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2.正十边形的中心角的度数是(
A.$72°$
B.$36°$
C.$30°$
D.$18°$
B
).A.$72°$
B.$36°$
C.$30°$
D.$18°$
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查正多边形中心角的计算，解题思路如下：首先回忆正多边形中心角的相关性质：正多边形的所有中心角之和为周角360°，且每个中心角的度数相等，因此正n边形的单个中心角度数可通过360°除以边数n求得；本题已知是正十边形，即边数n=10，代入公式计算后对应选项即可得到答案。
【解析】
解：正多边形的所有中心角之和为周角$360°$，且正n边形的各中心角度数相等，因此正n边形中心角的计算公式为：$α=\frac{360°}{n}$。
将正十边形的边数$n=10$代入公式，可得：
$α=\frac{360°}{10}=36°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形的性质；中心角计算
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查正多边形中心角的计算，只要掌握正多边形中心角和为360°、各中心角相等的规律，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
本题考查正多边形中心角的计算，解题思路如下：首先回忆正多边形中心角的相关性质：正多边形的所有中心角之和为周角360°，且每个中心角的度数相等，因此正n边形的单个中心角度数可通过360°除以边数n求得；本题已知是正十边形，即边数n=10，代入公式计算后对应选项即可得到答案。
【解析】
解：正多边形的所有中心角之和为周角$360°$，且正n边形的各中心角度数相等，因此正n边形中心角的计算公式为：$α=\frac{360°}{n}$。
将正十边形的边数$n=10$代入公式，可得：
$α=\frac{360°}{10}=36°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形的性质；中心角计算
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查正多边形中心角的计算，只要掌握正多边形中心角和为360°、各中心角相等的规律，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
3.如图,边长为2的正六边形内接于$\odot O$,则它的内切圆半径为(
A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2
(第3题)
C
).A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2
(第3题)答案
3.C
解析
【分析】
要求正六边形的内切圆半径，首先明确正多边形的内切圆半径等于其边心距（即正多边形中心到任意一条边的距离）。首先利用正六边形的性质，其中心角为360°÷6=60°，连接中心与相邻两顶点可得到等边三角形，该三角形边长等于正六边形的边长2；再过中心作边的垂线构造直角三角形，利用勾股定理即可求出边心距，也就是内切圆半径。
【解析】
解：连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G。
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴中心角$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$，
又
∵OA=OB（都是$\odot O$的半径），
∴$△ OAB$是等边三角形，
∴$OA=AB=2$。
∵$OG⊥ AB$，
∴$AG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$。
在$Rt△ OAG$中，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
OG即为正六边形的内切圆半径，故内切圆半径为$\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的性质
【点评】
本题是正多边形与圆章节的基础常考题，解题关键是明确正多边形内切圆半径和边心距的对应关系，结合正六边形中心角为60°、边长等于外接圆半径的特殊性质，通过构造直角三角形求解即可。
【难度系数】
0.7
要求正六边形的内切圆半径，首先明确正多边形的内切圆半径等于其边心距（即正多边形中心到任意一条边的距离）。首先利用正六边形的性质，其中心角为360°÷6=60°，连接中心与相邻两顶点可得到等边三角形，该三角形边长等于正六边形的边长2；再过中心作边的垂线构造直角三角形，利用勾股定理即可求出边心距，也就是内切圆半径。
【解析】
解：连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G。
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴中心角$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$，
又
