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4.小宇想测出大块玛瑙石的密度，发现大玛瑙石不能直接放入量筒，于是聪明的小宇进行了如图所示的操作：
①用天平测量大玛瑙石的质量$m_1$；
②将大玛瑙石放入盛水烧杯后测量烧杯质量$m_2$，并标记水面位置；
③捞出大玛瑙石，再补水到标记处后测量烧杯的质量$m_3$。
根据测得质量值得出大块玛瑙石的密度表达式为：$\rho_{玛瑙}=$
①用天平测量大玛瑙石的质量$m_1$；
②将大玛瑙石放入盛水烧杯后测量烧杯质量$m_2$，并标记水面位置；
③捞出大玛瑙石，再补水到标记处后测量烧杯的质量$m_3$。
根据测得质量值得出大块玛瑙石的密度表达式为：$\rho_{玛瑙}=$
$\frac{m_1\rho_{水}}{m_3 - m_2 + m_1}$
。（用符号表示）答案
4. $\frac{m_1\rho_{水}}{m_3 - m_2 + m_1}$
【解析】用天平测出大玛瑙石的质量$m_1$后,将大玛瑙石放入盛水烧杯后测量烧杯质量$m_2$,并标记水面位置;捞出大玛瑙石,再补水到标记处后测量烧杯的质量$m_3$;则补的水的质量为$m'= m_3-m_2+m_1$。所以补的水的体积,即大玛瑙石的体积为$V=\frac{m'}{\rho _{\mathrm{水}}}=\frac{m_3-m_2+m_1}{\rho _{\mathrm{水}}}$,大玛瑙石的密度$\rho _{\mathrm{玛瑙}}=\frac{m_1}{V}=\frac{m_1}{\frac{m_3-m_2+m_1}{\rho _{\mathrm{水}}}}=\frac{m_1\rho _{\mathrm{水}}}{m_3-m_2+m_1}$。
【解析】用天平测出大玛瑙石的质量$m_1$后,将大玛瑙石放入盛水烧杯后测量烧杯质量$m_2$,并标记水面位置;捞出大玛瑙石,再补水到标记处后测量烧杯的质量$m_3$;则补的水的质量为$m'= m_3-m_2+m_1$。所以补的水的体积,即大玛瑙石的体积为$V=\frac{m'}{\rho _{\mathrm{水}}}=\frac{m_3-m_2+m_1}{\rho _{\mathrm{水}}}$,大玛瑙石的密度$\rho _{\mathrm{玛瑙}}=\frac{m_1}{V}=\frac{m_1}{\frac{m_3-m_2+m_1}{\rho _{\mathrm{水}}}}=\frac{m_1\rho _{\mathrm{水}}}{m_3-m_2+m_1}$。
解析
【分析】要计算玛瑙石的密度，需先确定其质量和体积。玛瑙石的质量可直接由天平测得为$m_1$；由于无法直接测量其体积，利用等效替代法，捞出玛瑙石后补水至标记处，补的水的体积等于玛瑙石的体积，因此只需算出补的水的质量，结合水的密度求出体积，即可得到玛瑙石的体积，最后根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$计算玛瑙石的密度。
【解析】1. 玛瑙石的质量：由步骤①可知，玛瑙石的质量为$m_1$。
2. 计算补的水的质量：初始时烧杯和原有水的总质量为$m_2 - m_1$（$m_2$是烧杯+原有水+玛瑙的总质量，减去玛瑙质量$m_1$得到）；补水后烧杯和水的总质量为$m_3$，因此补的水的质量$m_{补}=m_3 - (m_2 - m_1)=m_3 - m_2 + m_1$。
3. 计算玛瑙石的体积：补的水的体积等于玛瑙石的体积，根据密度公式可得$V_{玛瑙}=V_{补}=\frac{m_{补}}{\rho_{水}}=\frac{m_3 - m_2 + m_1}{\rho_{水}}$。
4. 计算玛瑙石的密度：将玛瑙石的质量和体积代入密度公式，$\rho_{玛瑙}=\frac{m_1}{V_{玛瑙}}=\frac{m_1}{\frac{m_3 - m_2 + m_1}{\rho_{水}}}=\frac{m_1\rho_{水}}{m_3 - m_2 + m_1}$。
【答案】$\frac{m_1\rho_{水}}{m_3 - m_2 + m_1}$
【知识点】密度的测量、质量与体积的关系、等效替代法
【点评】本题利用等效替代法巧妙解决了无法直接测量的大块固体体积问题，是密度测量的经典方法，核心是理解“补的水的体积等于待测固体体积”这一关键逻辑。
