4.如图，已知 $ AC // BD $，$ AE $，$ BE $ 分别平分 $ ∠ CAB $ 和 $ ∠ DBA $，点 $ E $ 在直线 $ CD $ 上.求证: $ AB = AC + BD $.

4.证明:方法一(截长法):如图①,在AB上截取$AF=AC$,连接EF.
因为AE平分$∠ CAB$,所以$∠ 1=∠ 2$.
在$△ ACE$和$△ AFE$中,$\begin{cases} AC=AF, \\ ∠ 1=∠ 2, \\ AE=AE, \end{cases}$
所以$△ ACE≌△ AFE(\mathrm{SAS})$.
所以$∠ C=∠ 5$.
因为$AC// BD$,所以$∠ C+∠ D=180°$.
因为$∠ 5+∠ 6=180°$,
所以$∠ D=∠ 6$.
因为BE平分$∠ DBA$,所以$∠ 3=∠ 4$.
在$△ BEF$和$△ BED$中,$\begin{cases} ∠ 6=∠ D, \\ ∠ 3=∠ 4, \\ BE=BE, \end{cases}$
所以$△ BEF≌△ BED(\mathrm{AAS})$.
所以$BF=BD$.
所以$AF+BF=AC+BD$,即 $AB=AC+BD$.
方法二(补短法):如图②,延长AC至点F,使$AF=AB$,连接EF.
因为AE平分$∠ CAB$,所以$∠ 1=∠ 2$.
在$△ AEF$和$△ AEB$中,$\begin{cases} AF=AB, \\ ∠ 1=∠ 2, \\ AE=AE, \end{cases}$
所以$△ AEF≌△ AEB(\mathrm{SAS})$.
所以$EF=EB,∠ F=∠ 3$.
因为BE平分$∠ DBA$,
所以$∠ 3=∠ 4$,
所以$∠ F=∠ 4$.
因为$AC// BD$,
所以$∠ 5=∠ D$.
在$△ CEF$和$△ DEB$中,$\begin{cases} ∠ F=∠ 4, \\ ∠ 5=∠ D, \\ EF=EB, \end{cases}$
所以$△ CEF≌△ DEB(\mathrm{AAS})$.
所以$CF=DB$.
因为$AB=AF=AC+CF$,
所以$AB=AC+BD$.

5.如图，AD，BC相交于点F，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2=35°.若AB//ED，则∠BFD的度数是（）


A.60°
B.70°
C.80°
D.90°

5.B

6.在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$P$是平面内一点，将$AP$绕点$A$顺时针旋转至$AQ$，使$∠ QAP=∠ BAC$，连接$BQ$，$CP$。
(1)如图①，若点$P$在$△ ABC$的内部，试说明$BQ=CP$。
(2)如图②，若点$P$在$△ ABC$的外部，以上结论还成立吗？请说明理由。

6.解:(1)因为$∠ QAP=∠ BAC$,
所以$∠ QAP-∠ BAP=∠ BAC-∠ BAP$,
即$∠ QAB=∠ PAC$.
另外由旋转,得$AQ=AP$.
在$△ AQB$和$△ APC$中，
$\begin{cases} AQ=AP, \\ ∠ QAB=∠ PAC, \\ AB=AC, \end{cases}$
所以$△ AQB≌△ APC(\mathrm{SAS})$.
所以$BQ=CP$.
(2)成立.理由如下：
因为$∠ QAP=∠ BAC$,
所以$∠ QAP+∠ BAP=∠ BAC+∠ BAP$,
即$∠ QAB=∠ PAC$.
另外由旋转,得$AQ=AP$.
在$△ AQB$和$△ APC$中，
$\begin{cases} AQ=AP, \\ ∠ QAB=∠ PAC, \\ AB=AC, \end{cases}$
所以$△ AQB≌△ APC(\mathrm{SAS})$.
所以$BQ=CP$.