∵OA=OB（都是$\odot O$的半径），
∴$△ OAB$是等边三角形，
∴$OA=AB=2$。
∵$OG⊥ AB$，
∴$AG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$。
在$Rt△ OAG$中，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
OG即为正六边形的内切圆半径，故内切圆半径为$\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的性质
【点评】
本题是正多边形与圆章节的基础常考题，解题关键是明确正多边形内切圆半径和边心距的对应关系，结合正六边形中心角为60°、边长等于外接圆半径的特殊性质，通过构造直角三角形求解即可。
【难度系数】
0.7
4.(2025,山东,8)在中国古代文化中,玉璧寓意宇宙的广阔与秩序,也经常被视为君子修身齐家的象征.如图是某玉璧的平面示意图,由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2,则图中阴影部分的面积是(
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
D
).A.π
B.2π
C.3π
D.4π
答案
4.D
解析
【分析】
要计算阴影部分（圆环）的面积，需用外圆面积减去内圆面积，公式为$S_{\mathrm{圆环}}=π R^2-π r^2$，其中$R$为外圆（正方形外接圆）半径，$r$为内圆（正方形内切圆）半径。已知内圆半径$r=2$，首先结合正方形内切圆性质求出正方形边长，再结合正方形外接圆性质和勾股定理求出外接圆半径的平方，最后代入圆环面积公式即可求解。
【解析】
1. 求正方形的边长：
已知正方形内切圆半径$r=2$，正方形内切圆的直径等于正方形的边长，因此正方形边长$a=2r=2×2=4$。
2. 求正方形外接圆的半径平方：
正方形外接圆的直径等于正方形的对角线长度，根据勾股定理，正方形对角线长为$\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，因此外接圆半径$R=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，可得$R^2=(2\sqrt{2})^2=8$。
3. 计算阴影部分面积：
阴影为圆环，面积$S=π R^2-π r^2=π(R^2-r^2)$，代入$R^2=8$、$r^2=2^2=4$，得$S=π×(8-4)=4π$。
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
圆环面积计算，正方形与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题结合传统文化背景出题，既考查了几何基础性质的应用，也体现了数学与传统文化的结合，解题的核心是明确正方形边长和其内切圆、外接圆半径的对应关系，属于基础题型，计算量较小。
【难度系数】
0.75
要计算阴影部分（圆环）的面积，需用外圆面积减去内圆面积，公式为$S_{\mathrm{圆环}}=π R^2-π r^2$，其中$R$为外圆（正方形外接圆）半径，$r$为内圆（正方形内切圆）半径。已知内圆半径$r=2$，首先结合正方形内切圆性质求出正方形边长，再结合正方形外接圆性质和勾股定理求出外接圆半径的平方，最后代入圆环面积公式即可求解。
【解析】
1. 求正方形的边长：
已知正方形内切圆半径$r=2$，正方形内切圆的直径等于正方形的边长，因此正方形边长$a=2r=2×2=4$。
2. 求正方形外接圆的半径平方：
正方形外接圆的直径等于正方形的对角线长度，根据勾股定理，正方形对角线长为$\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，因此外接圆半径$R=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，可得$R^2=(2\sqrt{2})^2=8$。
3. 计算阴影部分面积：
阴影为圆环，面积$S=π R^2-π r^2=π(R^2-r^2)$，代入$R^2=8$、$r^2=2^2=4$，得$S=π×(8-4)=4π$。
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
圆环面积计算，正方形与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题结合传统文化背景出题，既考查了几何基础性质的应用，也体现了数学与传统文化的结合，解题的核心是明确正方形边长和其内切圆、外接圆半径的对应关系，属于基础题型，计算量较小。
【难度系数】
0.75
5.如图,在平面直角坐标系中,以正六边形ABCDEF的中心O为原点,顶点A,D在x轴上,若半径是4,则顶点C的坐标为(
A.$(2,-2\sqrt{3})$
B.$(2,-4)$
C.$(2,-\sqrt{3})$
D.$(\dfrac{4\sqrt{3}}{3},-4)$
A
).A.$(2,-2\sqrt{3})$
B.$(2,-4)$
C.$(2,-\sqrt{3})$
D.$(\dfrac{4\sqrt{3}}{3},-4)$
答案
5.A
解析
【分析】
