11.若$∠ 1=45°24'$，$∠ 2=45.3°$，$∠ 3=45°18'$，则（）

A.$∠ 1=∠ 2$
B.$∠ 2=∠ 3$
C.$∠ 1=∠ 3$
D.以上都不对

11.B

【分析】
本题考查角的大小比较，解题关键是统一三个角的单位，再进行大小比较。首先回忆度和分的换算规则：1°=60'，我们可以先将用小数表示的∠2换算成度、分的形式，再和∠1、∠3对比，即可得出结论。
【解析】
首先明确度与分的换算进率：$1° = 60'$
将$∠ 2$的单位换算为度分组合形式：
$0.3° = 0.3 × 60' = 18'$，因此$∠ 2 = 45° + 18' = 45°18'$
对比三个角的大小：
$∠ 1 = 45°24'$，$∠ 2 = 45°18'$，$∠ 3 = 45°18'$
可得$∠ 2 = ∠ 3$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
度分秒换算，角的大小比较
【点评】
本题属于基础题，核心考查度分之间60进制的换算规则，做题时注意不要将度分的进率错当成10进制，统一单位后再比较大小即可快速解答。
【难度系数】
0.8

12.如图,下列说法不正确的是 （）

A.OC 的方向是南偏东 $30°$
B.OA 的方向是北偏东 $45°$
C.OB 的方向是西偏北 $30°$
D.$∠ AOB$ 的度数是 $75°$

12.D

【分析】
这是一道考查方向角识别和角度计算的选择题，解题思路为：首先明确方向角的表示规则，以观测点O为中心，按照“上北下南、左西右东”确定基本方向，描述方向时以东西或南北方向为基准说明偏移角度；接下来逐一验证每个选项的描述是否正确，涉及角度计算的选项结合图形已知角、平角的性质计算，最终选出不正确的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 验证选项A：正东与正南方向夹角为90°，已知OC和正东方向夹角为60°，因此OC和正南方向夹角为90°-60°=30°，即OC方向是南偏东30°，A描述正确。
2. 验证选项B：正东与正北方向夹角为90°，已知OA和正东方向夹角为45°，因此OA和正北方向夹角为90°-45°=45°，即OA方向是北偏东45°，B描述正确。
3. 验证选项C：由图可知OB和正西方向夹角为30°，向北侧偏移，因此OB方向是西偏北30°，C描述正确。
4. 验证选项D：东西方向是平角，度数为180°，已知OB与正西夹角30°、OA与正东夹角45°，因此$∠ AOB=180°-30°-45°=105°$，不是75°，D描述错误。
综上，本题选描述不正确的选项，答案为D。
【答案】
D
【知识点】
方向角的表示，角的和差计算，平角的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查方向角的表述规范和简单角度计算，解题关键是结合图形明确各个角的位置关系，计算角度时不要混淆角的和差关系即可轻松解题。
【难度系数】
0.8

13.将一个$20°$的角放在10倍的放大镜下看，其度数是（）

A.$20°$
B.$2°$
C.$200°$
D.无法判断

13.A

【分析】
解题时首先要明确角的度数的决定本质：角的大小仅和两条边张开的程度有关，和边的长短没有任何关系。放大镜的作用只是放大了角的边的视觉长度，并不会改变两条边张开的幅度，因此角的度数不会因为使用放大镜而发生变化，依据这个原理就可以选出正确选项。
【解析】
角的大小由角的两条边张开的程度决定，与边的长度无关。使用10倍放大镜观察角时，仅会放大角的两条边的视觉长度，不会改变两条边的张开幅度，所以这个角的度数仍然是20°，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.角的概念 2.角的大小特征
【点评】
本题属于常见易错题，解题核心是抓住角的大小的本质决定因素，不要被放大镜能放大物体尺寸的直观感受误导，避免误选放大后的数值类错误选项。
【难度系数】
0.8

14.时钟的分针每分钟转过的角度是度，时针每小时转度，4时40分，时针与分针的夹角为；

14.6 30 100°

【分析】
解决时钟角度问题的核心是先明确分针、时针的转动速度：时钟为圆形，对应周角360°。首先求分针每分钟转的角度，已知分针转1圈用时60分钟，用总角度除以总时长即可得到；求时针每小时转的角度，已知时针转1圈用时12小时，同理用总角度除以总时长即可。计算4时40分的夹角时，需分别算出分针、时针从12时位置转过的总角度，再求两个角度的差，注意时针除了整小时的转动角度，还要加上40分钟对应的额外转动角度，避免漏算。
【解析】
1. 分针每分钟转过的角度：
时钟一圈为360°，分针转一圈需要60分钟，因此每分钟转过的角度为 $360° ÷ 60 = 6°$。
2. 时针每小时转过的角度：
时针转一圈需要12小时，因此每小时转过的角度为 $360° ÷ 12 = 30°$。
3. 计算4时40分时针与分针的夹角：
分针40分钟转过的角度：$40 × 6° = 240°$
时针的总转动角度：4小时转过的角度为 $4 × 30° = 120°$；时针每分钟额外转动的角度为 $30° ÷ 60 = 0.5°$，40分钟额外转过的角度为 $40 × 0.5° = 20°$；因此时针总共转过 $120° + 20° = 140°$
两者的夹角为 $240° - 140° = 100°$
【答案】
6；30；100°
【知识点】
时钟角度计算；角的和差运算；周角的特征
【点评】
本题是时钟角度的基础题型，解题关键是准确掌握分针、时针的转动速度，计算特定时间的夹角时，注意不要漏算分钟数对应的时针额外转动的角度。
【难度系数】
0.7