【难度系数】0.6
【解析】1. 玛瑙石的质量：由步骤①可知，玛瑙石的质量为$m_1$。
2. 计算补的水的质量：初始时烧杯和原有水的总质量为$m_2 - m_1$（$m_2$是烧杯+原有水+玛瑙的总质量，减去玛瑙质量$m_1$得到）；补水后烧杯和水的总质量为$m_3$，因此补的水的质量$m_{补}=m_3 - (m_2 - m_1)=m_3 - m_2 + m_1$。
3. 计算玛瑙石的体积：补的水的体积等于玛瑙石的体积，根据密度公式可得$V_{玛瑙}=V_{补}=\frac{m_{补}}{\rho_{水}}=\frac{m_3 - m_2 + m_1}{\rho_{水}}$。
4. 计算玛瑙石的密度：将玛瑙石的质量和体积代入密度公式，$\rho_{玛瑙}=\frac{m_1}{V_{玛瑙}}=\frac{m_1}{\frac{m_3 - m_2 + m_1}{\rho_{水}}}=\frac{m_1\rho_{水}}{m_3 - m_2 + m_1}$。
【答案】$\frac{m_1\rho_{水}}{m_3 - m_2 + m_1}$
【知识点】密度的测量、质量与体积的关系、等效替代法
【点评】本题利用等效替代法巧妙解决了无法直接测量的大块固体体积问题，是密度测量的经典方法，核心是理解“补的水的体积等于待测固体体积”这一关键逻辑。
【难度系数】0.6
5.小明利用下列器材:一架天平(无砝码)、两只完全相同的烧杯、一只量筒、水、滴管来测定一个表面致密且不吸水的鹅卵石的密度,请你帮他完成如下操作:
(1)将天平放在
(2)将两只空烧杯分别放在调节好的天平左右两盘内,把鹅卵石放入左盘烧杯中,向右盘烧杯中缓缓倒水,当左盘即将翘起时,接下来的操作是
(3)用细线拴好鹅卵石,将其放入刚才的量筒内,这时的水位如图丁所示,可以得到鹅卵石的密度为
(4)在读数无误的情况下,小明测出的鹅卵石密度与真实值相比
(1)将天平放在
水平
桌面上,游码移到零刻度线处,发现指针位置如图甲所示,为使横梁在水平位置平衡,应将平衡螺母向右
(选填“左”或“右”)调节。(2)将两只空烧杯分别放在调节好的天平左右两盘内,把鹅卵石放入左盘烧杯中,向右盘烧杯中缓缓倒水,当左盘即将翘起时,接下来的操作是
用滴管向右盘烧杯中加水
,直到天平平衡,如图乙所示;将右盘烧杯内的水倒入空量筒中,量筒中的水位情况如图丙所示,可以得到烧杯中水的体积为40
$\mathrm{cm}^3$;则鹅卵石的质量为40
g。(3)用细线拴好鹅卵石,将其放入刚才的量筒内,这时的水位如图丁所示,可以得到鹅卵石的密度为
$2× 10^3$
$\mathrm{kg/m}^3$。(4)在读数无误的情况下,小明测出的鹅卵石密度与真实值相比
偏小
(选填“偏大”或“偏小”),你认为测量值不准确的原因可能是烧杯内的水不能全部倒入量筒,测量水的体积偏小
。答案
5.(1)水平 右
(2)用滴管向右盘烧杯中加水 40 40
(3)$2× 10^3$
(4)偏小 烧杯内的水不能全部倒入量筒,测量水的体积偏小
【解析】(1)将天平放在水平桌面上,游码移到零刻度线处;由题图甲知,指针偏左,所以应将平衡螺母向右调节使横梁在水平位置平衡。(2)向右盘烧杯中缓缓倒水,为了容易操作,此时应再用滴管调节,即用滴管向右盘烧杯中加水,直至天平平衡;由题意和题图丙可知,烧杯内水的体积为40 cm³,质量为$m_{\mathrm{水}}=\rho _{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3× 40\ \mathrm{cm}^3=40\ \mathrm{g}$,根据题图乙可知鹅卵石的质量为$m=m_{\mathrm{水}}=40\ \mathrm{g}$。(3)由题图丁知,水和鹅卵石的总体积为60 mL,鹅卵石的体积V= 60 mL-40 mL = 20 mL = 20 cm³,鹅卵石的密度$\rho =\frac{m}{V}=\frac{40\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3}=2\ \mathrm{g/cm}^3=2× 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。(4)烧杯内的水不能全部倒入量筒,测量水的体积偏小,求出的质量偏小,即鹅卵石的质量偏小,由$\rho =\frac{m}{V}$可知求出鹅卵石的密度偏小。