解题时先利用正六边形的基本性质：正六边形的半径等于边长，相邻顶点与中心的夹角（中心角）为$360°÷6=60°$。要求顶点C的坐标，先连接OC，可知OC为半径长度等于4，且C点在第四象限，横坐标为正、纵坐标为负。过C向x轴作垂线构造直角三角形，再借助三角函数即可求出C点的横、纵坐标。
【解析】
解：连接OC，
∵正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，且正六边形的半径等于边长，
∴$OC=OD=CD=4$，$△ OCD$为等边三角形，$∠ COD=60°$。
过点C作$CH⊥ x$轴于点H，
在$Rt△ OCH$中：
横坐标$OH=OC·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$，
纵坐标的绝对值$CH=OC·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
∵点C在第四象限，纵坐标为负，
∴点C的坐标为$(2,-2\sqrt{3})$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形的性质，解直角三角形，平面直角坐标系坐标
【点评】
本题是正多边形与圆结合平面直角坐标系的基础题，解题核心是掌握正六边形中心角为60°、半径等于边长的特点，结合解直角三角形的知识即可求出对应点的坐标，是该章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先利用正六边形的基本性质：正六边形的半径等于边长，相邻顶点与中心的夹角（中心角）为$360°÷6=60°$。要求顶点C的坐标，先连接OC，可知OC为半径长度等于4，且C点在第四象限，横坐标为正、纵坐标为负。过C向x轴作垂线构造直角三角形，再借助三角函数即可求出C点的横、纵坐标。
【解析】
解：连接OC，
∵正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，且正六边形的半径等于边长，
∴$OC=OD=CD=4$，$△ OCD$为等边三角形，$∠ COD=60°$。
过点C作$CH⊥ x$轴于点H，
在$Rt△ OCH$中：
横坐标$OH=OC·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$，
纵坐标的绝对值$CH=OC·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
∵点C在第四象限，纵坐标为负，
∴点C的坐标为$(2,-2\sqrt{3})$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形的性质，解直角三角形，平面直角坐标系坐标
【点评】
本题是正多边形与圆结合平面直角坐标系的基础题，解题核心是掌握正六边形中心角为60°、半径等于边长的特点，结合解直角三角形的知识即可求出对应点的坐标，是该章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
6.(2025,陕西,10)如图,将正五边形绕着它的中心O旋转$n°(0＜n＜360)$后,能够与原来的图形完全重合,则n的值可以是
72(144,216,288符合题意的数即可)
(写出一个符合题意的数即可).答案
6.72(144,216,288符合题意的数即可)
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确正多边形的旋转对称性质：正多边形绕它的中心旋转其中心角的正整数倍后，能与原图形完全重合。解题思路为：第一步先计算正五边形的中心角，第二步找出该中心角的正整数倍、且满足0＜n＜360的数值即可。
【解析】
正n边形的中心角计算公式为$\frac{360°}{n}$，本题中是正五边形，即n=5，因此它的中心角为：
$360° ÷ 5 = 72°$
只要旋转角度是72°的正整数倍，且满足$0 ＜ n ＜ 360$，旋转后就能与原图形完全重合，例如n=72，144、216、288也均符合要求。
【答案】
72（答案不唯一，144、216、288均正确）
【知识点】
正多边形的性质，旋转对称特征，中心角计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要掌握正多边形中心角的计算方法以及旋转对称的特点，就能快速得到答案，解题时注意不要超出题目给出的旋转角度范围即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确正多边形的旋转对称性质：正多边形绕它的中心旋转其中心角的正整数倍后，能与原图形完全重合。解题思路为：第一步先计算正五边形的中心角，第二步找出该中心角的正整数倍、且满足0＜n＜360的数值即可。
【解析】
正n边形的中心角计算公式为$\frac{360°}{n}$，本题中是正五边形，即n=5，因此它的中心角为：
$360° ÷ 5 = 72°$
只要旋转角度是72°的正整数倍，且满足$0 ＜ n ＜ 360$，旋转后就能与原图形完全重合，例如n=72，144、216、288也均符合要求。
【答案】
72（答案不唯一，144、216、288均正确）
【知识点】
正多边形的性质，旋转对称特征，中心角计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要掌握正多边形中心角的计算方法以及旋转对称的特点，就能快速得到答案，解题时注意不要超出题目给出的旋转角度范围即可。
