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1.如图，AB是$\odot O$的切线，点B为切点，连接AO并延长，交$\odot O$于点C，连接BC.若$∠ A$为$50°$，则$∠ C$的度数为(
A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
B
).A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质，想到连接过切点B的半径OB，可得到OB⊥AB，构造出Rt△ABO；再结合已知∠A的度数，利用三角形内角和求出∠AOB的度数；最后根据同圆的半径相等得到OB=OC，即△OBC为等腰三角形，结合三角形外角的性质即可求出∠C的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，即∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，∠A=50°，
∴∠AOB=180°-∠A-∠ABO=180°-50°-90°=40°，
∵OB=OC（同圆的半径相等），
∴∠C=∠OBC，
又
∵∠AOB是△OBC的外角，
∴∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C，
∴∠C=∠AOB÷2=40°÷2=20°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的常见基础题，解题核心是掌握“遇切线，连过切点的半径”这一常用辅助线作法，结合三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据切线的性质，想到连接过切点B的半径OB，可得到OB⊥AB，构造出Rt△ABO；再结合已知∠A的度数，利用三角形内角和求出∠AOB的度数；最后根据同圆的半径相等得到OB=OC，即△OBC为等腰三角形，结合三角形外角的性质即可求出∠C的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，即∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，∠A=50°，
∴∠AOB=180°-∠A-∠ABO=180°-50°-90°=40°，
∵OB=OC（同圆的半径相等），
∴∠C=∠OBC，
又
∵∠AOB是△OBC的外角，
∴∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C，
∴∠C=∠AOB÷2=40°÷2=20°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的常见基础题，解题核心是掌握“遇切线，连过切点的半径”这一常用辅助线作法，结合三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2.如图，AB是$\odot O$的直径，点P是$\odot O$外一点，PO交$\odot O$于点C，连接BC，PA.若$∠ P=40°$，当PA与$\odot O$相切时，$∠ B$的度数等于（
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$40°$
B
）.A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$40°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，得到直角三角形PAO，结合已知∠P的度数可求出圆心角∠AOP的度数；再利用同圆半径相等得到△OBC为等腰三角形，结合三角形外角的性质：三角形的外角等于不相邻两个内角的和，即可推导出∠B的度数。
【解析】
解：
∵PA与⊙O相切，A为切点
∴OA⊥PA，即∠PAO=90°
在Rt△PAO中，∠P=40°
∴∠AOP=90°-∠P=90°-40°=50°
∵OB=OC（同圆的半径相等）
∴∠B=∠OCB
又
∵∠AOP是△BOC的外角
∴∠AOP=∠B+∠OCB=2∠B
∴∠B=∠AOP÷2=50°÷2=25°
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题，解题的突破口是利用切线的性质得到直角，再结合等腰三角形和外角的性质推导角度关系，是圆章节中常见的基础考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，得到直角三角形PAO，结合已知∠P的度数可求出圆心角∠AOP的度数；再利用同圆半径相等得到△OBC为等腰三角形，结合三角形外角的性质：三角形的外角等于不相邻两个内角的和，即可推导出∠B的度数。
【解析】
解：
∵PA与⊙O相切，A为切点
∴OA⊥PA，即∠PAO=90°
在Rt△PAO中，∠P=40°
∴∠AOP=90°-∠P=90°-40°=50°
∵OB=OC（同圆的半径相等）
∴∠B=∠OCB
又
∵∠AOP是△BOC的外角
∴∠AOP=∠B+∠OCB=2∠B
∴∠B=∠AOP÷2=50°÷2=25°
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题，解题的突破口是利用切线的性质得到直角，再结合等腰三角形和外角的性质推导角度关系，是圆章节中常见的基础考查题型。
【难度系数】
0.7
3.如图，AB是$\odot O$的直径，BC交$\odot O$于点B，下列条件不能判定BC是$\odot O$的切线的是（
A.$∠ A+∠ C=90°$
B.$∠ A=∠ C$
C.$AB=4,BC=3,AC=5$
D.$∠ B-∠ C=∠ A$
B
）A.$∠ A+∠ C=90°$
B.$∠ A=∠ C$
C.$AB=4,BC=3,AC=5$
D.$∠ B-∠ C=∠ A$
答案
3.B
解析
【分析】
要判定BC是⊙O的切线，已知点B在⊙O上，根据切线的判定定理，只需证明AB⊥BC，即∠ABC=90°即可。我们只需逐一分析各选项能否推出∠ABC=90°，找出无法推出的选项即为答案。
【解析】
已知BC与⊙O交于点B，即点B在⊙O上，若BC为⊙O的切线，需满足AB⊥BC，即∠ABC=90°。
选项A：在△ABC中，∠A+∠C=90°，由三角形内角和为180°得∠ABC=180°-(∠A+∠C)=90°，即AB⊥BC，可判定BC是⊙O的切线，不符合题意；