【变式】自习课上，一位同学抬头看见挂在黑板上方的时钟显示为10:30，此时时针与分针所成的钝角是。

【变式】135°

【分析】
解决这道题首先要明确钟面的基本特征：钟面一圈为360°，被平均分成12个大格，可先算出每个大格对应的度数。再分析10:30时分针和时针的位置：分针指向6，时针不会正好指向10，因为30分钟是半小时，时针每小时走1个大格，半小时会向11的方向移动半个大格，最终数出两针之间的大格总数，乘每个大格的度数就能得到夹角。
【解析】
第一步：计算钟面每个大格的度数
钟面一圈为360°，共12个大格，因此每个大格的度数为：$360° ÷ 12 = 30°$
第二步：确定10:30时分针和时针的位置
分针走30分钟，指向数字6；时针每小时走1个大格，30分钟（0.5小时）会走0.5个大格，因此此时时针在数字10和11的正中间。
第三步：计算两针之间的大格数
从数字6到数字10共有4个大格，再加时针多出的0.5个大格，总大格数为：$4 + 0.5 = 4.5$
第四步：计算夹角度数
夹角为：$4.5 × 30° = 135°$，135°是钝角，符合题意。
【答案】
135°
【知识点】
钟面角计算，角的度量，钝角的识别
【点评】
本题是钟面角计算的基础题型，解题的易错点是忽略时针会随分钟走动偏移，误将时针位置当成正对10，算成4个大格得到120°的错误结果，解题时要注意结合时间准确判断时针的具体位置。
【难度系数】
0.7

15.爸爸问小明：“一个方桌有四个角，如果锯掉一个角，还剩几个角？”
小明回答：“还剩3个角.”并画出了如下图形：

小明回答正确吗？若不正确，请说明理由，并画出图形.

15. 解：不正确，理由：除小明这种画法外还有如下两种画法，所以还剩3个或4个或5个角。画图如下：

【分析】
解决本题首先要打破“锯掉一个角就一定减少一个角”的思维定式，明确锯方桌时切割线的位置不唯一，我们可以按切割线经过四边形顶点的数量分类讨论：分别考虑切割线经过2个顶点、1个顶点、0个顶点三种情况，对应剩余图形的角的数量也不同，小明只考虑了切割线经过2个对角顶点的情况，所以回答不全面。
【解析】
小明的回答不正确，理由如下：
方桌是四边形，锯掉一个角时，根据切割线的位置不同，有三种不同的情况：
1. 切割线经过四边形的两个对角顶点：锯掉一个角后剩余图形是三角形，共3个角，也就是小明画出的情况；
2. 切割线经过四边形的1个顶点，以及该顶点不相邻的一条边的非端点位置：锯掉一个角后剩余图形是四边形，共4个角；
3. 切割线经过四边形相邻两条边的非端点位置：锯掉一个角后剩余图形是五边形，共5个角。
因此锯掉方桌一个角后，剩余角的数量可能是3个、4个或5个，小明只考虑了其中一种情况，回答不全面。
【答案】
不正确，理由：除小明这种画法外还有如下两种画法，所以还剩3个或4个或5个角。画图如下：
【知识点】
角的认识，分类讨论，图形切拼
【点评】
本题结合生活实际出题，需要跳出固有思维，全面考虑所有可能的情况，能够有效锻炼发散思维，提升思考问题的严谨性和全面性。
【难度系数】
0.7

【变式】n边形剪去一个角，还剩个角。

【变式】(n-1)或n或(n+1)

