12.【规律探索】
如图,观察各图形,我们会发现:
图①中空白部分小正方形的个数是$2^2 - 1^2 = 2 + 1$,
图②中空白部分小正方形的个数是$3^2 - 2^2 = 3 + 2$,
图③中空白部分小正方形的个数是$4^2 - 3^2 = 4 + 3$,

(1) 照此继续排列下去,写出第6幅图对应的算式:.
(2) 写出第n幅图对应的算式:(用含有字母n的算式表示,其中n为正整数).
【问题解决】
(3) $(2026^2 - 2025^2 + 2024^2 - 2023^2 + 2022^2 - 2021^2 + \dots + 2^2 - 1^2) + 1013 =$.

解：
(1) 第6幅图对应的算式：$\boldsymbol{7^2 - 6^2 = 7 + 6}$
(2) 第$n$幅图对应的算式：$\boldsymbol{(n+1)^2 - n^2 = (n+1) + n}$
(3)
$\begin{aligned}&\quad(2026^2 - 2025^2 + 2024^2 - 2023^2 + \dots + 2^2 - 1^2) + 1013\\&=(2026+2025)+(2024+2023)+\dots+(2+1)+1013\\&=1+2+3+\dots+2025+2026 + 1013\\&=\frac{(1+2026)×2026}{2} + 1013\\&=2027×1013 + 1013\\&=1013×(2027+1)\\&=1013×2028\\&=2054364\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{2054364}$。

13. 已知直角三角形纸板$ABC$，直角边$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$.
（1）将纸板绕一边所在的直线旋转一周，能得到________种大小不同的几何体；
（2）将纸板绕边$BC$所在的直线旋转一周，得到一个几何体，求该几何体的体积.

解：
（1）3
（2）绕边BC所在的直线旋转一周，得到的是底面半径为4 cm，高为8 cm的圆锥。
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2 h$，代入数据计算：
$V=\frac{1}{3}×π×4^2×8=\frac{128π}{3}\ (\mathrm{cm}^3)$
答：该几何体的体积为$\frac{128π}{3}$立方厘米。

14. 如图所示的三棱柱盒子高为5 cm，底面是一个边长为3 cm的等边三角形.
（1）这个三棱柱有条棱，有个面；
（2）图②中的图形是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补全；
（3）要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开条棱，需剪开棱的棱长和的最小值为cm.

(1) $\boldsymbol{9}$，$\boldsymbol{5}$；
(3) $\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{17}$。

解：
(1) 这个三棱柱有$\boldsymbol{9}$条棱，有$\boldsymbol{5}$个面；
(2) 补全方法不唯一：在左侧长方形的左侧拼接一个长为5 cm、宽为3 cm的长方形，再在新拼接的长方形的下侧（或上侧）拼接一个边长为3 cm的等边三角形，保证各面折叠后可围成给定的三棱柱即可，补全后的图形符合三棱柱表面展开图要求即可；
(3) 三棱柱共有9条棱，展开为平面图形后，5个面之间有4条未剪开的公共棱，因此需剪开$9-4=5$条棱；
要使剪开棱的棱长和最小，需使未剪开的棱的总长度最大，最多可保留2条长为5 cm的侧棱、2条长为3 cm的底面边不剪开，未剪开棱的总长度为$2×5 + 2×3 = 16$ cm。
三棱柱所有棱的总长度为$6×3 + 3×5 = 33$ cm，
因此剪开棱的棱长和的最小值为$33 - 16 = 17$ cm。