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9. 书店促销:新书上市第一天打八折销售,第二天恢复原价销售。某班级第一天买了$(x+2)$本书,第二天买了$x$本书,共付了558元。已知每本书的原价为45元,求第一天和第二天分别买了多少本书。
答案
9. 解:第一天的单价为 $45×0.8=36$(元),第二天的单价为45 元,
则 $36(x+2)+45x=558$,
解得 $x=6$,
则 $x+2=6+2=8$,
所以第一天买了 8 本书,第二天买了 6 本书。
则 $36(x+2)+45x=558$,
解得 $x=6$,
则 $x+2=6+2=8$,
所以第一天买了 8 本书,第二天买了 6 本书。
解析
【分析】
解题的核心是找到等量关系：两天购书的总费用之和为558元。第一步先计算第一天的售书单价：打八折即按原价的0.8倍销售，用原价乘0.8即可得到第一天的单价；再分别根据“总价=单价×数量”表示出第一天、第二天的购书总费用，两者相加等于总付款558元，据此列出一元一次方程，解出x的取值后，就能分别求出两天的购书数量。
【解析】
解：先计算第一天的书籍单价：$45×0.8=36$（元）
第一天购书总价为$36(x+2)$元，第二天购书总价为$45x$元，根据总付款为558元列方程：
$36(x+2)+45x=558$
展开括号得：$36x + 72 + 45x = 558$
合并同类项得：$81x + 72 = 558$
移项计算得：$81x = 486$
解得：$x=6$
则第一天购书数量为：$x+2=6+2=8$（本）
【答案】
第一天买了8本书，第二天买了6本书。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 打折销售计算
【点评】
本题是基础的生活实际类应用题，重点考察学生提取等量关系、将实际问题转化为数学方程的能力，只要掌握打折的计算规则和列方程解应用题的基本步骤，就能顺利作答。
【难度系数】
0.8
解题的核心是找到等量关系：两天购书的总费用之和为558元。第一步先计算第一天的售书单价：打八折即按原价的0.8倍销售，用原价乘0.8即可得到第一天的单价；再分别根据“总价=单价×数量”表示出第一天、第二天的购书总费用，两者相加等于总付款558元，据此列出一元一次方程，解出x的取值后，就能分别求出两天的购书数量。
【解析】
解：先计算第一天的书籍单价：$45×0.8=36$（元）
第一天购书总价为$36(x+2)$元，第二天购书总价为$45x$元，根据总付款为558元列方程：
$36(x+2)+45x=558$
展开括号得：$36x + 72 + 45x = 558$
合并同类项得：$81x + 72 = 558$
移项计算得：$81x = 486$
解得：$x=6$
则第一天购书数量为：$x+2=6+2=8$（本）
【答案】
第一天买了8本书，第二天买了6本书。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 打折销售计算
【点评】
本题是基础的生活实际类应用题，重点考察学生提取等量关系、将实际问题转化为数学方程的能力，只要掌握打折的计算规则和列方程解应用题的基本步骤，就能顺利作答。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
10. 已知关于x的方程$k(x+1)=k-2(x-2)$，求当k取什么整数时方程的解是整数。
10. 已知关于x的方程$k(x+1)=k-2(x-2)$，求当k取什么整数时方程的解是整数。
答案
10. 解:方程 $k(x+1)=k-2(x-2)$ 去括号,得 $kx+k=k-2x+4$,
移项,得 $kx+2x=k-k+4$,
合并同类项,得$(k+2)x=4$。
由于 k 是整数且方程的解是整数,因此 $k+2=±1$ 或$±2$或$±4$,
则 k 的值为$-3$或$-1$或$-4$或0或$-6$或2。
移项,得 $kx+2x=k-k+4$,
合并同类项,得$(k+2)x=4$。
由于 k 是整数且方程的解是整数,因此 $k+2=±1$ 或$±2$或$±4$,
则 k 的值为$-3$或$-1$或$-4$或0或$-6$或2。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们先把参数k当作常数，按照一元一次方程的常规解法求出用k表示x的表达式，再结合“k是整数、方程的解x是整数”的条件，可知x的系数k+2是4的整数因数（正、负因数都需考虑），最后求出对应的整数k即可。
【解析】
对原方程逐步整理：
1. 去括号：将$k(x+1)=k-2(x-2)$去括号，得 $kx + k = k - 2x + 4$；
2. 移项：把含x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，得 $kx + 2x = k - k + 4$；
3. 合并同类项：左侧提取公因式x，右侧计算常数项，得 $(k+2)x = 4$。
若$k+2=0$即$k=-2$时，等号左边为0、右边为4，等式不成立，方程无解，因此$k≠-2$，此时$x=\frac{4}{k+2}$。
因为k是整数，且方程的解x是整数，所以$k+2$是4的整数因数，即$k+2$的取值为$\pm1、\pm2、\pm4$，分别计算得：
$k=-1、-3、0、-4、2、-6$。
【答案】
k的值为-3或-1或-4或0或-6或2
【知识点】
解一元一次方程；整数因数性质；含参方程求解
【点评】
本题是含参数一元一次方程整数解的典型题型，解题核心是先将参数视为常数求解方程，再结合整数性质列举参数的所有可能取值，注意不要遗漏负因数的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们先把参数k当作常数，按照一元一次方程的常规解法求出用k表示x的表达式，再结合“k是整数、方程的解x是整数”的条件，可知x的系数k+2是4的整数因数（正、负因数都需考虑），最后求出对应的整数k即可。
【解析】
对原方程逐步整理：