(2)用滴管向右盘烧杯中加水 40 40
(3)$2× 10^3$
(4)偏小 烧杯内的水不能全部倒入量筒,测量水的体积偏小
【解析】(1)将天平放在水平桌面上,游码移到零刻度线处;由题图甲知,指针偏左,所以应将平衡螺母向右调节使横梁在水平位置平衡。(2)向右盘烧杯中缓缓倒水,为了容易操作,此时应再用滴管调节,即用滴管向右盘烧杯中加水,直至天平平衡;由题意和题图丙可知,烧杯内水的体积为40 cm³,质量为$m_{\mathrm{水}}=\rho _{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3× 40\ \mathrm{cm}^3=40\ \mathrm{g}$,根据题图乙可知鹅卵石的质量为$m=m_{\mathrm{水}}=40\ \mathrm{g}$。(3)由题图丁知,水和鹅卵石的总体积为60 mL,鹅卵石的体积V= 60 mL-40 mL = 20 mL = 20 cm³,鹅卵石的密度$\rho =\frac{m}{V}=\frac{40\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3}=2\ \mathrm{g/cm}^3=2× 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。(4)烧杯内的水不能全部倒入量筒,测量水的体积偏小,求出的质量偏小,即鹅卵石的质量偏小,由$\rho =\frac{m}{V}$可知求出鹅卵石的密度偏小。
解析
【分析】
本题利用等质量替代法测量鹅卵石的密度，需结合天平使用规则、量筒读数方法、密度公式及误差分析思路解题：
1. 天平使用前需放置在水平桌面，游码归零，根据指针偏转方向调节平衡螺母，指针左偏时平衡螺母向右调；
2. 无砝码时，利用等质量的水替代鹅卵石质量，天平平衡时鹅卵石质量等于右盘烧杯内水的质量，接近平衡时用滴管微调水量；
3. 量筒读数时视线与凹液面底部相平，通过量筒两次示数差得鹅卵石体积，再用密度公式计算密度；
4. 分析误差时，考虑烧杯残留水对体积测量的影响，判断密度偏差。
【解析】
(1) 天平使用时，应先放在水平桌面上，游码移到零刻度线处；图甲中指针偏左，说明左侧较重，需将平衡螺母向右调节，使横梁水平平衡。
(2) 向右盘烧杯中缓缓倒水，接近平衡时，应用滴管向右盘烧杯中加水，直至天平平衡；图丙中量筒示数为40mL，即水的体积$V_{水}=40\ \mathrm{cm}^3$，水的质量$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3×40\ \mathrm{cm}^3=40\ \mathrm{g}$，天平平衡时鹅卵石质量等于水的质量，故鹅卵石质量$m=40\ \mathrm{g}$。
(3) 图丁中水和鹅卵石总体积$V_{总}=60\ \mathrm{mL}$，鹅卵石体积$V=V_{总}-V_{水}=60\ \mathrm{mL}-40\ \mathrm{mL}=20\ \mathrm{cm}^3$，鹅卵石密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{40\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3}=2\ \mathrm{g/cm}^3=2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(4) 将右盘烧杯中的水倒入量筒时，烧杯内壁残留部分水，导致测得的水体积偏小，计算出的鹅卵石质量偏小，根据$\rho=\frac{m}{V}$，体积测量准确，质量偏小，故测出的密度与真实值相比偏小。
【答案】
(1) 水平；右
(2) 用滴管向右盘烧杯中加水；40；40
(3) $2×10^3$
(4) 偏小；烧杯内的水不能全部倒入量筒，测量水的体积偏小
【知识点】
天平的使用；密度的测量；误差分析
【点评】
本题是特殊方法测密度的典型题，利用等质量替代法解决无砝码时的质量测量问题，既考查天平、量筒的基本操作，又涉及密度公式应用和误差分析，对实验探究能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题利用等质量替代法测量鹅卵石的密度，需结合天平使用规则、量筒读数方法、密度公式及误差分析思路解题：