【难度系数】
0.8
7.半径为2的圆内接正三角形的边长为
$2\sqrt{3}$
，边心距为$1$
，面积为$3\sqrt{3}$
.（第6题）答案
7.$2\sqrt{3},1,3\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先明确题中圆的半径就是正三角形的外接圆半径，正三角形的外接圆圆心同时是其中心，到各顶点距离相等、到各边的距离为边心距。我们可以通过过圆心作正三角形一边的垂线，连接圆心与该边的一个端点，构造出含特殊角的直角三角形，再利用直角三角形的性质依次求出边心距、半边长，最后推导得到边长和正三角形的面积。
【解析】
解：已知圆的半径即正三角形的外接圆半径$R=2$。
1. 计算中心角：正三角形的中心角为$\frac{360°}{3}=120°$。
2. 构造直角三角形：过圆心$O$作$OD⊥ BC$于点$D$，连接$OB$，则$OB=R=2$，$OD$为边心距，$BD=DC=\frac{1}{2}BC$，$∠ BOD=\frac{1}{2}×120°=60°$。
3. 求边心距：在$Rt△ BOD$中，$∠ OBD=90°-60°=30°$，30°角所对直角边等于斜边的一半，因此$OD=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×2=1$，即边心距为1。
4. 求边长：由勾股定理得$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，因此边长$BC=2BD=2\sqrt{3}$。
5. 求面积：正三角形的高$h=R+OD=2+1=3$，则面积$S=\frac{1}{2}× 底× 高=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3=3\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$；$1$；$3\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形与圆的性质；解直角三角形；正三角形面积计算
【点评】
本题属于正多边形与圆计算的基础常考题，核心思路是将正多边形的相关计算转化为直角三角形的计算，掌握正多边形的中心、半径、边心距、中心角等基础概念就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先明确题中圆的半径就是正三角形的外接圆半径，正三角形的外接圆圆心同时是其中心，到各顶点距离相等、到各边的距离为边心距。我们可以通过过圆心作正三角形一边的垂线，连接圆心与该边的一个端点，构造出含特殊角的直角三角形，再利用直角三角形的性质依次求出边心距、半边长，最后推导得到边长和正三角形的面积。
【解析】
解：已知圆的半径即正三角形的外接圆半径$R=2$。
1. 计算中心角：正三角形的中心角为$\frac{360°}{3}=120°$。
2. 构造直角三角形：过圆心$O$作$OD⊥ BC$于点$D$，连接$OB$，则$OB=R=2$，$OD$为边心距，$BD=DC=\frac{1}{2}BC$，$∠ BOD=\frac{1}{2}×120°=60°$。
3. 求边心距：在$Rt△ BOD$中，$∠ OBD=90°-60°=30°$，30°角所对直角边等于斜边的一半，因此$OD=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×2=1$，即边心距为1。
4. 求边长：由勾股定理得$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，因此边长$BC=2BD=2\sqrt{3}$。
5. 求面积：正三角形的高$h=R+OD=2+1=3$，则面积$S=\frac{1}{2}× 底× 高=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3=3\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$；$1$；$3\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形与圆的性质；解直角三角形；正三角形面积计算
【点评】
本题属于正多边形与圆计算的基础常考题，核心思路是将正多边形的相关计算转化为直角三角形的计算，掌握正多边形的中心、半径、边心距、中心角等基础概念就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
8.同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距的比为
$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$
.答案
8.$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先明确三个正多边形内接于同一个圆，因此它们的外接圆半径相同，我们可设该公共外接圆半径为R作为计算参数。回忆正多边形边心距的计算方法：边心距是外接圆圆心到正多边形边的距离，可在由外接圆半径、边心距、半边长组成的直角三角形中，结合中心角的一半的三角函数求解。接下来分别求出三种正多边形对应的边心距，最后作比化简即可得到结果。
