,且对称轴互相,对称中心是.
(4)比例系数$k$的几何意义:在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上任取一点,过这个点向$x$轴和$y$轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值;在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上任取一点向任一坐标轴作垂线,这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是定值.

2. (1)列表 描点 连线 (2)两支曲线 一、三 减小 二、四 增大 (3)中心对称 轴对称 2 垂直 坐标原点 (4)$|k|$ $\dfrac{1}{2}|k|$

【分析】
本题考查反比例函数的图象与性质相关的基础知识点，解题时需回忆反比例函数的图象绘制步骤、图象特征、对称性及比例系数k的几何意义等课本核心内容，逐一对应每个小问题的要求填写正确结论即可。
【解析】
(1) 绘制函数图象（针对反比例函数这类曲线）的步骤为：先选取合适的自变量值列表，再描出对应的点，最后用平滑曲线连线，故依次填列表、描点、连线；
(2) 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象由两支曲线（双曲线）组成；当$k＞0$时，两支曲线位于第一、三象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，两支曲线位于第二、四象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大；
(3) 反比例函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形；它有2条对称轴，且对称轴互相垂直，对称中心是坐标原点；
(4) 根据比例系数$k$的几何意义，在反比例函数图象上任取一点向两坐标轴作垂线，围成的矩形面积为定值$|k|$；该点、垂足与坐标原点构成的三角形面积为定值$\dfrac{1}{2}|k|$。
【答案】
2. (1)列表 描点 连线 (2)两支曲线 一、三 减小 二、四 增大 (3)中心对称 轴对称 2 垂直 坐标原点 (4)$|k|$ $\dfrac{1}{2}|k|$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，反比例函数k的几何意义，函数图象的绘制步骤
【点评】
本题为反比例函数的基础概念考查题，聚焦课本核心知识点，难度较低，主要检验学生对基础知识的识记与掌握程度。
【难度系数】
0.9

3. 用反比例函数解决问题
利用反比例函数解决实际问题的基本步骤:(1)审题,找出题目中的常量、变量;(2)设出反比例函数表达式,其中待定系数用表示;(3)根据已知条件,求出待定系数,确定反比例函数表达式;(4)用表达式去解决实际问题.

3. (2)字母 (4)反比例函数

【分析】
本题考查用反比例函数解决实际问题的基本步骤，解题时需回忆该步骤的具体内容：设反比例函数表达式时，待定系数用字母表示；最后用已确定的反比例函数表达式解决实际问题，据此完成填空即可。
【解析】
根据用反比例函数解决实际问题的基本步骤：步骤(2)设反比例函数表达式时，待定系数用字母表示；步骤(4)是利用已求出的反比例函数表达式解决实际问题，因此两处分别对应填写字母和反比例函数。
【答案】
(2)字母；(4)反比例函数
【知识点】
反比例函数的应用
【点评】
本题属于基础概念识记题，考查反比例函数解决实际问题的基本流程，侧重对基础知识的掌握，难度较低。
【难度系数】
0.9

1. 下列函数中,变量 $y$ 是 $x$ 的反比例函数的为
（）

A.$y=\dfrac{x}{4}$
B.$y=\dfrac{4}{x+2}$
C.$y=\dfrac{4}{x}$
D.$y=4x$

1. C

【分析】
要判断变量$ y $是否是$ x $的反比例函数，需先明确反比例函数的定义：形如$ y = \frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $，$ x≠0 $）的函数是反比例函数，再逐一分析选项是否符合该形式。
【解析】
1. 反比例函数定义：形如$ y = \frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $，$ x≠0 $）的函数为反比例函数。
2. 选项A：$ y=\frac{x}{4} = \frac{1}{4}x $，符合正比例函数$ y=kx $（$ k=\frac{1}{4}≠0 $）的形式，是正比例函数，不是反比例函数，排除A。
3. 选项B：$ y=\frac{4}{x+2} $，分母为$ x+2 $，不是单独的$ x $，不符合反比例函数的定义，排除B。
4. 选项C：$ y=\frac{4}{x} $，符合$ y=\frac{k}{x} $（$ k=4≠0 $）的形式，是反比例函数，C正确。
5. 选项D：$ y=4x $，符合正比例函数$ y=kx $（$ k=4≠0 $）的形式，是正比例函数，不是反比例函数，排除D。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题考查反比例函数的基本定义，属于函数部分的基础考点，需准确区分正比例函数与反比例函数的形式，难度较低，适合巩固基础概念。
【难度系数】
0.8