1. 天平使用前需放置在水平桌面，游码归零，根据指针偏转方向调节平衡螺母，指针左偏时平衡螺母向右调；
2. 无砝码时，利用等质量的水替代鹅卵石质量，天平平衡时鹅卵石质量等于右盘烧杯内水的质量，接近平衡时用滴管微调水量；
3. 量筒读数时视线与凹液面底部相平，通过量筒两次示数差得鹅卵石体积，再用密度公式计算密度；
4. 分析误差时，考虑烧杯残留水对体积测量的影响，判断密度偏差。
【解析】
(1) 天平使用时，应先放在水平桌面上，游码移到零刻度线处；图甲中指针偏左，说明左侧较重，需将平衡螺母向右调节，使横梁水平平衡。
(2) 向右盘烧杯中缓缓倒水，接近平衡时，应用滴管向右盘烧杯中加水，直至天平平衡；图丙中量筒示数为40mL，即水的体积$V_{水}=40\ \mathrm{cm}^3$，水的质量$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3×40\ \mathrm{cm}^3=40\ \mathrm{g}$，天平平衡时鹅卵石质量等于水的质量，故鹅卵石质量$m=40\ \mathrm{g}$。
(3) 图丁中水和鹅卵石总体积$V_{总}=60\ \mathrm{mL}$，鹅卵石体积$V=V_{总}-V_{水}=60\ \mathrm{mL}-40\ \mathrm{mL}=20\ \mathrm{cm}^3$，鹅卵石密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{40\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3}=2\ \mathrm{g/cm}^3=2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(4) 将右盘烧杯中的水倒入量筒时，烧杯内壁残留部分水，导致测得的水体积偏小，计算出的鹅卵石质量偏小，根据$\rho=\frac{m}{V}$，体积测量准确，质量偏小，故测出的密度与真实值相比偏小。
【答案】
(1) 水平；右
(2) 用滴管向右盘烧杯中加水；40；40
(3) $2×10^3$
(4) 偏小；烧杯内的水不能全部倒入量筒，测量水的体积偏小
【知识点】
天平的使用；密度的测量；误差分析
【点评】
本题是特殊方法测密度的典型题，利用等质量替代法解决无砝码时的质量测量问题，既考查天平、量筒的基本操作，又涉及密度公式应用和误差分析，对实验探究能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
6.小明想测量实验室中盐水的密度,找来了量筒、天平和烧杯,但是发现砝码缺失,于是设计了下列实验($\rho_{水}=1\ \mathrm{g/cm}^3$):
(1)用量筒测出适量水的体积为$V_1=24\ \mathrm{mL}$,如图甲所示。
(2)先调节天平平衡,将两个相同的烧杯分别放在天平左右盘上,将量筒中的水全部倒入天平左盘的烧杯中,在右盘同样的烧杯中加盐水直至天平水平平衡,如图乙所示。
(3)将右盘烧杯中的盐水全部倒入量筒,测出其体积为$V_2=20\ \mathrm{mL}$,如图丙所示。
(4)则盐水的密度$\rho_{盐水}=\_\_\_\_\_\_\mathrm{g/cm}^3$。
(1)用量筒测出适量水的体积为$V_1=24\ \mathrm{mL}$,如图甲所示。
(2)先调节天平平衡,将两个相同的烧杯分别放在天平左右盘上,将量筒中的水全部倒入天平左盘的烧杯中,在右盘同样的烧杯中加盐水直至天平水平平衡,如图乙所示。
(3)将右盘烧杯中的盐水全部倒入量筒,测出其体积为$V_2=20\ \mathrm{mL}$,如图丙所示。
(4)则盐水的密度$\rho_{盐水}=\_\_\_\_\_\_\mathrm{g/cm}^3$。
答案
6. 1.2