选项B：∠A=∠C，仅能说明△ABC为等腰三角形（AB=BC），无法推出∠ABC=90°，不能判定BC是⊙O的切线，符合题意；
选项C：已知AB=4，BC=3，AC=5，满足3²+4²=5²，即AB²+BC²=AC²，由勾股定理逆定理可得∠ABC=90°，即AB⊥BC，可判定BC是⊙O的切线，不符合题意；
选项D：由∠B-∠C=∠A可得∠B=∠A+∠C，结合三角形内角和180°，即∠A+∠B+∠C=180°，代入得2∠B=180°，解得∠B=90°，即AB⊥BC，可判定BC是⊙O的切线，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
切线的判定；三角形内角和定理；勾股定理逆定理
【点评】
本题围绕切线的判定设置，结合三角形的性质进行推导，解题的关键是明确本题只需证明AB与BC垂直即可，解题时注意题干要求选择“不能判定”的选项，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.7
要判定BC是⊙O的切线，已知点B在⊙O上，根据切线的判定定理，只需证明AB⊥BC，即∠ABC=90°即可。我们只需逐一分析各选项能否推出∠ABC=90°，找出无法推出的选项即为答案。
【解析】
已知BC与⊙O交于点B，即点B在⊙O上，若BC为⊙O的切线，需满足AB⊥BC，即∠ABC=90°。
选项A：在△ABC中，∠A+∠C=90°，由三角形内角和为180°得∠ABC=180°-(∠A+∠C)=90°，即AB⊥BC，可判定BC是⊙O的切线，不符合题意；
选项B：∠A=∠C，仅能说明△ABC为等腰三角形（AB=BC），无法推出∠ABC=90°，不能判定BC是⊙O的切线，符合题意；
选项C：已知AB=4，BC=3，AC=5，满足3²+4²=5²，即AB²+BC²=AC²，由勾股定理逆定理可得∠ABC=90°，即AB⊥BC，可判定BC是⊙O的切线，不符合题意；
选项D：由∠B-∠C=∠A可得∠B=∠A+∠C，结合三角形内角和180°，即∠A+∠B+∠C=180°，代入得2∠B=180°，解得∠B=90°，即AB⊥BC，可判定BC是⊙O的切线，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
切线的判定；三角形内角和定理；勾股定理逆定理
【点评】
本题围绕切线的判定设置，结合三角形的性质进行推导，解题的关键是明确本题只需证明AB与BC垂直即可，解题时注意题干要求选择“不能判定”的选项，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.7
4.如图，直线BC与$\odot O$相切于点C，点A在$\odot O$上，$AB⊥ BC$于点B.若$AB=3$，$BC=6$，则$\odot O$的半径为
$\dfrac{15}{2}$
cm.答案
4.$\dfrac{15}{2}$
解析
【分析】
遇到直线与圆相切的问题，首先想到连接圆心和切点，利用切线垂直于过切点的半径得到垂直关系。观察到AB和OC都垂直于BC，因此可通过作辅助线AD⊥OC构造矩形ABCD，将已知的AB、BC长度转化到直角三角形OAD中，再设半径为r，利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
解：连接OC、OA，过点A作AD⊥OC于点D。
∵直线BC与$\odot O$相切于点C，
∴OC⊥BC（切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径）。
又
∵AB⊥BC，AD⊥OC，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6，CD=AB=3。
设$\odot O$的半径为r，则OA=OC=r，
∴OD=OC - CD = $r - 3$。
在Rt△OAD中，由勾股定理得：$OA^2 = OD^2 + AD^2$，
即 $r^2=(r-3)^2+6^2$，
展开得：$r^2=r^2-6r+9+36$，
整理得：$6r=45$，
解得：$r=\frac{15}{2}$。
【答案】
$\dfrac{15}{2}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质
【点评】
本题是圆中求半径的常规题型，解题的关键是合理作出辅助线，构造矩形和直角三角形，将已知条件转化到直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
遇到直线与圆相切的问题，首先想到连接圆心和切点，利用切线垂直于过切点的半径得到垂直关系。观察到AB和OC都垂直于BC，因此可通过作辅助线AD⊥OC构造矩形ABCD，将已知的AB、BC长度转化到直角三角形OAD中，再设半径为r，利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
解：连接OC、OA，过点A作AD⊥OC于点D。
∵直线BC与$\odot O$相切于点C，
∴OC⊥BC（切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径）。
又
∵AB⊥BC，AD⊥OC，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6，CD=AB=3。
设$\odot O$的半径为r，则OA=OC=r，
∴OD=OC - CD = $r - 3$。
在Rt△OAD中，由勾股定理得：$OA^2 = OD^2 + AD^2$，
即 $r^2=(r-3)^2+6^2$，
展开得：$r^2=r^2-6r+9+36$，
整理得：$6r=45$，
解得：$r=\frac{15}{2}$。
【答案】
$\dfrac{15}{2}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质
【点评】
本题是圆中求半径的常规题型，解题的关键是合理作出辅助线，构造矩形和直角三角形，将已知条件转化到直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
5.如图，
，AB是$\odot O$的弦，$OD⊥ OB$，$OD$交$AB$于点$E$，且$AD=ED$.求证：$AD$是$\odot O$的切线.
