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4. 把下列各数填入相应的横线上：
$0,\ -7.5,\ \sqrt{\frac{9}{14}},\ (\sqrt[3]{5}-\sqrt{2})^{0},\ 4.\ \dot{2}\dot{1},\ 3.141\ 59,\ -\left\lvert -\frac{3}{4}\right\rvert,\ 20\%,\ \sqrt[3]{-8}$
(1) 有理数：________________________________________________________________________；
(2) 无理数：________________________________________________________________________；
(3) 正实数：________________________________________________________________________；
(4) 负实数：________________________________________________________________________。
$0,\ -7.5,\ \sqrt{\frac{9}{14}},\ (\sqrt[3]{5}-\sqrt{2})^{0},\ 4.\ \dot{2}\dot{1},\ 3.141\ 59,\ -\left\lvert -\frac{3}{4}\right\rvert,\ 20\%,\ \sqrt[3]{-8}$
(1) 有理数：________________________________________________________________________；
(2) 无理数：________________________________________________________________________；
(3) 正实数：________________________________________________________________________；
(4) 负实数：________________________________________________________________________。
答案
解：
(1) 有理数：$0,\ -7.5,\ (\sqrt[3]{5}-\sqrt{2})^{0},\ 4.\dot{2}\dot{1},\ 3.14159,\ -\left|-\dfrac{3}{4}\right|,\ 20\%,\ \sqrt[3]{-8}$；
(2) 无理数：$\sqrt{\dfrac{9}{14}}$；
(3) 正实数：$(\sqrt[3]{5}-\sqrt{2})^{0},\ 4.\dot{2}\dot{1},\ 3.14159,\ 20\%,\ \sqrt{\dfrac{9}{14}}$；
(4) 负实数：$-7.5,\ -\left|-\dfrac{3}{4}\right|,\ \sqrt[3]{-8}$。
(1) 有理数：$0,\ -7.5,\ (\sqrt[3]{5}-\sqrt{2})^{0},\ 4.\dot{2}\dot{1},\ 3.14159,\ -\left|-\dfrac{3}{4}\right|,\ 20\%,\ \sqrt[3]{-8}$；
(2) 无理数：$\sqrt{\dfrac{9}{14}}$；
(3) 正实数：$(\sqrt[3]{5}-\sqrt{2})^{0},\ 4.\dot{2}\dot{1},\ 3.14159,\ 20\%,\ \sqrt{\dfrac{9}{14}}$；
(4) 负实数：$-7.5,\ -\left|-\dfrac{3}{4}\right|,\ \sqrt[3]{-8}$。
解析
【分析】
解答本题首先要明确各类实数的定义，第一步先将题目中需要化简的数先化简：①非零数的0次幂等于1，因此$(\sqrt[3]{5}-\sqrt{2})^{0}=1$；②$-\left|-\frac{3}{4}\right|=-\frac{3}{4}$；③$\sqrt[3]{-8}=-2$；④$20\%=0.2$。再对照定义分类：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数，初中常见类型有开方开不尽的数等；正实数是大于0的实数，负实数是小于0的实数，0既不是正实数也不是负实数，最后逐个对应归类即可。
【解析】
先化简各特殊形式的数：
1. $(\sqrt[3]{5}-\sqrt{2})^{0}=1$（非零数的零次幂为1）；
2. $-\left|-\frac{3}{4}\right|=-\frac{3}{4}$；
3. $\sqrt[3]{-8}=-2$；
4. $20\% = 0.2$。