2. 若反比例函数$y=(m+2)x^{|m|-5}$的图象位于第一、三象限，则$m$的值为。

2. 4 解析:$\because$反比例函数$y=(m+2)x^{|m|-5}$的图象在第一、三象限,$\therefore|m|-5=-1$且$m+2＞0$,解得$m=4$.

【分析】
要解决这道题，需结合反比例函数的定义和性质：
1. 反比例函数的一般形式为$y = kx^{-1}$（$k≠0$），因此自变量$x$的次数必须为$-1$，且比例系数不能为0；
2. 反比例函数的图象位于第一、三象限时，比例系数$k＞0$。
据此列出关于$m$的条件，求解后筛选出符合要求的$m$值即可。
【解析】
解：因为函数$y=(m+2)x^{|m|-5}$是反比例函数，且图象位于第一、三象限，所以需满足以下条件：
① 反比例函数的指数条件：$|m| - 5 = -1$，解得$|m|=4$，即$m=4$或$m=-4$；
② 比例系数不为0：$m+2≠0$，即$m≠-2$；
③ 图象在第一、三象限，比例系数大于0：$m+2＞0$，即$m＞-2$；
结合上述条件，$m=4$满足所有要求，$m=-4$不满足$m＞-2$，故舍去。
因此$m$的值为4。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数的定义、反比例函数的性质
【点评】
本题考查反比例函数的定义与性质，需同时满足“反比例函数的指数要求、系数不为0”的定义条件，以及“图象象限对应系数符号”的性质条件，解题时需仔细筛选，避免遗漏条件导致错误。
【难度系数】
0.6

3. 若$y$与$x-1$成反比例，且当$x=\dfrac{1}{2}$时，$y=\dfrac{1}{3}$，则$y$与$x$的函数关系式为.

3. $y=-\dfrac{1}{6x-6}$ 解析:设$y=\dfrac{k}{x-1}$,把$x=\dfrac{1}{2},y=\dfrac{1}{3}$代入,得$\dfrac{k}{\dfrac{1}{2}-1}=\dfrac{1}{3}$,解得$k=-\dfrac{1}{6}$,所以$y=-\dfrac{1}{6x-6}$.

【分析】
要确定y与x的函数关系式，首先根据“y与x-1成反比例”，利用反比例函数的定义设出对应的函数形式；再将已知的x、y对应值代入所设式子，求出未知系数k；最后将k代入原式并化简，得到最终的函数关系式。
【解析】
解：因为y与x-1成反比例，所以设函数关系式为 $ y = \dfrac{k}{x-1} $（$ k ≠ 0 $）。
将 $ x = \dfrac{1}{2} $，$ y = \dfrac{1}{3} $ 代入上式，得：
$ \dfrac{k}{\dfrac{1}{2} - 1} = \dfrac{1}{3} $，
计算分母：$ \dfrac{1}{2} - 1 = -\dfrac{1}{2} $，
则 $ \dfrac{k}{-\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{3} $，
解得 $ k = \dfrac{1}{3} × (-\dfrac{1}{2}) = -\dfrac{1}{6} $。
将 $ k = -\dfrac{1}{6} $ 代入所设函数式，得：
$ y = \dfrac{-\dfrac{1}{6}}{x - 1} $，
化简得 $ y = -\dfrac{1}{6(x - 1)} = -\dfrac{1}{6x - 6} $。
【答案】
$ y = -\dfrac{1}{6x - 6} $
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求函数关系式
【点评】
本题是基础题型，核心考查反比例函数的定义和待定系数法的应用，解题关键是正确设出符合题意的反比例函数形式，代入已知值计算系数即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.7