，AB是$\odot O$的弦，$OD⊥ OB$，$OD$交$AB$于点$E$，且$AD=ED$.求证：$AD$是$\odot O$的切线.答案
5.证明:连接 $OA$.
$\because OA=OB,AD=ED,\therefore∠ B=∠ OAB,∠ DAE=∠ DEA$,
$\therefore OD⊥ OB,\therefore∠ DAE+∠ OAB=∠ BEO+∠ B=90°$,即 $∠ OAD=90°$,
$\therefore AD$ 是 $\odot O$ 的切线.
$\because OA=OB,AD=ED,\therefore∠ B=∠ OAB,∠ DAE=∠ DEA$,
$\therefore OD⊥ OB,\therefore∠ DAE+∠ OAB=∠ BEO+∠ B=90°$,即 $∠ OAD=90°$,
$\therefore AD$ 是 $\odot O$ 的切线.
解析
【分析】
要证明AD是⊙O的切线，根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，已知AD与⊙O交于点A，因此先连接半径OA，只需证明OA⊥AD即∠OAD=90°即可。
已知OD⊥OB，可得Rt△OBE中∠B+∠BEO=90°；再利用等腰三角形等边对等角的性质，由OA=OB得∠B=∠OAB，由AD=ED得∠DAE=∠DEA；结合∠DEA与∠BEO是对顶角相等，通过等量代换即可推出∠OAB+∠DAE=90°，即∠OAD=90°，完成证明。
【解析】
证明:连接 $OA$.
$\because OA=OB,AD=ED,\therefore∠ B=∠ OAB,∠ DAE=∠ DEA$,
$\because OD⊥ OB,\therefore∠ DAE+∠ OAB=∠ BEO+∠ B=90°$,即 $∠ OAD=90°$,
$\therefore AD$ 是 $\odot O$ 的切线.
【答案】
证明:连接 $OA$.
$\because OA=OB,AD=ED,\therefore∠ B=∠ OAB,∠ DAE=∠ DEA$,
$\because OD⊥ OB,\therefore∠ DAE+∠ OAB=∠ BEO+∠ B=90°$,即 $∠ OAD=90°$,
$\therefore AD$ 是 $\odot O$ 的切线.
【知识点】
切线的判定定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是切线证明的基础典型题，核心解题思路为“有切点、连半径、证垂直”，灵活运用等腰三角形性质和角的等量代换即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要证明AD是⊙O的切线，根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，已知AD与⊙O交于点A，因此先连接半径OA，只需证明OA⊥AD即∠OAD=90°即可。
已知OD⊥OB，可得Rt△OBE中∠B+∠BEO=90°；再利用等腰三角形等边对等角的性质，由OA=OB得∠B=∠OAB，由AD=ED得∠DAE=∠DEA；结合∠DEA与∠BEO是对顶角相等，通过等量代换即可推出∠OAB+∠DAE=90°，即∠OAD=90°，完成证明。
【解析】
证明:连接 $OA$.
$\because OA=OB,AD=ED,\therefore∠ B=∠ OAB,∠ DAE=∠ DEA$,
$\because OD⊥ OB,\therefore∠ DAE+∠ OAB=∠ BEO+∠ B=90°$,即 $∠ OAD=90°$,
$\therefore AD$ 是 $\odot O$ 的切线.
【答案】
证明:连接 $OA$.
$\because OA=OB,AD=ED,\therefore∠ B=∠ OAB,∠ DAE=∠ DEA$,
$\because OD⊥ OB,\therefore∠ DAE+∠ OAB=∠ BEO+∠ B=90°$,即 $∠ OAD=90°$,
$\therefore AD$ 是 $\odot O$ 的切线.
【知识点】
切线的判定定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是切线证明的基础典型题，核心解题思路为“有切点、连半径、证垂直”，灵活运用等腰三角形性质和角的等量代换即可快速求解。
【难度系数】
0.7