【解析】
设这个圆的半径为$ R $：
1. 求内接正三角形的边心距：
正三角形的中心角为$ \frac{360°}{3}=120° $，中心角的一半为$ 60° $，
边心距$ r_3 = R·\cos60° = R×\frac{1}{2}=\frac{R}{2} $。
2. 求内接正方形的边心距：
正方形的中心角为$ \frac{360°}{4}=90° $，中心角的一半为$ 45° $，
边心距$ r_4 = R·\cos45° = R×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}R}{2} $。
3. 求内接正六边形的边心距：
正六边形的中心角为$ \frac{360°}{6}=60° $，中心角的一半为$ 30° $，
边心距$ r_6 = R·\cos30° = R×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}R}{2} $。
则三者边心距的比为：
$ r_3:r_4:r_6=\frac{R}{2}:\frac{\sqrt{2}R}{2}:\frac{\sqrt{3}R}{2}=1:\sqrt{2}:\sqrt{3} $
【答案】
$ 1:\sqrt{2}:\sqrt{3} $
【知识点】
正多边形与圆的关系；边心距计算；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是正多边形与圆相关的基础计算题，解题核心是抓住同圆内接正多边形外接圆半径相同的特点，通过设参数的方式分别计算边心距，再化简比值，熟练掌握正多边形的基本概念和特殊角三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先明确三个正多边形内接于同一个圆，因此它们的外接圆半径相同，我们可设该公共外接圆半径为R作为计算参数。回忆正多边形边心距的计算方法：边心距是外接圆圆心到正多边形边的距离，可在由外接圆半径、边心距、半边长组成的直角三角形中，结合中心角的一半的三角函数求解。接下来分别求出三种正多边形对应的边心距，最后作比化简即可得到结果。
【解析】
设这个圆的半径为$ R $：
1. 求内接正三角形的边心距：
正三角形的中心角为$ \frac{360°}{3}=120° $，中心角的一半为$ 60° $，
边心距$ r_3 = R·\cos60° = R×\frac{1}{2}=\frac{R}{2} $。
2. 求内接正方形的边心距：
正方形的中心角为$ \frac{360°}{4}=90° $，中心角的一半为$ 45° $，
边心距$ r_4 = R·\cos45° = R×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}R}{2} $。
3. 求内接正六边形的边心距：
正六边形的中心角为$ \frac{360°}{6}=60° $，中心角的一半为$ 30° $，
边心距$ r_6 = R·\cos30° = R×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}R}{2} $。
则三者边心距的比为：
$ r_3:r_4:r_6=\frac{R}{2}:\frac{\sqrt{2}R}{2}:\frac{\sqrt{3}R}{2}=1:\sqrt{2}:\sqrt{3} $
【答案】
$ 1:\sqrt{2}:\sqrt{3} $
【知识点】
正多边形与圆的关系；边心距计算；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是正多边形与圆相关的基础计算题，解题核心是抓住同圆内接正多边形外接圆半径相同的特点，通过设参数的方式分别计算边心距，再化简比值，熟练掌握正多边形的基本概念和特殊角三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9.(2025,宿迁,15)如图,正五边形ABCDE内接于$\odot O$,连接AC,则$∠ ACD$的度数为
72
°.答案
9.72
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以从正五边形的性质入手思考：首先正五边形的各边相等、各内角相等，我们可以先求出正五边形的内角度数，再结合等腰三角形的内角计算出∠BCA的度数，最后用∠BCD减去∠BCA就可以得到∠ACD的度数；也可以利用圆周角定理，先求出∠ACD所对弧的度数，再根据圆周角是所对弧度数的一半计算角度。
【解析】
方法一：利用正多边形内角和与等腰三角形性质求解
1. 计算正五边形的内角度数：根据多边形内角和公式，$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ ABC=∠ BCD=108°$。
2. 计算$∠ BCA$的度数：正五边形各边相等，故$AB=BC$，$△ ABC$为等腰三角形，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ BCA=(180°-∠ ABC)÷2=(180°-108°)÷2=36°$。
3. 计算$∠ ACD$的度数：$∠ ACD=∠ BCD-∠ BCA=108°-36°=72°$。
方法二：利用圆周角定理求解
1. 正五边形内接于$\odot O$，各边所对的弧相等，每段弧的度数为$360°÷5=72°$。
