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8. 学科特色 分类讨论思想 「2026 北京房山月考，★☆」如图，在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y=-x^2+2x+3$与$x$轴交于点$A$和点$B$，与$y$轴交于点$C$，则点$C$的坐标为
(0,3)
，若抛物线上存在一点$P$，对称轴上存在一点$Q$，使得以$C$，$B$，$P$，$Q$为顶点的四边形是平行四边形，则点$P$的坐标为(4,-5)或$(-2,-5)$或$(2,3)$
。答案
答案 $(0,3)$;$(4,-5)$或$(-2,-5)$或$(2,3)$
解析 令 $x=0$,则 $y=3$,$\therefore C(0,3)$.
令 $y=0$,则$-x^2+2x+3=0$,解得 $x=-1$ 或 $x=3$,$\therefore B(3,0)$.
$\because y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线 $x=1$,设点 $Q(1,q)$,$P(p,-p^2+2p+3)$,当 $BC,PQ$ 为平行四边形的对角线时,$\begin{cases}0+3=1+p,\\3+0=q+(-p^2+2p+3),\end{cases}$ 解得$\begin{cases}p=2,\\q=0,\end{cases}$ $\therefore$ 点 $P(2,3)$. 当 $BP,CQ$ 为平行四边形的对角线时,$\begin{cases}3+p=0+1,\\0+(-p^2+2p+3)=3+q,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}p=-2,\\q=-8,\end{cases}$ $\therefore$ 点 $P(-2,-5)$.当 $BQ,CP$ 为平行四边形的对角线时,$\begin{cases}3+1=0+p,\\0+q=3+(-p^2+2p+3),\end{cases}$ 解得$\begin{cases}p=4,\\q=-2,\end{cases}$ $\therefore$ 点 $P(4,-5)$.综上,点 $P$ 的坐标为 $(4,-5)$ 或 $(-2,-5)$ 或 $(2,3)$.
解析 令 $x=0$,则 $y=3$,$\therefore C(0,3)$.
令 $y=0$,则$-x^2+2x+3=0$,解得 $x=-1$ 或 $x=3$,$\therefore B(3,0)$.
$\because y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线 $x=1$,设点 $Q(1,q)$,$P(p,-p^2+2p+3)$,当 $BC,PQ$ 为平行四边形的对角线时,$\begin{cases}0+3=1+p,\\3+0=q+(-p^2+2p+3),\end{cases}$ 解得$\begin{cases}p=2,\\q=0,\end{cases}$ $\therefore$ 点 $P(2,3)$. 当 $BP,CQ$ 为平行四边形的对角线时,$\begin{cases}3+p=0+1,\\0+(-p^2+2p+3)=3+q,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}p=-2,\\q=-8,\end{cases}$ $\therefore$ 点 $P(-2,-5)$.当 $BQ,CP$ 为平行四边形的对角线时,$\begin{cases}3+1=0+p,\\0+q=3+(-p^2+2p+3),\end{cases}$ 解得$\begin{cases}p=4,\\q=-2,\end{cases}$ $\therefore$ 点 $P(4,-5)$.综上,点 $P$ 的坐标为 $(4,-5)$ 或 $(-2,-5)$ 或 $(2,3)$.
9.「2024四川泸州中考，★★★」如图，在平面直角坐标系$xOy$中，已知抛物线$y=ax^2+bx+3$经过点$A(3,0)$，与$y$轴交于点$B$，且关于直线$x=1$对称.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)当$-1≤x≤t$时，$y$的取值范围是$0≤y≤2t-1$，求$t$的值.
(3)点$C$是第一象限内抛物线上的一个动点，过点$C$作$x$轴的垂线交直线$AB$于点$D$，在$y$轴上是否存在点$E$，使得以$B,C,D,E$为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)当$-1≤x≤t$时，$y$的取值范围是$0≤y≤2t-1$，求$t$的值.
(3)点$C$是第一象限内抛物线上的一个动点，过点$C$作$x$轴的垂线交直线$AB$于点$D$，在$y$轴上是否存在点$E$，使得以$B,C,D,E$为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由.
答案
解析 (1)$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+3$ 经过点 $A(3,0)$,对称轴为直线 $x=1$,
$\therefore$ 抛物线和 $x$ 轴的另外一个公共点的坐标为 $(-1,0)$,
$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=a(x+1)(x-3)=ax^2+bx+3$,
$\therefore -3a=3$,解得 $a=-1$,
$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3$.
(2)由 $y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$ 得抛物线的顶点坐标为 $(1,4)$,
若 $-1 ≤ t＜1$,则 $x=-1$ 时,$y=-x^2+2x+3=0$,$y$ 取得最小值, $x=t$ 时,$y$ 取得最大值,$\therefore -t^2+2t+3=2t-1$,解得 $t= \pm 2$(舍).
若 $1 ≤ t ≤ 3$,则 $x=-1$ 时,$y=-x^2+2x+3=0$,取得最小值, $x=1$ 时,$y$ 取得最大值,$\therefore 2t-1=4$,解得 $t=\dfrac{5}{2}$.
若 $t＞3$,则 $x=t$ 时,$y$ 取得最小值,最小值小于 $0$,不符合题意.
综上所述,$t=\dfrac{5}{2}$.
(3)存在,由抛物线的表达式知点 $B(0,3)$,
当 $BD$ 为菱形的边时,菱形 $BDCE'$ 如图所示,
由点 $A,B$ 的坐标,得直线 $AB$ 的表达式为 $y=-x+3$ 且 $∠ OBA=45°$,
过点 $D$ 作 $DH ⊥ y$ 轴于点 $H$,则 $△ BDH$ 为等腰直角三角形,
设点 $C(t,-t^2+2t+3)(0＜t＜3)$,则点 $D(t,-t+3)$,
$\therefore CD=-t^2+2t+3-(-t+3)=BD=\sqrt{2}DH=\sqrt{2}t$,
解得 $t=3-\sqrt{2}$ 或 $t=0$(舍),
$\therefore BD=\sqrt{2}t=3\sqrt{2}-2$,即菱形的边长为 $3\sqrt{2}-2$.
当 $BC$ 为菱形的边时,菱形 $BCDE''$ 如图所示,$\because BC^2=CD^2$,
$\therefore t^2+(-t^2+2t)^2=(-t^2+3t)^2$,解得 $t=2$ 或 $t=0$(舍),
$\therefore CD=-2^2+6=2$,$\therefore$ 菱形的边长为 2.
综上,菱形的边长为 $3\sqrt{2}-2$ 或 2.
