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1.如图，AB是$\odot O$的切线，点B为切点，连接AO并延长，交$\odot O$于点C，连接BC.若$∠ A$为$50°$，则$∠ C$的度数为(
A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
B
).A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先从切线的已知条件入手，回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OB，得到直角三角形ABO，结合已知∠A的度数可求出∠AOB的度数；再观察∠AOB和所求∠C的关系，OB、OC都是圆的半径，因此△OBC是等腰三角形，∠AOB是△OBC的外角，利用外角性质和等腰三角形等边对等角的性质即可求出∠C的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵AB是$\odot O$的切线，B为切点，
∴$OB⊥ AB$，即$∠ ABO=90°$，
在$Rt△ ABO$中，$∠ A=50°$，
∴$∠ AOB=90°-∠ A=90°-50°=40°$，
∵OB=OC（都是$\odot O$的半径），
∴$∠ C=∠ OBC$，
又
∵$∠ AOB$是$△ OBC$的外角，
∴$∠ AOB=∠ C+∠ OBC=2∠ C$，
∴$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×40°=20°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆相关的基础角度计算题，解题的关键是合理作出辅助线，结合切线、等腰三角形、外角的相关性质逐步推导角度，解题思路清晰，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从切线的已知条件入手，回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OB，得到直角三角形ABO，结合已知∠A的度数可求出∠AOB的度数；再观察∠AOB和所求∠C的关系，OB、OC都是圆的半径，因此△OBC是等腰三角形，∠AOB是△OBC的外角，利用外角性质和等腰三角形等边对等角的性质即可求出∠C的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵AB是$\odot O$的切线，B为切点，
∴$OB⊥ AB$，即$∠ ABO=90°$，
在$Rt△ ABO$中，$∠ A=50°$，
∴$∠ AOB=90°-∠ A=90°-50°=40°$，
∵OB=OC（都是$\odot O$的半径），
∴$∠ C=∠ OBC$，
又
∵$∠ AOB$是$△ OBC$的外角，
∴$∠ AOB=∠ C+∠ OBC=2∠ C$，
∴$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×40°=20°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆相关的基础角度计算题，解题的关键是合理作出辅助线，结合切线、等腰三角形、外角的相关性质逐步推导角度，解题思路清晰，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
2.如图，AB是$\odot O$的直径，点P是$\odot O$外一点，PO交$\odot O$于点C，连接BC，PA.若$∠ P=40°$，当PA与$\odot O$相切时，$∠ B$的度数等于（
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$40°$
B
）.A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$40°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先从切线的已知条件入手，根据切线性质得到直角三角形，结合已知角求出圆心角的度数；再利用同圆半径相等得到等腰三角形，结合三角形外角与内角的关系，即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵PA与⊙O相切，A为切点
∴OA⊥PA，即$∠ PAO=90°$
在$\mathrm{Rt}△ PAO$中，$∠ P=40°$
∴$∠ AOP=90°-∠ P=90°-40°=50°$
∵OB、OC都是⊙O的半径
∴OB=OC，即$△ OBC$为等腰三角形，$∠ B=∠ OCB$