2. $∠ ACD$是圆周角，所对的弧为弧$AED$，弧$AED$的度数为$72°×2=144°$。
3. 根据圆周角定理，圆周角的度数等于所对弧度数的一半，故$∠ ACD=144°÷2=72°$。
【答案】
72
【知识点】
正多边形的性质、多边形内角和公式、圆周角定理
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题型，解题的核心是熟练掌握正五边形的边、角以及对应弧的性质，结合三角形内角和或圆周角定理即可快速求解，是正多边形相关考点的典型考法。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以从正五边形的性质入手思考：首先正五边形的各边相等、各内角相等，我们可以先求出正五边形的内角度数，再结合等腰三角形的内角计算出∠BCA的度数，最后用∠BCD减去∠BCA就可以得到∠ACD的度数；也可以利用圆周角定理，先求出∠ACD所对弧的度数，再根据圆周角是所对弧度数的一半计算角度。
【解析】
方法一：利用正多边形内角和与等腰三角形性质求解
1. 计算正五边形的内角度数：根据多边形内角和公式，$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ ABC=∠ BCD=108°$。
2. 计算$∠ BCA$的度数：正五边形各边相等，故$AB=BC$，$△ ABC$为等腰三角形，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ BCA=(180°-∠ ABC)÷2=(180°-108°)÷2=36°$。
3. 计算$∠ ACD$的度数：$∠ ACD=∠ BCD-∠ BCA=108°-36°=72°$。
方法二：利用圆周角定理求解
1. 正五边形内接于$\odot O$，各边所对的弧相等，每段弧的度数为$360°÷5=72°$。
2. $∠ ACD$是圆周角，所对的弧为弧$AED$，弧$AED$的度数为$72°×2=144°$。
3. 根据圆周角定理，圆周角的度数等于所对弧度数的一半，故$∠ ACD=144°÷2=72°$。
【答案】
72
【知识点】
正多边形的性质、多边形内角和公式、圆周角定理
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题型，解题的核心是熟练掌握正五边形的边、角以及对应弧的性质，结合三角形内角和或圆周角定理即可快速求解，是正多边形相关考点的典型考法。
【难度系数】
0.7
10.如图，正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，四边形EFGH是正方形，则$∠ OGF$的度数为________°。
答案
10.15
解析
【分析】解题时可按以下思路推导：首先利用正六边形内接于圆的性质，得出正六边形边长等于外接圆半径，相邻半径与对应边构成等边三角形，得到OF与EF的数量关系及∠OFE的度数；再结合正方形四边相等、内角为90°的性质，推出OF=FG，判断△OFG为等腰三角形；然后结合图形得到∠OFG的度数，最后根据等腰三角形内角和定理计算∠OGF的度数即可。
【解析】
解：
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$
∴正六边形的边长等于外接圆半径，每边对应的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$
∴$OF=EF$，$△ OFE$为等边三角形，$∠ OFE=60°$
∵四边形EFGH是正方形
∴$EF=FG$，$∠ EFG=90°$
∴$OF=FG$，即$△ OFG$是等腰三角形
又
∵$∠ OFE$和$∠ EFG$位于EF的两侧
∴$∠ OFG=∠ OFE+∠ EFG=60°+90°=150°$
∴$∠ OGF=\frac{180°-∠ OFG}{2}=\frac{180°-150°}{2}=15°$
【答案】
15
【知识点】
正多边形与圆的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，需要结合图形分析角度的和差关系，解题的关键是找到线段之间的等量关系，判断出等腰三角形，再结合内角和公式计算角度。
【难度系数】
0.6
【解析】
解：
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$
∴正六边形的边长等于外接圆半径，每边对应的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$
∴$OF=EF$，$△ OFE$为等边三角形，$∠ OFE=60°$
∵四边形EFGH是正方形
∴$EF=FG$，$∠ EFG=90°$
∴$OF=FG$，即$△ OFG$是等腰三角形
又
∵$∠ OFE$和$∠ EFG$位于EF的两侧
∴$∠ OFG=∠ OFE+∠ EFG=60°+90°=150°$
∴$∠ OGF=\frac{180°-∠ OFG}{2}=\frac{180°-150°}{2}=15°$
【答案】
15
【知识点】
正多边形与圆的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，需要结合图形分析角度的和差关系，解题的关键是找到线段之间的等量关系，判断出等腰三角形，再结合内角和公式计算角度。
【难度系数】
0.6