再按定义分类：
(1) 有理数包含整数、有限小数、无限循环小数，对应数为：$0,\ -7.5,\ (\sqrt[3]{5}-\sqrt{2})^{0},\ 4.\dot{2}\dot{1},\ 3.14159,\ -\left|-\dfrac{3}{4}\right|,\ 20\%,\ \sqrt[3]{-8}$；
(2) $\sqrt{\frac{9}{14}}$开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
(3) 大于0的实数为正实数，对应数为：$(\sqrt[3]{5}-\sqrt{2})^{0},\ 4.\dot{2}\dot{1},\ 3.14159,\ 20\%,\ \sqrt{\dfrac{9}{14}}$；
(4) 小于0的实数为负实数，对应数为：$-7.5,\ -\left|-\dfrac{3}{4}\right|,\ \sqrt[3]{-8}$。
【答案】
(1) 有理数：$0,\ -7.5,\ (\sqrt[3]{5}-\sqrt{2})^{0},\ 4.\dot{2}\dot{1},\ 3.14159,\ -\left|-\dfrac{3}{4}\right|,\ 20\%,\ \sqrt[3]{-8}$；
(2) 无理数：$\sqrt{\dfrac{9}{14}}$；
(3) 正实数：$(\sqrt[3]{5}-\sqrt{2})^{0},\ 4.\dot{2}\dot{1},\ 3.14159,\ 20\%,\ \sqrt{\dfrac{9}{14}}$；
(4) 负实数：$-7.5,\ -\left|-\dfrac{3}{4}\right|,\ \sqrt[3]{-8}$。
【知识点】
实数的分类，零指数幂的性质，根式与绝对值化简
【点评】
本题属于实数分类的基础题型，解题的关键是先将带运算的数化简为最简形式，再对照定义判断，避免被数的表面形式迷惑，比如带根号的数不一定是无理数，只有开方开不尽的才属于无理数。
【难度系数】
0.7
解答本题首先要明确各类实数的定义，第一步先将题目中需要化简的数先化简：①非零数的0次幂等于1，因此$(\sqrt[3]{5}-\sqrt{2})^{0}=1$；②$-\left|-\frac{3}{4}\right|=-\frac{3}{4}$；③$\sqrt[3]{-8}=-2$；④$20\%=0.2$。再对照定义分类：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数，初中常见类型有开方开不尽的数等；正实数是大于0的实数，负实数是小于0的实数，0既不是正实数也不是负实数，最后逐个对应归类即可。
【解析】
先化简各特殊形式的数：
1. $(\sqrt[3]{5}-\sqrt{2})^{0}=1$（非零数的零次幂为1）；
2. $-\left|-\frac{3}{4}\right|=-\frac{3}{4}$；
3. $\sqrt[3]{-8}=-2$；
4. $20\% = 0.2$。
再按定义分类：
(1) 有理数包含整数、有限小数、无限循环小数，对应数为：$0,\ -7.5,\ (\sqrt[3]{5}-\sqrt{2})^{0},\ 4.\dot{2}\dot{1},\ 3.14159,\ -\left|-\dfrac{3}{4}\right|,\ 20\%,\ \sqrt[3]{-8}$；
(2) $\sqrt{\frac{9}{14}}$开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
(3) 大于0的实数为正实数，对应数为：$(\sqrt[3]{5}-\sqrt{2})^{0},\ 4.\dot{2}\dot{1},\ 3.14159,\ 20\%,\ \sqrt{\dfrac{9}{14}}$；
(4) 小于0的实数为负实数，对应数为：$-7.5,\ -\left|-\dfrac{3}{4}\right|,\ \sqrt[3]{-8}$。
【答案】
(1) 有理数：$0,\ -7.5,\ (\sqrt[3]{5}-\sqrt{2})^{0},\ 4.\dot{2}\dot{1},\ 3.14159,\ -\left|-\dfrac{3}{4}\right|,\ 20\%,\ \sqrt[3]{-8}$；
(2) 无理数：$\sqrt{\dfrac{9}{14}}$；
(3) 正实数：$(\sqrt[3]{5}-\sqrt{2})^{0},\ 4.\dot{2}\dot{1},\ 3.14159,\ 20\%,\ \sqrt{\dfrac{9}{14}}$；
(4) 负实数：$-7.5,\ -\left|-\dfrac{3}{4}\right|,\ \sqrt[3]{-8}$。
【知识点】
实数的分类，零指数幂的性质，根式与绝对值化简
【点评】
