二、拓展性作业
9. 向某容器中匀速注水，容器中水面的高度h与时间t之间关系的图象大致如图4-2-17所示。

图4-2-17
(1)这个容器的三种视图可能是图4-2-18中的；(填序号)

图4-2-18
(2)请你设计一个满足要求的容器，画出它的三种视图。

9. (1) ②③ (2)略

【分析】
解题时首先明确匀速注水的本质是单位时间注水量固定，结合体积公式推导水面高度变化速度和容器横截面积的关系：①单位时间注水量$\Delta V$固定时，$\Delta h=\frac{\Delta V}{S}$（$S$为容器当前水面处的横截面积），$S$越大，$\Delta h$越小，对应$h-t$图像的斜率越小（图像越平缓）；②观察题中给出的$h-t$图像，可知水面上升速度先慢后快，说明容器的横截面积随水面升高逐渐减小，即容器为下粗上细的结构；③再结合三视图对应的容器结构，筛选出符合下粗上细特征的选项即可完成第(1)问；第(2)问只需设计任意一个下粗上细的容器，按三视图绘制规范画出三种视图即可。
【解析】
(1) 设匀速注水时单位时间注水量为定值$\Delta V$，某时刻容器水面处横截面积为$S$，由体积公式可得$\Delta V = S·\Delta h$，变形得$\Delta h=\frac{\Delta V}{S}$，即水面高度的上升速率与容器当前横截面积成反比：横截面积越大，高度上升越慢，$h-t$图像越平缓。
观察题中$h-t$图像可知，水面上升速率先慢后快，说明容器下部横截面积大、上部横截面积小，即容器为下粗上细的结构。
结合给出的三视图对应的容器特征，②、③对应的容器均为下粗上细的结构，符合要求。
(2) 可设计下部为大圆柱、上部为同轴小圆柱的组合容器（或下大上小的圆台等符合下粗上细特征的容器均可），绘制三视图时遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则即可，合理即可。
【答案】
(1) $\boxed{②③}$；(2) 略
【知识点】
函数图象分析，三视图识别，体积公式应用
【点评】
本题将函数图象的实际意义与几何体结构、三视图知识相结合，考查学生的信息转化能力和动手作图能力，贴近生活实际，注重知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7

10. 如图4-2-19，一个长方体容器的长、宽均为2，高为6，里面盛有水，水面的高为4，沿底面一边旋转倾斜。
(1)倾斜后的长方体容器的主视图如图②所示，若倾斜容器使水恰好流出，则 CD=；
(2)从图①到图②的倾斜过程中，设 AD=m，请用含 m 的代数式表示出 BC 的长。

图4-2-19

10. 解:(1)2√5
(2)根据题意得1/2(m+BC)×2×2=2×2×4，
∴m+BC = 8，
∴BC = 8−m。

【分析】
解决本题的核心是倾斜前后容器内水的体积保持不变。对于(1)，先计算原有水的体积，当水恰好流出时，BC的长度等于长方体容器的高6，结合体积不变的关系求出AD的长度，再将CD看作直角三角形的斜边，两条直角边分别为容器底面边长2、BC与AD的长度差，用勾股定理即可求出CD的长度。对于(2)，倾斜后水的形状为直棱柱，其横截面是直角梯形，用梯形面积乘以容器宽度得到水的体积，结合水体积不变列等式，整理即可得到BC关于m的表达式。
【解析】
首先计算容器内原有水的体积：$V=2×2×4=16$。
(1)当倾斜后水恰好流出时，BC的长度等于长方体的高，即$BC=6$。
倾斜后水为直棱柱，体积等于横截面（直角梯形）面积乘以容器宽度2，根据体积不变得：
$\frac{1}{2}(AD+BC)×2×2=16$
代入$BC=6$，解得$AD=2$。
此时CD为直角三角形的斜边，两条直角边长度分别为底面边长2、$BC-AD=6-2=4$，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
(2)已知$AD=m$，根据水体积不变列等式：
$\frac{1}{2}(m+BC)×2×2=2×2×4$
化简得$2(m+BC)=16$，即$m+BC=8$，整理得$BC=8-m$。
【答案】
(1)$2\sqrt{5}$；(2)$BC=8-m$
【知识点】
等积变换，勾股定理，列代数式
【点评】
本题解题关键是抓住倾斜前后水的体积不变，将不规则的水体形状转化为规则直棱柱计算体积，结合勾股定理和方程求解，考查了空间想象能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.65