【分析】
解决这道题需要分类讨论剪去n边形一个角的不同裁剪方式，不能默认剪完角的数量一定减少：我们要根据裁剪线经过顶点的数量不同，分三种情况分析角的数量变化即可得到所有可能的结果。
【解析】
剪去n边形的一个角时，有三种不同的裁剪情况：
1. 若裁剪线经过n边形的两个相邻顶点：此时剪完后多边形的边数减少1，对应的角的数量为$n-1$个，比如四边形沿对角线剪，剪完变成三角形，剩3个角，符合$4-1=3$；
2. 若裁剪线经过n边形的1个顶点和该顶点相邻的一条边上的非顶点位置：此时剪完后多边形的边数不变，对应的角的数量为$n$个，比如四边形从一个顶点剪到相邻边的中间非顶点处，剪完还是四边形，剩4个角；
3. 若裁剪线经过n边形相邻两条边上的两个非顶点位置：此时剪完后多边形的边数增加1，对应的角的数量为$n+1$个，比如四边形从相邻两条边的中间非顶点处裁剪，剪完变成五边形，剩5个角，符合$4+1=5$。
综上，n边形剪去一个角后剩下的角的数量有三种可能。
【答案】
$(n-1)$或$n$或$(n+1)$
【知识点】
1. 多边形基本概念
2. 分类讨论思想
【点评】
本题是多边形截角的典型易错题，解题的关键是考虑到裁剪位置的所有可能性，避免因思维局限漏解，要养成全面思考问题的习惯。
【难度系数】
0.4

16.小明下午6点后因事外出，看到手表上时针与分针的夹角为$110°$，下午7点前回到家，发现时针与分针的夹角又为$110°$.试计算小明外出了多长时间？

16. 解:设小明外出了x分钟.根据题意,得 $6°x-0.5°x=2×110°$,解得 $x=40$.答:小明外出了40分钟.

【分析】
解决这道题首先要明确钟表上时针和分针的转动速度：分针每分钟转动的角度为$360°÷60=6°$，时针每小时转动$30°$，因此每分钟转动$30°÷60=0.5°$。小明6点后出门、7点前回家，出门时分针在时针后方，夹角为$110°$，回家时分针已经超过时针，夹角又为$110°$，说明外出这段时间里，分针比时针一共多走了2个$110°$的路程差。我们可以设外出时间为x分钟，根据“速度差×时间=路程差”的关系列方程求解即可。
【解析】
解：设小明外出了x分钟。
已知分针每分钟转$6°$，时针每分钟转$0.5°$，外出时间内分针比时针多走了$2×110°$，可列方程：
$6° x - 0.5° x = 2×110°$
合并同类项得：$5.5° x = 220°$
解得：$x=40$
答：小明外出了40分钟。
【答案】
40分钟
【知识点】
钟面角计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于钟表行程类问题，解题核心是熟记时针与分针的转动速度，准确分析出运动过程中两者的角度差关系，通过建立一元一次方程即可快速求解。
【难度系数】
0.6

方法指导:数角时,可以先从一条边开始,按顺时针或逆时针方向数,既要防止重复,又要防止遗漏,另外,要体会由特殊到一般的思想方法.
如图.

(1)如图1,在∠AOB的内部画1条射线OC,则图中共有个角;
(2)如图2,在∠AOB的内部画2条射线OC,OD,则图中共有个角;
(3)如图3,在∠AOB的内部画3条射线OC,OD,OE,则图中共有个角;
(4)若在∠AOB的内部画10条不同的射线,则图中共有个角;
(5)若在∠AOB的内部画n条不同的射线,则图中共有多少个角?

微专题10:(1)3 (2)6 (3)10 (4)66 (5)解:$1+2+3+\dots+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$,故共有$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$个角.

【分析】
数角时可以按从下到上的固定顺序，先以最下方的边为起始边，依次和它上方的所有射线组成角，再以上方相邻的射线为起始边，和它更上方的射线组成角，既不会重复也不会遗漏。先计算前3个小问的角的数量，观察累加的规律，再推广到内部画10条射线、n条射线的一般情况。
【解析】
(1) 图1中∠AOB内部有1条射线，共有OA、OC、OB3条射线。按顺序数：以OA为边的角有∠AOC、∠AOB共2个，以OC为边的角有∠COB共1个，总共有$2+1=3$个角。
(2) 图2中∠AOB内部有2条射线，共有OA、OC、OD、OB4条射线。按顺序数：以OA为边的角有3个，以OC为边的角有2个，以OD为边的角有1个，总共有$3+2+1=6$个角。
(3) 图3中∠AOB内部有3条射线，共有5条射线。按顺序数：以OA为边的角有4个，以OD为边的角有3个，以OC为边的角有2个，以OE为边的角有1个，总共有$4+3+2+1=10$个角。
(4) 若内部画10条射线，总共有$10+2=12$条射线，按规律累加得：$11+10+9+\dots+1=\frac{11×12}{2}=66$个角。
(5) 若内部画n条射线，总共有$(n+2)$条射线，累加求和：$1+2+3+\dots+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$，即共有$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$个角。
【答案】
(1)3；(2)6；(3)10；(4)66；(5)$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$个
【知识点】
角的计数；规律探究；代数式表示
【点评】
本题核心是掌握有序数角的方法，通过少量射线的情况归纳出n条射线时的通用规律，体现了由特殊到一般的数学思想，能有效锻炼逻辑归纳能力。
【难度系数】
0.7