本题属于实数分类的基础题型，解题的关键是先将带运算的数化简为最简形式，再对照定义判断，避免被数的表面形式迷惑，比如带根号的数不一定是无理数，只有开方开不尽的才属于无理数。
【难度系数】
0.7
5. 求下列各数的相反数和绝对值：
(1) $\frac{3}{2} - \sqrt{2}$；
(2) $\sqrt{6} - π$
(1) $\frac{3}{2} - \sqrt{2}$；
(2) $\sqrt{6} - π$
答案
解：
(1) $\frac{3}{2}-\sqrt{2}$的相反数是$-(\frac{3}{2}-\sqrt{2})=\sqrt{2}-\frac{3}{2}$。
因为$\frac{3}{2}=1.5$，$\sqrt{2}\approx1.414$，可得$\frac{3}{2}＞\sqrt{2}$，即$\frac{3}{2}-\sqrt{2}＞0$，
因此$\left|\frac{3}{2}-\sqrt{2}\right|=\frac{3}{2}-\sqrt{2}$。
(2) $\sqrt{6}-π$的相反数是$-(\sqrt{6}-π)=π-\sqrt{6}$。
因为$\sqrt{6}\approx2.449$，$π\approx3.142$，可得$\sqrt{6}＜π$，即$\sqrt{6}-π＜0$，
因此$|\sqrt{6}-π|=π-\sqrt{6}$。
(1) $\frac{3}{2}-\sqrt{2}$的相反数是$-(\frac{3}{2}-\sqrt{2})=\sqrt{2}-\frac{3}{2}$。
因为$\frac{3}{2}=1.5$，$\sqrt{2}\approx1.414$，可得$\frac{3}{2}＞\sqrt{2}$，即$\frac{3}{2}-\sqrt{2}＞0$，
因此$\left|\frac{3}{2}-\sqrt{2}\right|=\frac{3}{2}-\sqrt{2}$。
(2) $\sqrt{6}-π$的相反数是$-(\sqrt{6}-π)=π-\sqrt{6}$。
因为$\sqrt{6}\approx2.449$，$π\approx3.142$，可得$\sqrt{6}＜π$，即$\sqrt{6}-π＜0$，
因此$|\sqrt{6}-π|=π-\sqrt{6}$。
解析
【分析】
要解决本题，需分两步处理每个实数：①求相反数：根据相反数的定义，任意数a的相反数为-a，只需给原式添负号后化简即可；②求绝对值：绝对值的性质是正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，因此需要先通过估算无理数的近似值，判断两个算式的正负性，再根据性质去掉绝对值符号得到结果。
【解析】
(1) 求$\frac{3}{2} - \sqrt{2}$的相反数和绝对值：
根据相反数的定义，$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$的相反数是$-(\frac{3}{2}-\sqrt{2})=\sqrt{2}-\frac{3}{2}$。
估算数值比较大小：$\frac{3}{2}=1.5$，$\sqrt{2}\approx1.414$，可得$\frac{3}{2}＞\sqrt{2}$，即$\frac{3}{2}-\sqrt{2}＞0$，
根据正数的绝对值是它本身，因此$\left|\frac{3}{2}-\sqrt{2}\right|=\frac{3}{2}-\sqrt{2}$。
(2) 求$\sqrt{6} - π$的相反数和绝对值：
根据相反数的定义，$\sqrt{6}-π$的相反数是$-(\sqrt{6}-π)=π-\sqrt{6}$。
估算数值比较大小：$\sqrt{6}\approx2.449$，$π\approx3.142$，可得$\sqrt{6}＜π$，即$\sqrt{6}-π＜0$，
根据负数的绝对值是它的相反数，因此$|\sqrt{6}-π|=π-\sqrt{6}$。
【答案】
(1) 相反数：$\sqrt{2}-\frac{3}{2}$，绝对值：$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$；
(2) 相反数：$π-\sqrt{6}$，绝对值：$π-\sqrt{6}$。
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质；实数大小比较
【点评】
本题考查实数的基础运算，核心是掌握相反数和绝对值的相关概念，解题的关键是能够正确估算常见无理数的近似值，判断算式的正负，从而正确化简绝对值，属于基础概念考察类题目。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需分两步处理每个实数：①求相反数：根据相反数的定义，任意数a的相反数为-a，只需给原式添负号后化简即可；②求绝对值：绝对值的性质是正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，因此需要先通过估算无理数的近似值，判断两个算式的正负性，再根据性质去掉绝对值符号得到结果。