又
∵$∠ AOP$是$△ OBC$的外角
∴$∠ AOP=∠ B+∠ OCB=2∠ B$
∴$∠ B=\frac{1}{2}∠ AOP=\frac{1}{2}×50°=25°$
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，考查核心知识点的结合应用，解题关键是先利用切线性质求出对应圆心角的度数，再结合三角形边角关系推导所求角，整体思路清晰，逻辑连贯。
【难度系数】
0.7
解题时先从切线的已知条件入手，根据切线性质得到直角三角形，结合已知角求出圆心角的度数；再利用同圆半径相等得到等腰三角形，结合三角形外角与内角的关系，即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵PA与⊙O相切，A为切点
∴OA⊥PA，即$∠ PAO=90°$
在$\mathrm{Rt}△ PAO$中，$∠ P=40°$
∴$∠ AOP=90°-∠ P=90°-40°=50°$
∵OB、OC都是⊙O的半径
∴OB=OC，即$△ OBC$为等腰三角形，$∠ B=∠ OCB$
又
∵$∠ AOP$是$△ OBC$的外角
∴$∠ AOP=∠ B+∠ OCB=2∠ B$
∴$∠ B=\frac{1}{2}∠ AOP=\frac{1}{2}×50°=25°$
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，考查核心知识点的结合应用，解题关键是先利用切线性质求出对应圆心角的度数，再结合三角形边角关系推导所求角，整体思路清晰，逻辑连贯。
【难度系数】
0.7
3.如图，AB是$\odot O$的直径，BC交$\odot O$于点B，下列条件不能判定BC是$\odot O$的切线的是（
A.$∠ A+∠ C=90°$
B.$∠ A=∠ C$
C.$AB=4,BC=3,AC=5$
D.$∠ B-∠ C=∠ A$
B
）A.$∠ A+∠ C=90°$
B.$∠ A=∠ C$
C.$AB=4,BC=3,AC=5$
D.$∠ B-∠ C=∠ A$
答案
3.B
解析
【分析】
要判定BC是⊙O的切线，已知B在⊙O上，AB是⊙O的直径，根据切线判定定理，只需证明AB⊥BC（即∠ABC=90°）即可。我们结合三角形内角和、勾股定理逆定理等知识，逐个分析选项是否能推出∠ABC=90°。
【解析】
已知B在⊙O上，AB为⊙O的直径，若BC是⊙O的切线，则需满足AB⊥BC，即∠ABC=90°。
选项A：在△ABC中，∠A+∠C=90°，由三角形内角和为180°，可得∠ABC=180°-(∠A+∠C)=90°，即AB⊥BC，可判定BC是⊙O的切线，不符合题意。
选项B：∠A=∠C仅能说明△ABC为等腰三角形（AB=BC），无法推出∠ABC=90°，不能判定BC是⊙O的切线，符合题意。
选项C：已知AB=4，BC=3，AC=5，可得$AB^2+BC^2=4^2+3^2=25=5^2=AC^2$，由勾股定理逆定理得∠ABC=90°，即AB⊥BC，可判定BC是⊙O的切线，不符合题意。
选项D：由∠B-∠C=∠A可得∠B=∠A+∠C，结合三角形内角和180°，即∠A+∠B+∠C=180°，代入得2∠B=180°，解得∠B=90°，即AB⊥BC，可判定BC是⊙O的切线，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
切线的判定；勾股定理逆定理；三角形内角和定理
【点评】
本题核心是明确切线的判定条件，结合已知条件将问题转化为证明AB与BC垂直，再逐一验证选项即可，解题时注意题目要求选择“不能判定”的选项，避免因审题错误失分。
【难度系数】
0.7
要判定BC是⊙O的切线，已知B在⊙O上，AB是⊙O的直径，根据切线判定定理，只需证明AB⊥BC（即∠ABC=90°）即可。我们结合三角形内角和、勾股定理逆定理等知识，逐个分析选项是否能推出∠ABC=90°。
【解析】
已知B在⊙O上，AB为⊙O的直径，若BC是⊙O的切线，则需满足AB⊥BC，即∠ABC=90°。
选项A：在△ABC中，∠A+∠C=90°，由三角形内角和为180°，可得∠ABC=180°-(∠A+∠C)=90°，即AB⊥BC，可判定BC是⊙O的切线，不符合题意。
选项B：∠A=∠C仅能说明△ABC为等腰三角形（AB=BC），无法推出∠ABC=90°，不能判定BC是⊙O的切线，符合题意。
选项C：已知AB=4，BC=3，AC=5，可得$AB^2+BC^2=4^2+3^2=25=5^2=AC^2$，由勾股定理逆定理得∠ABC=90°，即AB⊥BC，可判定BC是⊙O的切线，不符合题意。
选项D：由∠B-∠C=∠A可得∠B=∠A+∠C，结合三角形内角和180°，即∠A+∠B+∠C=180°，代入得2∠B=180°，解得∠B=90°，即AB⊥BC，可判定BC是⊙O的切线，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
