12. 如图，已知舞台AB长10米，若报幕员从点A出发走到舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，则报幕员走了米（结果精确到0.1米.参考数据：$\sqrt{5}≈2.236$）.

12. 3.8 【点拨】$\because$点$P$为$AB$的黄金分割点，$AP＜BP$，$\therefore PB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×10=(5\sqrt{5}-5)$米，$\therefore AP=AB-PB=10-(5\sqrt{5}-5)=15-5\sqrt{5}\approx3.8$(米).

13. 已知非负数$a,b,c$满足$\frac{a-1}{2}=\frac{b-2}{3}=\frac{3-c}{4}$，设$S=a+2b+3c$，则$S$的取值范围是。

13.$11≤ S≤16$ 【点拨】设$\frac{a-1}{2}=\frac{b-2}{3}=\frac{3-c}{4}=k$，则$a=2k+1$，$b=3k+2$，$c=3-4k$，$\therefore S=a+2b+3c=(2k+1)+2(3k+2)+3(3-4k)=-4k+14$.$\because -4＜0$，$\therefore S$随$k$的增大而减小.$\because a,b,c$为非负数，$\therefore \begin{cases}2k+1≥0,\\3k+2≥0,\\3-4k≥0,\end{cases}$解得$-\frac{1}{2}≤ k≤\frac{3}{4}$.$\therefore$当$k=-\frac{1}{2}$时，$S$取最大值，最大值为$-4k+14=-4×(-\frac{1}{2})+14=16$；当$k=\frac{3}{4}$时，$S$取最小值，最小值为$-4k+14=-4×\frac{3}{4}+14=11$.$\therefore S$的取值范围是$11≤ S≤16$.

14. ★★ 新考法·分类讨论法 上海自主招生 已知$a,b,c$均为非零的实数，且满足$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}$，则$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$的值为。

14. $-1$或$8$ 【点拨】设$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=k$，则$a+b-c=ck$，$a-b+c=bk$，$-a+b+c=ak$，上述三式相加，得$a+b+c=(a+b+c)k$. ①当$a+b+c≠0$时，①式变为$k=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$，$\therefore \frac{a+b-c}{c}=1$，$\frac{a-b+c}{b}=1$，$\frac{-a+b+c}{a}=1$，变形得$a+b=2c$，$a+c=2b$，$b+c=2a$，$\therefore \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{2c·2a·2b}{abc}=8$. 当$a+b+c=0$时，$a+b=-c$，$a+c=-b$，$b+c=-a$，$\therefore \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{-c·(-a)·(-b)}{abc}=-1$. 综上，原式的值为$8$或$-1$.

15. 易错题 已知线段$AB=10$，点$C$是直线$AB$上一点，点$D$为线段$AC$的中点，$\frac{BC}{AC}=\frac{m}{n}$，且$m,n$满足$|m-3|+5(m+2n-7)^2=0$，则线段$BD$的长为。

15. 8或20 【点拨】$\because |m-3|+5(m+2n-7)^2=0$，$|m-3|≥0$，$(m+2n-7)^2≥0$，$\therefore m-3=0$，$m+2n-7=0$.$\therefore m=3$，$n=2$.$\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{3}{2}$. 设$BC=3k$，则$AC=2k$. 当点$C$在线段$AB$上时，如图①，$2k+3k=10$，$\therefore k=2$.$\therefore AC=4$，$BC=6$.$\therefore AD=CD=\frac{1}{2}AC=2$，$\therefore BD=2+6=8$；当点$C$在$BA$的延长线上时，如图②，$3k-2k=10$，$\therefore k=10$.$\therefore AC=20$，$BC=30$，$\therefore AD=CD=\frac{1}{2}AC=10$，$\therefore BD=AD+AB=10+10=20$. 综上所述，$BD$的长为8或20.

点C是直线AB上一点包括点C在线段AB上和点C不在线段AB上，需分情况讨论，本题易忽视点C不在线段AB上的情况而漏解.

16. 上海浦东新区期末 新考法·设参数法 已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，且$\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{4}≠0$。
(1)求$\frac{4a+2b}{5c-6a}$的值；
(2)若$△ ABC$的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状。

16.【解】$\because \frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{4}≠0$，
$\therefore$设$a=3k(k≠0)$，则$b=5k$，$c=4k$.
(1)$\frac{4a+2b}{5c-6a}=\frac{12k+10k}{20k-18k}=11$.
(2)$\because △ ABC$的周长为24，$\therefore 3k+5k+4k=24$，解得$k=2$.
$\therefore a=6$，$b=10$，$c=8$.
$\because a^2+c^2=b^2$，$\therefore △ ABC$是直角三角形.
设参数法求代数式的值：利用比例的性质求代数式的值时，常根据比值相等设出参数$k$，用$k$表示字母的值，再代入所求代数式进行计算即可.

17. 新视角新定义题 阅读下列材料:任意给定一个矩形ABCD,如果存在另一个矩形A'B'C'D',使它的周长和面积分别是矩形ABCD周长和面积的k倍(k≥2,且k是整数).那么我们把矩形A'B'C'D'叫做矩形ABCD的k倍矩形.例如:矩形ABCD的长和宽分别为3和1,它的周长和面积分别为8和3;矩形A'B'C'D'的长和宽分别为$4+\sqrt{10}$和$4-\sqrt{10}$,它的周长和面积分别为16和6,这时,矩形A'B'C'D'的周长和面积分别是矩形ABCD周长和面积的2倍,则矩形A'B'C'D'叫做矩形ABCD的2倍矩形.
(1)填空:一个矩形的周长和面积分别为10和6,则它的2倍矩形的周长为,面积为.
(2)已知矩形ABCD的长和宽分别为2和1,那么是否存在它的k倍矩形A'B'C'D',且$A'B':AB=B'C':BC$?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.

17.【解】(1)20;12
(2)不存在.理由如下：
$\because A'B':AB=B'C':BC$，且矩形$ABCD$的长和宽分别为2和1，$\therefore A'B':B'C'=AB:BC=2:1$，
即$A'B'=2B'C'$，$AB=2BC$.
由$k$倍矩形的定义得$2(A'B'+B'C')=k·2(AB+BC)$，$A'B'· B'C'=k· AB· BC$，
$\therefore 2(2B'C'+B'C')=k·2(2BC+BC)$，$2B'C'· B'C'=k·2BC· BC$，
即$B'C'=kBC$，$B'C'^2=k· BC^2$，
$\therefore (kBC)^2=k· BC^2$，
$\therefore k^2=k$，解得$k=1$或$k=0$.
$\because k≥2$，且$k$是整数，
$\therefore$不存在满足条件的$k$.