【解析】
(1) 求$\frac{3}{2} - \sqrt{2}$的相反数和绝对值：
根据相反数的定义，$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$的相反数是$-(\frac{3}{2}-\sqrt{2})=\sqrt{2}-\frac{3}{2}$。
估算数值比较大小：$\frac{3}{2}=1.5$，$\sqrt{2}\approx1.414$，可得$\frac{3}{2}＞\sqrt{2}$，即$\frac{3}{2}-\sqrt{2}＞0$，
根据正数的绝对值是它本身，因此$\left|\frac{3}{2}-\sqrt{2}\right|=\frac{3}{2}-\sqrt{2}$。
(2) 求$\sqrt{6} - π$的相反数和绝对值：
根据相反数的定义，$\sqrt{6}-π$的相反数是$-(\sqrt{6}-π)=π-\sqrt{6}$。
估算数值比较大小：$\sqrt{6}\approx2.449$，$π\approx3.142$，可得$\sqrt{6}＜π$，即$\sqrt{6}-π＜0$，
根据负数的绝对值是它的相反数，因此$|\sqrt{6}-π|=π-\sqrt{6}$。
【答案】
(1) 相反数：$\sqrt{2}-\frac{3}{2}$，绝对值：$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$；
(2) 相反数：$π-\sqrt{6}$，绝对值：$π-\sqrt{6}$。
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质；实数大小比较
【点评】
本题考查实数的基础运算，核心是掌握相反数和绝对值的相关概念，解题的关键是能够正确估算常见无理数的近似值，判断算式的正负，从而正确化简绝对值，属于基础概念考察类题目。
【难度系数】
0.8
6.（1）如图，数轴上的点A，B表示的数分别是什么？
（2）在数轴上表示出$\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$的大概位置，并分别找到一个有理数$a$和无理数$b$，使得$\sqrt{3}＜a＜\sqrt{5}$，$\sqrt{3}＜b＜\sqrt{5}$。
（2）在数轴上表示出$\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$的大概位置，并分别找到一个有理数$a$和无理数$b$，使得$\sqrt{3}＜a＜\sqrt{5}$，$\sqrt{3}＜b＜\sqrt{5}$。
答案
解：
（1）图中直角三角形的两条直角边长均为1，
由勾股定理得斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，即半圆的半径为$\sqrt{2}$。
点A在原点右侧，到原点的距离为$\sqrt{2}$，因此点A表示的数是$\sqrt{2}$；
点B在原点左侧，到原点的距离为$\sqrt{2}$，因此点B表示的数是$-\sqrt{2}$。
（2）因为$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{5}\approx2.236$，
所以$\sqrt{3}$在数轴上1和2之间、靠近1.7的位置，$\sqrt{5}$在数轴上2和3之间、靠近2.2的位置。
取有理数$a=2$，满足$\sqrt{3}＜a＜\sqrt{5}$；
取无理数$b=\sqrt{3.5}$（答案不唯一），满足$\sqrt{3}＜b＜\sqrt{5}$。
（1）图中直角三角形的两条直角边长均为1，
由勾股定理得斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，即半圆的半径为$\sqrt{2}$。
点A在原点右侧，到原点的距离为$\sqrt{2}$，因此点A表示的数是$\sqrt{2}$；
点B在原点左侧，到原点的距离为$\sqrt{2}$，因此点B表示的数是$-\sqrt{2}$。
（2）因为$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{5}\approx2.236$，
所以$\sqrt{3}$在数轴上1和2之间、靠近1.7的位置，$\sqrt{5}$在数轴上2和3之间、靠近2.2的位置。
取有理数$a=2$，满足$\sqrt{3}＜a＜\sqrt{5}$；
取无理数$b=\sqrt{3.5}$（答案不唯一），满足$\sqrt{3}＜b＜\sqrt{5}$。
解析
【分析】
（1）解决第一问先观察图形：直角三角形两条直角边均为1，可通过勾股定理计算斜边长度，该斜边就是半圆的半径，也就是OA、OB的长度；再根据点A、B在原点的左右侧，分别确定它们表示的数的正负，即可得到结果。