切线的判定；勾股定理逆定理；三角形内角和定理
【点评】
本题核心是明确切线的判定条件，结合已知条件将问题转化为证明AB与BC垂直，再逐一验证选项即可，解题时注意题目要求选择“不能判定”的选项，避免因审题错误失分。
【难度系数】
0.7
4.如图，直线BC与$\odot O$相切于点C，点A在$\odot O$上，$AB⊥ BC$于点B.若$AB=3$，$BC=6$，则$\odot O$的半径为
$\dfrac{15}{2}$
cm.答案
4.$\dfrac{15}{2}$
解析
【分析】
要求圆的半径，可先利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，连接OC得到OC⊥BC，结合AB⊥BC的条件，通过作辅助线AD⊥OC构造矩形和直角三角形，将已知的AB、BC长度转化到直角三角形中，再利用勾股定理列方程求解半径。具体步骤：第一步连接OC，第二步过A作AD垂直OC于D，得到矩形ABCD，推导出AD、CD的长度，第三步设半径为r，用r表示出OD的长度，第四步在直角三角形OAD中用勾股定理列方程求解r。
【解析】
解：连接OC，过点A作AD⊥OC于点D。
1. 由切线的性质可知：直线BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC。
2.
∵AB⊥BC，AD⊥OC，
∴四边形ABCD的三个角为直角，即四边形ABCD是矩形，因此AD=BC=6，CD=AB=3。
3. 设⊙O的半径为$ r $，则$ OA=OC=r $，$ OD=OC-CD=r-3 $。
4. 在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，根据勾股定理：$ OA^2=OD^2+AD^2 $，代入得：
$r^2=(r-3)^2+6^2$
展开计算：
$r^2=r^2-6r+9+36$
移项化简得$ 6r=45 $，解得$ r=\frac{15}{2} $。
【答案】
$\dfrac{15}{2}$
【知识点】
切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题型，解题核心是掌握切线相关的常用辅助线作法，结合矩形性质和勾股定理建立方程求解，能有效考查学生对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要求圆的半径，可先利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，连接OC得到OC⊥BC，结合AB⊥BC的条件，通过作辅助线AD⊥OC构造矩形和直角三角形，将已知的AB、BC长度转化到直角三角形中，再利用勾股定理列方程求解半径。具体步骤：第一步连接OC，第二步过A作AD垂直OC于D，得到矩形ABCD，推导出AD、CD的长度，第三步设半径为r，用r表示出OD的长度，第四步在直角三角形OAD中用勾股定理列方程求解r。
【解析】
解：连接OC，过点A作AD⊥OC于点D。
1. 由切线的性质可知：直线BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC。
2.
∵AB⊥BC，AD⊥OC，
∴四边形ABCD的三个角为直角，即四边形ABCD是矩形，因此AD=BC=6，CD=AB=3。
3. 设⊙O的半径为$ r $，则$ OA=OC=r $，$ OD=OC-CD=r-3 $。
4. 在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，根据勾股定理：$ OA^2=OD^2+AD^2 $，代入得：
$r^2=(r-3)^2+6^2$
展开计算：
$r^2=r^2-6r+9+36$
移项化简得$ 6r=45 $，解得$ r=\frac{15}{2} $。
【答案】
$\dfrac{15}{2}$
【知识点】
切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题型，解题核心是掌握切线相关的常用辅助线作法，结合矩形性质和勾股定理建立方程求解，能有效考查学生对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
5.如图，
，AB是$\odot O$的弦，$OD⊥ OB$，$OD$交$AB$于点$E$，且$AD=ED$.求证：$AD$是$\odot O$的切线.
，AB是$\odot O$的弦，$OD⊥ OB$，$OD$交$AB$于点$E$，且$AD=ED$.求证：$AD$是$\odot O$的切线.答案
5.证明:连接 $OA$.