【解析】天平平衡时,水的质量和盐水的质量相等,$m_{\mathrm{水}}=m_{\mathrm{盐水}}$,即$\rho _{\mathrm{水}}V_1=\rho _{\mathrm{盐水}}V_2$,$\rho _{\mathrm{水}}× 24\ \mathrm{cm}^3=\rho _{\mathrm{盐水}}× 20\ \mathrm{cm}^3$,解得$\rho _{\mathrm{盐水}}=1.2\rho _{\mathrm{水}}=1.2× 1\ \mathrm{g/cm}^3=1.2\ \mathrm{g/cm}^3$。
【解析】天平平衡时,水的质量和盐水的质量相等,$m_{\mathrm{水}}=m_{\mathrm{盐水}}$,即$\rho _{\mathrm{水}}V_1=\rho _{\mathrm{盐水}}V_2$,$\rho _{\mathrm{水}}× 24\ \mathrm{cm}^3=\rho _{\mathrm{盐水}}× 20\ \mathrm{cm}^3$,解得$\rho _{\mathrm{盐水}}=1.2\rho _{\mathrm{水}}=1.2× 1\ \mathrm{g/cm}^3=1.2\ \mathrm{g/cm}^3$。
解析
【分析】
要测量盐水的密度，由于缺少砝码，我们利用天平平衡时，左右两烧杯中液体的质量相等这一特点解题：先通过量筒测出水的体积，结合水的密度算出质量，该质量等于盐水的质量；再测出盐水的体积，最后根据密度公式计算盐水的密度。
【解析】
1. 计算水的质量：由图甲可知，水的体积$V_1=24\ \mathrm{mL}=24\ \mathrm{cm}^3$，已知$\rho_{水}=1\ \mathrm{g/cm}^3$，根据$m=\rho V$，得水的质量$m_{水}=\rho_{水}V_1=1\ \mathrm{g/cm}^3×24\ \mathrm{cm}^3=24\ \mathrm{g}$。
2. 确定盐水的质量：天平平衡时，左盘水的质量等于右盘盐水的质量，即$m_{盐水}=m_{水}=24\ \mathrm{g}$。
3. 计算盐水的密度：由图丙可知，盐水的体积$V_2=20\ \mathrm{mL}=20\ \mathrm{cm}^3$，根据$\rho=\frac{m}{V}$，得盐水的密度$\rho_{盐水}=\frac{m_{盐水}}{V_2}=\frac{24\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3}=1.2\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
1.2
【知识点】
密度的计算、天平的使用、质量体积密度关系
【点评】
本题利用天平平衡时液体质量相等的特点，在缺少砝码的情况下间接测量盐水密度，体现了转换法的应用，是密度测量的典型变式题，注重对密度公式的灵活运用。
【难度系数】
0.6
要测量盐水的密度，由于缺少砝码，我们利用天平平衡时，左右两烧杯中液体的质量相等这一特点解题：先通过量筒测出水的体积，结合水的密度算出质量，该质量等于盐水的质量；再测出盐水的体积，最后根据密度公式计算盐水的密度。
【解析】
1. 计算水的质量：由图甲可知，水的体积$V_1=24\ \mathrm{mL}=24\ \mathrm{cm}^3$，已知$\rho_{水}=1\ \mathrm{g/cm}^3$，根据$m=\rho V$，得水的质量$m_{水}=\rho_{水}V_1=1\ \mathrm{g/cm}^3×24\ \mathrm{cm}^3=24\ \mathrm{g}$。
2. 确定盐水的质量：天平平衡时，左盘水的质量等于右盘盐水的质量，即$m_{盐水}=m_{水}=24\ \mathrm{g}$。
3. 计算盐水的密度：由图丙可知，盐水的体积$V_2=20\ \mathrm{mL}=20\ \mathrm{cm}^3$，根据$\rho=\frac{m}{V}$，得盐水的密度$\rho_{盐水}=\frac{m_{盐水}}{V_2}=\frac{24\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3}=1.2\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
1.2
【知识点】
密度的计算、天平的使用、质量体积密度关系
【点评】
本题利用天平平衡时液体质量相等的特点，在缺少砝码的情况下间接测量盐水密度，体现了转换法的应用，是密度测量的典型变式题，注重对密度公式的灵活运用。
【难度系数】
0.6