（2）解决第二问先估算$\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$的近似值，确定它们在数轴上的大致区间，再按照要求找数：有理数是整数和分数的统称，只要在$\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$之间即可；无理数是无限不循环小数，可选择被开方数在3和5之间的算术平方根，答案不唯一。
【解析】
（1）观察图形可知，直角三角形的两条直角边长均为1，
根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，即半圆的半径为$\sqrt{2}$，因此$OA=OB=\sqrt{2}$。
点A在原点右侧，到原点的距离为$\sqrt{2}$，所以点A表示的数是$\sqrt{2}$；
点B在原点左侧，到原点的距离为$\sqrt{2}$，所以点B表示的数是$-\sqrt{2}$。
（2）先估算无理数的大小：$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{5}\approx2.236$，
因此$\sqrt{3}$在数轴上1和2之间、靠近1.7的位置，$\sqrt{5}$在数轴上2和3之间、靠近2.2的位置。
取有理数$a=2$，满足$\sqrt{3}＜a＜\sqrt{5}$；
取无理数$b=\sqrt{3.5}$（答案不唯一），满足$\sqrt{3}＜b＜\sqrt{5}$。
【答案】
（1）点A表示的数是$\sqrt{2}$，点B表示的数是$-\sqrt{2}$；
（2）$\sqrt{3}$在1和2之间靠近1.7处，$\sqrt{5}$在2和3之间靠近2.2处；有理数a可取2，无理数b可取$\sqrt{3.5}$（a、b的取值均不唯一）。
【知识点】
勾股定理；实数与数轴；实数大小比较
【点评】
本题将勾股定理、数轴与实数的相关知识结合考查，既要求掌握无理数的估算方法，也需要明确实数的分类以及实数与数轴上的点一一对应的关系，开放性的设问能够培养发散思维，是对实数基础应用的典型考查。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问先观察图形：直角三角形两条直角边均为1，可通过勾股定理计算斜边长度，该斜边就是半圆的半径，也就是OA、OB的长度；再根据点A、B在原点的左右侧，分别确定它们表示的数的正负，即可得到结果。
（2）解决第二问先估算$\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$的近似值，确定它们在数轴上的大致区间，再按照要求找数：有理数是整数和分数的统称，只要在$\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$之间即可；无理数是无限不循环小数，可选择被开方数在3和5之间的算术平方根，答案不唯一。
【解析】
（1）观察图形可知，直角三角形的两条直角边长均为1，
根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，即半圆的半径为$\sqrt{2}$，因此$OA=OB=\sqrt{2}$。
点A在原点右侧，到原点的距离为$\sqrt{2}$，所以点A表示的数是$\sqrt{2}$；
点B在原点左侧，到原点的距离为$\sqrt{2}$，所以点B表示的数是$-\sqrt{2}$。
（2）先估算无理数的大小：$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{5}\approx2.236$，
因此$\sqrt{3}$在数轴上1和2之间、靠近1.7的位置，$\sqrt{5}$在数轴上2和3之间、靠近2.2的位置。
取有理数$a=2$，满足$\sqrt{3}＜a＜\sqrt{5}$；
取无理数$b=\sqrt{3.5}$（答案不唯一），满足$\sqrt{3}＜b＜\sqrt{5}$。
【答案】
（1）点A表示的数是$\sqrt{2}$，点B表示的数是$-\sqrt{2}$；
（2）$\sqrt{3}$在1和2之间靠近1.7处，$\sqrt{5}$在2和3之间靠近2.2处；有理数a可取2，无理数b可取$\sqrt{3.5}$（a、b的取值均不唯一）。
【知识点】
勾股定理；实数与数轴；实数大小比较
【点评】
本题将勾股定理、数轴与实数的相关知识结合考查，既要求掌握无理数的估算方法，也需要明确实数的分类以及实数与数轴上的点一一对应的关系，开放性的设问能够培养发散思维，是对实数基础应用的典型考查。
【难度系数】
0.7
7. 在数轴上，点$A$，$B$表示的数分别是$1$，$\sqrt{5}$，点$C$在点$A$左侧，且$AC=AB$，求点$C$表示的数.