$\because OA=OB,AD=ED,\therefore∠ B=∠ OAB,∠ DAE=∠ DEA$,
$\therefore OD⊥ OB,\therefore∠ DAE+∠ OAB=∠ BEO+∠ B=90°$,即 $∠ OAD=90°$,
$\therefore AD$ 是 $\odot O$ 的切线.
$\because OA=OB,AD=ED,\therefore∠ B=∠ OAB,∠ DAE=∠ DEA$,
$\therefore OD⊥ OB,\therefore∠ DAE+∠ OAB=∠ BEO+∠ B=90°$,即 $∠ OAD=90°$,
$\therefore AD$ 是 $\odot O$ 的切线.
解析
【分析】
要证明AD是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，只需证明半径OA与AD垂直，也就是$∠OAD=90°$。首先连接OA，利用等腰三角形等边对等角的性质，可得到两组相等的底角；再结合对顶角相等、直角三角形两锐角互余的性质，通过角度的等量代换，就能推出$∠OAD$为直角，从而完成证明。
【解析】
证明：连接$OA$。
$\because OA$、$OB$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OB$，可得$∠B=∠OAB$。
$\because AD=ED$，$\therefore ∠DAE=∠DEA$。
$\because ∠DEA$和$∠BEO$是对顶角，$\therefore ∠DEA=∠BEO$。
$\because OD⊥OB$，$\therefore ∠BOE=90°$，在$Rt△ OBE$中，$∠B+∠BEO=90°$。
将角的等量关系代入可得：$∠OAB+∠DAE=90°$，即$∠OAD=90°$。
$\because OA$是$\odot O$的半径，且$OA⊥AD$，$\therefore AD$是$\odot O$的切线。
【答案】
连接 $OA$，
$\because OA=OB,AD=ED,\therefore∠ B=∠ OAB,∠ DAE=∠ DEA$,
$\because OD⊥ OB,\therefore∠ DAE+∠ OAB=∠ BEO+∠ B=90°$,即 $∠ OAD=90°$,
$\therefore AD$ 是 $\odot O$ 的切线。
【知识点】
切线的判定定理；等腰三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是切线证明的基础题型，解题关键是先连接待证切线对应的半径，再通过角度等量代换证明半径与直线垂直，熟练掌握等腰三角形性质和切线判定条件即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要证明AD是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，只需证明半径OA与AD垂直，也就是$∠OAD=90°$。首先连接OA，利用等腰三角形等边对等角的性质，可得到两组相等的底角；再结合对顶角相等、直角三角形两锐角互余的性质，通过角度的等量代换，就能推出$∠OAD$为直角，从而完成证明。
【解析】
证明：连接$OA$。
$\because OA$、$OB$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OB$，可得$∠B=∠OAB$。
$\because AD=ED$，$\therefore ∠DAE=∠DEA$。
$\because ∠DEA$和$∠BEO$是对顶角，$\therefore ∠DEA=∠BEO$。
$\because OD⊥OB$，$\therefore ∠BOE=90°$，在$Rt△ OBE$中，$∠B+∠BEO=90°$。
将角的等量关系代入可得：$∠OAB+∠DAE=90°$，即$∠OAD=90°$。
$\because OA$是$\odot O$的半径，且$OA⊥AD$，$\therefore AD$是$\odot O$的切线。
【答案】
连接 $OA$，
$\because OA=OB,AD=ED,\therefore∠ B=∠ OAB,∠ DAE=∠ DEA$,
$\because OD⊥ OB,\therefore∠ DAE+∠ OAB=∠ BEO+∠ B=90°$,即 $∠ OAD=90°$,
$\therefore AD$ 是 $\odot O$ 的切线。
【知识点】
切线的判定定理；等腰三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是切线证明的基础题型，解题关键是先连接待证切线对应的半径，再通过角度等量代换证明半径与直线垂直，熟练掌握等腰三角形性质和切线判定条件即可快速解题。
【难度系数】
0.8