1. 去括号：将$k(x+1)=k-2(x-2)$去括号，得 $kx + k = k - 2x + 4$；
2. 移项：把含x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，得 $kx + 2x = k - k + 4$；
3. 合并同类项：左侧提取公因式x，右侧计算常数项，得 $(k+2)x = 4$。
若$k+2=0$即$k=-2$时，等号左边为0、右边为4，等式不成立，方程无解，因此$k≠-2$，此时$x=\frac{4}{k+2}$。
因为k是整数，且方程的解x是整数，所以$k+2$是4的整数因数，即$k+2$的取值为$\pm1、\pm2、\pm4$，分别计算得：
$k=-1、-3、0、-4、2、-6$。
【答案】
k的值为-3或-1或-4或0或-6或2
【知识点】
解一元一次方程；整数因数性质；含参方程求解
【点评】
本题是含参数一元一次方程整数解的典型题型，解题核心是先将参数视为常数求解方程，再结合整数性质列举参数的所有可能取值，注意不要遗漏负因数的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
11. 如图5-2-4，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口。温水的温度为30 ℃，流速为20 mL/s；开水的温度为100 ℃，流速为16 mL/s。某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280 mL温度为70 ℃的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间。（物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度）
图5-2-4
图5-2-4
答案
11. 解:设该学生接温水的时间为 x s,根据题意可得 $20x×(70-30)=(280-20x)×(100-70)$,
解得 $x=6$。
所以 $20×6=120(\mathrm{mL})$。
因为 $280-120=160(\mathrm{mL})$,
所以 $160÷16=10(\mathrm{s})$。
所以该学生接温水的时间为 6 s,接开水的时间为 10 s。
解得 $x=6$。
所以 $20×6=120(\mathrm{mL})$。
因为 $280-120=160(\mathrm{mL})$,
所以 $160÷16=10(\mathrm{s})$。
所以该学生接温水的时间为 6 s,接开水的时间为 10 s。
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：温水流速20mL/s、初始温度30℃，开水流速16mL/s、初始温度100℃，混合后总水量280mL、最终温度70℃，且题目给出不计热损失时的等量关系：开水的体积×开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度。我们可以先设接温水的时间为$x$ s，用含$x$的式子表示出温水的体积，再用总容积减去温水体积得到开水的体积，分别算出温水上升的温度（$70℃-30℃$）和开水下降的温度（$100℃-70℃$），代入等量关系列一元一次方程，求解得到温水的接水时间后，再根据开水的体积和流速算出开水的接水时间即可。
【解析】
解：设该学生接温水的时间为$x$ s，根据题意列方程：
$20x×(70-30)=(280-20x)×(100-70)$
化简得：$800x=8400-600x$
移项合并得：$1400x=8400$
解得：$x=6$
温水的体积为：$20×6=120(\mathrm{mL})$
开水的体积为：$280-120=160(\mathrm{mL})$
接开水的时间为：$160÷16=10(\mathrm{s})$
【答案】
该学生接温水的时间为6 s，接开水的时间为10 s。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 热平衡等量关系
3. 体积流速计算
【点评】
本题结合生活中饮水机接水的常见场景，将物理热传递规律和数学方程应用相结合，需要学生准确梳理各个量之间的关系，找准题目给出的等量关系列方程求解，能够有效考查学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理已知条件：温水流速20mL/s、初始温度30℃，开水流速16mL/s、初始温度100℃，混合后总水量280mL、最终温度70℃，且题目给出不计热损失时的等量关系：开水的体积×开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度。我们可以先设接温水的时间为$x$ s，用含$x$的式子表示出温水的体积，再用总容积减去温水体积得到开水的体积，分别算出温水上升的温度（$70℃-30℃$）和开水下降的温度（$100℃-70℃$），代入等量关系列一元一次方程，求解得到温水的接水时间后，再根据开水的体积和流速算出开水的接水时间即可。
【解析】
解：设该学生接温水的时间为$x$ s，根据题意列方程：
$20x×(70-30)=(280-20x)×(100-70)$
化简得：$800x=8400-600x$
移项合并得：$1400x=8400$
解得：$x=6$
温水的体积为：$20×6=120(\mathrm{mL})$
开水的体积为：$280-120=160(\mathrm{mL})$
接开水的时间为：$160÷16=10(\mathrm{s})$
【答案】
该学生接温水的时间为6 s，接开水的时间为10 s。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 热平衡等量关系
3. 体积流速计算
【点评】
本题结合生活中饮水机接水的常见场景，将物理热传递规律和数学方程应用相结合，需要学生准确梳理各个量之间的关系，找准题目给出的等量关系列方程求解，能够有效考查学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