答案
解：
∵ 点A，B表示的数分别是1，$\sqrt{5}$，且$\sqrt{5}＞1$，
∴ $AB = \sqrt{5} - 1$，
又∵ $AC = AB$，
∴ $AC = \sqrt{5} - 1$，
∵ 点C在点A左侧，
∴ 点C表示的数为 $1 - AC = 1 - (\sqrt{5} - 1) = 2 - \sqrt{5}$。
答：点C表示的数为$2-\sqrt{5}$。
∵ 点A，B表示的数分别是1，$\sqrt{5}$，且$\sqrt{5}＞1$，
∴ $AB = \sqrt{5} - 1$，
又∵ $AC = AB$，
∴ $AC = \sqrt{5} - 1$，
∵ 点C在点A左侧，
∴ 点C表示的数为 $1 - AC = 1 - (\sqrt{5} - 1) = 2 - \sqrt{5}$。
答：点C表示的数为$2-\sqrt{5}$。
解析
【分析】
解题首先要明确数轴上两点的距离计算规则：右侧点表示的数减去左侧点表示的数即为两点的距离。第一步先根据点A、B的位置计算AB的长度；再由AC=AB得到AC的长度；最后结合点C在点A左侧的位置特征，点C表示的数等于点A表示的数减去AC的长度，代入计算即可得到结果。
【解析】
∵ 点A，B表示的数分别是1，$\sqrt{5}$，且$\sqrt{5}＞1$，
∴ $AB = \sqrt{5} - 1$，
又
∵ $AC = AB$，
∴ $AC = \sqrt{5} - 1$，
∵ 点C在点A左侧，
∴ 点C表示的数为 $1 - AC = 1 - (\sqrt{5} - 1) = 2 - \sqrt{5}$。
【答案】
$2-\sqrt{5}$
【知识点】
数轴两点距离计算，实数加减运算，数轴上点的表示
【点评】
本题考查数轴相关知识的应用，核心是掌握数轴上两点距离的计算规则，以及数轴上点的位置和数的大小关系，结合已知的距离等量关系列式计算即可，解题时注意去括号的符号规则即可。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确数轴上两点的距离计算规则：右侧点表示的数减去左侧点表示的数即为两点的距离。第一步先根据点A、B的位置计算AB的长度；再由AC=AB得到AC的长度；最后结合点C在点A左侧的位置特征，点C表示的数等于点A表示的数减去AC的长度，代入计算即可得到结果。
【解析】
∵ 点A，B表示的数分别是1，$\sqrt{5}$，且$\sqrt{5}＞1$，
∴ $AB = \sqrt{5} - 1$，
又
∵ $AC = AB$，
∴ $AC = \sqrt{5} - 1$，
∵ 点C在点A左侧，
∴ 点C表示的数为 $1 - AC = 1 - (\sqrt{5} - 1) = 2 - \sqrt{5}$。
【答案】
$2-\sqrt{5}$
【知识点】
数轴两点距离计算，实数加减运算，数轴上点的表示
【点评】
本题考查数轴相关知识的应用，核心是掌握数轴上两点距离的计算规则，以及数轴上点的位置和数的大小关系，结合已知的距离等量关系列式计算即可，解题时注意去括号的符号规则即可。
【难度系数】
0.8
