【例2】如图，CA平分$∠ DCB$，$CB=CD$，DA的延长线交BC于点E.
(1)求证：$△ ABC ≌ △ ADC$；
(2)若$∠ EAC=45°$，求$∠ BAE$的度数.

(1)证明:因为 CA 平分$∠DCB$,
所以$∠ACB=∠ACD$.
在$△ABC$ 和$△ADC$ 中,
$\begin{cases}CB=CD,\\∠ACB=∠ACD,\\AC=AC,\end{cases}$
所以$△ABC≌△ADC(SAS)$.
(2)解:$90°$.

能力点三 角的平分线的性质和判定
通过利用角的平分线的性质得到角之间
的数量关系，以及通过作角的平分线上的点到
角两边的垂线段得到线段间的等量关系.
证明角的平分线的方法主要有两种:一是利用角的平分线的定义证明两角相等;二是利用角的平分线的判定方法证明角的平分线上的点到角两边的距离相等.
【例3】如图,在$△ ABC$中,$AB=5,AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D,DE⊥ AC$,垂足为$E$,若$△ ABD$的面积为5,则$DE$的长为()


A.1
B.2
C.3
D.5
【例4】如图,$△ ABC$内部一点$O$到两边$AB$,$AC$所在直线的距离相等,且$OB=OC$.求证:$AB=AC$.

【例3】B
【例4】证明: 连接 $OA$(图略).因为点 $O$ 到$AB,AC$ 的距离相等,即 $OF=OE$,
所以 $AO$ 平分$∠BAC$,即$∠BAO=∠CAO$.
在$\mathrm{Rt}△BOF$ 和 $\mathrm{Rt}△COE$ 中,$\begin{cases}OB=OC,\\OF=OE,\end{cases}$
所以 $\mathrm{Rt}△BOF≌\mathrm{Rt}△COE(\mathrm{HL})$.
所以$∠FBO=∠ECO$.
在$△AOB$ 和$△AOC$ 中,
$\begin{cases}∠BAO=∠CAO,\\∠ABO=∠ACO,\\OB=OC,\end{cases}$
所以$△AOB≌△AOC(\mathrm{AAS})$.
所以 $AB=AC$.

【例】小明和小颖玩跷跷板时的示意图如图所示，点O是跷跷板AB的中点，支柱OE与
地面垂直，且OE的长度为50 cm，当小明（点A）到水平线CD的距离AM为40 cm时，小颖（点B）到地面的距离为 （）


A.40 cm
B.70 cm
C.80 cm
D.90 cm

D